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1、知识梳理1不等式的性质：性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.性质2如果ab，bc，那么.性质3如果ab，那么.推论如果ab，cd，那么.acacbcacbd性质4如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0那么.推论1如果ab0，cd0，那么.推论2如果ab0，那么.推论3如果ab0，那么acbcacbda2b2anbn(n为正整数)2绝对值不等式：设a是任意一个实数，在数轴上|a|表示，|xa|的几何意义是的距离定理：对任意实数a和b，有3平均值不等式：定理1对任意实数a，b有a2b2(上式当且仅当时，取“”号)实数a对应的点与原点O的距离实数x对应的点与实数a对应的点之间|ab|
2、a|b|2abab(2)分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法(5)反证法：通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理导出矛盾；否定假设肯定结论5柯西不等式定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2b
3、2)(c2d2)，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立定理2设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时“”成立推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立。(acbd)26排序不等式定理1设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbd，当且仅当ab(或cd)，时取“”号定理2(排序
4、不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)a1b1a2b2anbn(乱序和)a1bj1a2bj2anbjn(逆序和)a1bna2bn1anb1.adbc其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号7贝努利不等式：对任何实数 x1和任何正整数n，有(1x)n1nx例1解不等式|x2|x1|c或|xa|xb|8.解析解法1：由代数式|x3|、|x3|知，3和3把实数集分为三个区间：x3，3x3，x3.当x8，即x4，此时不等式的解集为x4.当3x8，此时不等式无解当x3时，x3x38，即x4，此时不等式的解集为x4.取式
5、的并集得原不等式的解集为x|x4解法2：不等式|x3|x3|8表示数轴上与A(3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而A、B两点距离为6.因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6.如图所示，要找到与A，B距离之和为8的点，只需由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到点B1(4)，或由点A向左移1个单位，即移到点A1(4)可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(4)向左的点到A、B两点的距离之和均大于8.原不等式的解集为x|x4.分析开口向上的二次函数在闭区间1,1上的最大值，只能在端点1,1处取到故M|f(1)|或M|f(1)|.解析(1)M|f(1)|1ab|，
6、M|f(1)|1ab|，2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，M|1b|.(2)依题意，M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|.又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|.4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2.点评对于含有绝对值的不等式的证明常用途径有二：一是去掉绝对值符号，即利用绝对值的定义和|x|aax0)，|x|axa或x0)去掉绝对值符号；二是利用含绝对值的不等式性质(|a|b|ab|a|b|)来证明例3若0 x0且a1)分析利用作差比较法或作商比较法均可证明本例解析证法一：(作差比较
7、法)因为0 x1，所以01x1,01x21时，因为|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|.当0a0，所以|loga(1x)|loga(1x)|.综上所述，|loga(1x)|loga(1x)|.点评本题考查了绝对值的概念，分类整合的思想方法，对数的运算，式子的变形，灵巧而精致，深化了作差比较和作商比较这两种基本方法(1)作差法的一般步骤是“作差变形判断符号”其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、一个常数与几个平方和或几个因式的
8、积的形式，当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号(2)作商法的一般步骤为“作商变形判断商与数1的大小关系”(3)一般地，证幂、指数不等式，常用作商法，证对数不等式，常用作差法当“差”或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论例4已知a、b、c0，求证：a3b3c3 (a2b2c2)(abc)分析不等式中的a、b、c有对称转换关系，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论解析a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)a3b3a2bab22a2b2ab2.a3b3a2bab2.同理：b3c3b2cbc2，a
9、3c3a2cac2.将三式相加得2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2c2)a3b3c3 (a2b2c2)(abc)点评本题是利用综合法证明不等式用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的已知的不等式作为依据，其中基本不等式是最常用的已知x，y，zR，若x4y4z41，求 证：x2y2z21放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小如欲证AB，需通过BB1，B1B2，BnA(或AA1，A1A2，AnB)，再利用传递性达到证明的目的2含绝对值的不等式(1)含绝对
10、值不等式的证明，除了综合运用前面所讲的不等式的证明方法之外，还要注意“绝对值”这一特殊属性的处理方法，常用思路有二：去掉绝对值符号，转化为一般不等式的证明，常用的去掉绝对值的方法有定义法、平方法、等价转化法等利用性质“|a|b|ab|a|b|”来证明，这时常要对绝对值内的式子进行分析、组合、添项、减项，使要证明的式子与已知联系起来，从而完成证明(2)含有多个绝对值(两个或两个以上)的不等式的解法：基本思想是：含绝对值的不等式不含绝对值的不等式常用去掉绝对值符号的方法有：平方法，零点分段讨论法(即把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可)3重要不等式(1)对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式(2)对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列