《2023年高考人教版数学（理）大一轮复习讲义： 第三章.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考人教版数学（理）大一轮复习讲义： 第三章.DOC（113页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一节任意角的三角函数、同角三角函数关系与诱导公式教材细梳理知识点1三角函数的有关概念(1)象限角：写出第三象限角的集合(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，构成一个集合是|k360，kZ或|2k，kZ(3)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则lr，扇形的面积为Slrr2思考1：集合A与集合B相等吗？为什么？提示：不相等，集合A是与终边相同角的集合，而集合B中，当k是偶数时，是与终边相同的角因此AB.思考2：若、都是第一象限角且，sin sin 成立吗？提示：不成立，如390，30，但sin 390sin 30.知识点2任意角的三角函数三
2、角函数正弦余弦正切定义y叫作的正弦，记作sin x叫作的余弦，记作cos 叫作的正切，记作tan 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线知识点3同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2_cos2_1(2)商数关系：tan_思考：同角三角函数的基本关系式中“同角”的含义是什么？提示：只要是同一角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2cos21，tan 4(其中4k，kZ)等都是成立的，而sin2cos21不一定成立知识点4三角函数的诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，ta
3、n(2k)tan ，kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos ，tan()tan_公式三：sin()sin ，cos()cos_，tan()tan .公式四：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan_公式五：sincos ，cossin_公式六：sincos_，cossin .诱导公式的记忆规律是奇变偶不变，符号看象限四基精演练1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)不相等的角终边一定不相同()(2)若为第一象限角，则sin cos 1.()(3)若，为锐角，则sin2 cos2 1.()(4)sin()sin 成立的条件是为锐角()(5)若sin(k)(kZ)，则s
4、in .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(知识点2)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)(m0)，且cos ，则m的值为()ABC D解析：选B.由P(8m，3)(m0)知点P位于第三或第四象限，又因为cos 0，故是第三象限角，因此m0，又因为cos ，所以m.3(知识点2)若tan 0，则() Asin 0Bcos 0Csin 20Dcos 20解析：选C.由tan 0可得：kk(kZ)，故2k22k(kZ)，正确的结论只有sin 20.4(知识点3)已知sin ，则tan ()A2B2C. D解析：选D.因为cos ，所以tan .5(知识点1、4)在平面直角坐标系xOy
5、中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _解析：因为角与角的终边关于y轴对称，所以2k，kZ，所以sin sin(2k)sin()sin .答案：考点一三角函数的定义及应用基础练通1(2018广州模拟)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，的终边分别与单位圆交于点和，则sin()()ABC D解析：选D.因为角，的终边分别与单位圆交于点和，所以sin ，cos ，sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .2若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan
6、 Csin cos tan Dtan sin cos 解析：选C.如图所示，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为，所以终边位置在图中的阴影部分，观察可得ATOMMP，故有sin cos tan .3(2018杭州模拟)函数ylg(2sin x1)的定义域为_解析：要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ)答案：(kZ)1用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角
7、函数的定义来求解2利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式考点二诱导公式及应用探究变通例1(1)(2018聊城模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3xy0上，则等于()ABC0 D解析：由题可知tan 3，原式.答案：B(2)(2018浙江金华二模)已知cosa，则cossin的值是_解析：因为coscoscosa.sinsincosa，所以cossin0.答案：0母题变式1若本例(1)条件不变，则的值是_解析：原式3.答案：32若本例(2)中的条件改
8、为sin，则cos的值为_解析：coscossin.答案：应用诱导公式的思路与技巧1负化正、大化小、化到锐角就好了2熟记常见的互余和互补的2组角(1)互余的角：与；与；与等；(2)互补的角：与；与等考点三同角三角函数关系式的应用 创新贯通命题点1关于sin 、cos 的齐次式问题例2一题多解若tan ，则cos2 2sin 2()A.BC1 D解析：解法一：由tan ，cos2 sin2 1，得或，则sin 22sin cos ，则cos2 2sin 2.解法二：cos2 2sin 2.答案：A命题点2“sin xcos x”与“sin xcos x”关系的应用例3(2018烟台模拟)已知si
9、n cos ，且，则cos sin 的值为()A. BC D解析：因为sin cos ，所以(cos sin )2cos2 2sin cos sin2 12sin cos 12，因为，所以cos sin ，即cos sin 0，所以cos sin .答案：D命题点3同角关系与诱导公式的综合应用例4(2018西安质检)已知为锐角，且有2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. BC. D解析：2tan()3cos50可化简为2tan 3sin 50，tan()6sin()10可化简为tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又为锐角，根据sin2
10、 cos2 1，解得sin .答案：C同角三角函数关系式的应用技巧1利用sin2 cos2 1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用tan 可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用：1sin2 cos2 ，sin2 1cos2 ，cos2 1sin2 .1(2018安徽江南十校联考)已知tan ，则sin (sin cos )()A. BC. D解析：选A.sin (sin cos )sin2 sin cos
11、，将tan 代入，得原式，故选A.2(2018银川模拟)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan _解析：由消去cos ，整理得25sin2 5sin 120，解得sin 或sin .因为是三角形的内角，所以sin ，又由sin cos ，得cos ，所以tan .答案：数学建模在钢材切割中的应用通过对废料充分利用中扇形面积与弧长的计算，分析比较出最优方案，体现了在解决实际问题中利用数学知识建立数学模型解决问题的素养 例5在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为AOB
12、是顶角为120、腰长为2的等腰三角形，所以AB30，AMBN1，AD2，所以方案一中扇形的弧长2；方案二中扇形的弧长1；方案一中扇形的面积22，方案二中扇形的面积11.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优素材库1(2018石家庄二模)若点在角的终边上，则sin 的值为()A.BC D解析：选D.，sin ，故选D.2(2018南昌二模)已知ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P(sin Acos B，3cos A1)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选A.因为A为ABC的最小角，所以A，则cos A1，3cos A10.因为ABC为锐
13、角三角形，所以AB，即AB，所以sin Asincos B，即sin Acos B0，所以点P位于第一象限3(2018厦门质检)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为(1，2)，点C位于第一象限，AOC.若|BC|，则sin cos cos2 _解析：因为点B的坐标为(1，2)，所以|OC|OB|，因为|BC|，所以OBC是等边三角形，则AOB.所以sin coscos2 sin cos sin.答案：限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018四川石室中学质检)已知角的终边经过点(3，4)，则sin ()ABC. D解析：选D.角的终边经过点(3，
14、4)，sin ，cos ，sin .故选D.2已知x，cos x，则tan x的值为()A. BC. D解析：选B.因为x，所以sin x，所以tan x.故选B.3若sin0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B.sincos 0，所以是第二象限角，故选B.4(2018石家庄市二模)已知角(00，cos 1500，所以角终边上一点的坐标为，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin ，又0sin ，那么下列命题成立的是()A若，是第一象限的角，则cos cos B若，是第二象限的角，则tan tan C若，是第三象限的角，则cos cos D若，是第四象限
15、的角，则tan tan 解析：选D.作出，的图象如图，由三角函数线可知选D.13(2018昆明二模)已知cos且，则cos()A. BC D解析：选D.因为，所以，故coscossin.14(2018皖江联考)已知在锐角ABC中，角的终边过点P(sin Bcos A，cos Bsin A)，且cos，则cos 2的值为()A. BC. D解析：选D.ABC是锐角三角形，ABBA0sin Bsincos A，即sin Bcos A0，同理，cos Bsin A0，角为第四象限角，sin，cos coscoscossinsin，cos 22cos21，故选D.15(2018辽宁大连质检)现有如下命
16、题：若点P(a，2a)(a0)为角终边上一点，则sin ；同时满足sin ，cos 的角有且仅有一个；设tan 且，则sin ；设cos(sin )tan(cos )0(为象限角)，则在第一象限则其中正确的命题是_(将正确命题的序号填在横线上)解析：中，当在第三象限时，sin ，故错误；中，同时满足sin ，cos 的角为2k(kZ)，有无数个，故错误；正确；可能在第一象限或第四象限，故错误综上选.答案：C级素养加强练16(2018河北衡水调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2，
17、1)时，的坐标为_解析：如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以|PB|sincos 2，|CB|cossin 2，所以xP2|CB|2sin 2，yP1|PB|1cos 2，所以(2sin 2，1cos 2)答案：(2sin 2，1cos 2)第二节简单的三角恒等变换教材细梳理知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S()公式：sin()sin_cos_cos_sin_；(2)C()公式：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)T()公式：tan()(，k，kZ
18、)；知识点2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)二倍角的降幂公式：cos2，sin2(2)二倍角的升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2(3)T()的公式变形：tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan 11(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x).思考：如何用sin x、cos x表示tan ？提示：tan .四基精演练1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)对任意角都有1sin .()(3)存在R使tan 22tan .()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1
19、tan tan )，且对任意角，都成立()答案：(1)(2)(3)(4)2(知识点2)(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A.BC D解析：选B.sin ，cos 212sin212.3(知识点1)若cos ，是第三象限的角，则sin()A BC D解析：选C.因为cos ，是第三象限的角，所以sin ，所以sinsin coscos sin.4(知识点1)tan 20tan 40tan 20tan 40的值为_解析：tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20ta
20、n 40.答案：考点一两角和(差)、倍角公式的活用基础练通1(2018全国卷)已知tan，则tan _解析：tan，解得tan .答案：2计算的值为()ABC. D解析：选B.原式.3化简：_解析：原式tan(902).答案：两角和、差及倍角公式的应用技巧1逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式2和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )3倍角公式变形：降幂公式拓展1sin ，1cos 2cos2，1cos 2sin2.考点二三角函数式的化简探究变通例1(1)(201
21、8长沙二模)化简：_解析：4sin .答案：4sin (2)化简：_解析：原式cos 2x.答案：cos 2x(3)一题多解化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_解析：解法一：(异名化同名)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2(1cos2)cos2cos2sin2sin2sin2cos2cos2sin2cos2.解法二：(利用降幂公式)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2
22、)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.答案：1三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征2三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点1化简：_(其中0)解析：原式，因为0，所以00，所以原式cos .答案：cos 考点三三角函数的求值创新贯通命题点1给角求值与给值求值例2(1)2sin 50sin 10(1tan 10)_解析：原式sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.答案
23、：(2)(2018兰州二模)已知cos，则的值为_解析：sin 2sin 2tan.由得0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，sin.sinsinsin2cos cos2sin sincos.答案：(2)(1tan 17)(1tan 28)的值为_解析：原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案：2素材库1(2018青岛二模)若sin()sin cos()cos ，且为第二象限角，则tan()A7BC7 D解析：选B.解法一：sin()sin cos()cos ，即sin cos sin c
24、os sin2 cos cos2 sin sin cos ，即cos .又为第二象限角，tan ，tan，故选B.解法二：sin()sin cos()cos ，即cos()cos ，即cos .又为第二象限角，tan ，tan，故选B.2(2018吉林三模)已知tan ，且，则m()A1 B1C. D解析：选A.由于tan tan，故m1.3(2018宁波模拟)已知sin ，则_解析：cos sin ，sin ，cos ，原式.答案：限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018长沙质检)sin 163sin 223sin 253sin 313等于()ABC D解析：选B.原式s
25、in 163sin 223cos 163cos 223cos(163223)cos(60).2(2018洛阳质检)已知tan，则的值为()A. B2C2 D2解析：选B.由tan，解得tan 3，所以2，故选B.3(2018九校联考)已知5sin 26cos ，则tan ()A BC. D解析：选B.由题意知，10sin cos 6cos ，又，sin ，cos ，tan .4(2018韶关模拟)若tan lg(10a)，tan lg a，且，则实数a的值为()A1 BC1或 D1或10解析：选C.因为，所以tan()1，又因为tan lg(10a)，tan lg a，所以1，所以lg2alg
26、 a0，所以lg a0或lg a1，即a1或.5(2018苏州二模)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. BC. D解析：选D.cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.6化简：sin 10(tan 5)的值为_解析：原式sin 10sin 10.答案：7(2018江西名校联考)已知cossin ，则sin的值是_解析：cossin ，cos sin ，sin，sin，sinsin.答案：8若a，b是非零实数，且tan，则_解析：由，又tantan，所以tan.答案：9(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，
27、始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解：(1)由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10(2018抚顺模拟)已知函数f(x)2cos(其中0)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10，所以10，所以.(2)由(1)知f(x)2cos.又因为f，所以2cos2cos，所以sin .又因为f，所以2cos2c
28、os ，所以cos .又因为，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos sin sin .B级能力提升练11(2018潍坊模拟)已知锐角，满足sin cos ，tan tan tan tan ，则，的大小关系是()A BC. D解析：选B.为锐角，sin cos ，.又tan tan tan tan ，tan()，又，故选B.12(2018成都质检)若sin 2，sin ()，且，则的值是()A. BC.或 D或解析：选A.sin 2，cos 2且.又sin ()，cos ().因此，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，.13已知sin2sin0，则
29、tan_解析：sin2sin0sin cos cos sin 20sincos cos sin 20，等式两边同时除以cos cos ，得tan tan 202tan()2.答案：214(2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解：解法一：(1)tan ，.又sin2cos21.sin2，cos2.cos 2cos2sin2.(2)cos 2，为锐角0sin 2.cos()，、均为锐角，sin().cos()cos(2()cos 2cos()sin 2sin().sin()sin(2()sin 2cos()cos 2sin().tan().解法二：(1)cos 2cos2sin2.(2)为锐角，cos 2，2(0，)sin 2tan 2、为锐角，(0，)，又cos()，sin().tan()2.tan()tan(2().15(2018泉州模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2