《2023年高考人教版数学（理）大一轮复习讲义： 第二章.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考人教版数学（理）大一轮复习讲义： 第二章.DOC（71页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一节导数的运算、几何意义教材细梳理知识点1导数的概念函数yf(x)在xx0处导数的定义，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) 思考：f(x)与f(x0)的区别与联系提示：f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，所以f(x0)0.知识点2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)思考：直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线
2、相切吗？为什么？提示：不一定因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点知识点3求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式c0；(x)x1(Q*)；(sin x)cos_x；(cos x)sin_x；(ax)axln_a；(ex)ex；(logax)；(ln x)(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(3)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)对自变量的导数等于已知函
3、数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积设yf(u)，ug(x)，则yxf(u)g(x)四基精演练1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在x0附近的平均变化率()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)因为(ln x)，所以ln x()答案：(1)(2)(3)(4)2(知识点2)(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_解析：f(x)exln x，f(x)ex，f(1)e1(ln 11)e.答案：e3(知识点2)曲线yx2在点(1，2)处的切
4、线方程为_解析：yx2，y2x，y|x1211，所求切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy104(知识点3)已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_解析：设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex01，ex0a，又ex0x01，x02，ae2.答案：e2考点一导数的计算基础练通1已知f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0()Ae2B1Cln 2 De解析：选B.f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.2已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函
5、数，则f(0)的值为_解析：f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3答案：33(2018南昌模拟)已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：因为f(x)fcos xsin x，所以f(x)fsin xcos x，故ffsincos ，得f1.所以f(1)cos sin 1.答案：11求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少错误；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量2复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点二导数几何意义的应用探究变通命
6、题点1已知切点的切线方程问题例1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析：f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，a10，得a1，f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx，故选D.答案：D命题点2未知切点的切线方程问题例2(2018长沙模拟)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_解析：点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直
7、线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.答案：xy10母题变式在本例中，若曲线yxln x上点P的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析：y1ln x，令y2，即1ln x2，xe，点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)命题点3与切线有关的参数问题例3(2018南昌模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则b的值为_解析：因为直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，所以又因为yx3axb，所以y3x2a，当x1时，y3a，得切线的斜率为3a，所以k3a；所以由得：b3.答案：3导数几何意义应用的类型及解法
8、1已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)2若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可3已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程提醒求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点1(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_解析：y(ax1)ex(ax1)(ex)aex(ax1)ex(axa1)ex，y|x0a12，a3.答案：32(2018山西孝义模拟)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1，0)的切线方程是_解析：设切点坐标为(
9、x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.答案：y0或4xy40导数的几何意义与公切线的交汇创新导数的几何意义是每年高考的必考内容，常与函数、直线、抛物线等知识交汇命题直线ykxb与yf(x)和yg(x)都相切称此直线为公切线解决公切线相关问题应注意：切点未必是同一个；若未给出切点，应先设切点A(x1，f(x1)和B(x2，g(x2)，建立kf(x1)g(x2)的关系，利用方程思想求解例4若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_解析：直线ykxb与曲线
10、yln x2，yln(x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln(x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k.即A， B，A、B在直线ykxb上，答案：1ln 2素材库1(2018云南省高三统一检测)已知函数f(x)axln xb(a，bR)，若f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，则ab_解析：由题意，得f(x)aln xa，所以f(1)a，因为函数f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，所以a2，又f(1)b，则21b0，所以b2，故ab4.答案：42(2018金华十校联考(二)若函数f(x)ln xax的图象上存在
11、与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)ln xax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，又f(x)a，即a2在(0，)上有解，即a2在(0，)上有解，因为x0，所以22，所以实数a的取值范围是(，2)答案：(，2)限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018衡阳模拟)曲线f(x)在点(1，f(1)处切线的倾斜角为，则实数a()A1B1C7 D7解析：选C.f(x)，又f(1)tan1，a7.2(2018福州质检)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g
12、(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：选B.依题意得f(3)k321，k，则f(3)k，g(3)f(3)3f(3)110，故选B.3(2018成都模拟)直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选C.yln x的导数为y，解得x2，切点为(2，ln 2)将其代入直线yxb，得bln 21.4若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0C1 D2解析：选C.依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0，
13、mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.5(2018四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：选C.由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f(x)在0，)上是单调递减的，f(x)在2，3上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2)处的瞬时变化率，大于f(x)在点(3，f(3)处的瞬时变化率，所以0f(3)f(2)，即0f(3)f(3)f(2)f(2)6(2018江西南昌二中月考
14、)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析：选C.解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率kf(x0)，ln x01，x0e，k.解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)ln x及曲线f(x)ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.7(2018江西新余质检)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2解析：选D.f(x)，直线l的
15、斜率kf(1)1.又f(1)0，直线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，则m(1m)2m(1m)，得m2，故选D.8(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1，0)处的切线方程为_解析：由y2ln x得y.因为ky|x12，点(1，0)为切点，所以切线方程为y2(x1)，即2xy20.答案：2xy209(2018长沙模拟)已知函数yf(x)的图象在点M(2，f(2)处的切线方程是yx4，则f(2)f(2)_解析：yf(x)的图象在点M(2，f(2)处的切线方程是yx4，可得f(2)246，f(2)1，则f(2)f(2)617.答案：710已知f(x)为
16、偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_解析：令x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)f(x)，f(x)ln x3x(x0)，则f(x)3(x0)，f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，则y2x1.答案：y2x1B级能力提升练11(2018烟台模拟)若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a()AeB2eCe D2e解析：选B.依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有解得x0，a2e，选B.12已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A.
17、BC. D解析：选A.y，y.ex0，ex2，y1，0)，tan 1，0)又0，)，故选A.13(2018赣中南五校联考)已知函数fn(x)xn1，nN的图象与直线x1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 020x1log2 020x2log2 020x2 019的值为()A1 B1log2 0202 019Clog2 0192 018 D1解析：选A.由题意可得点P的坐标为(1，1)，fn(x)(n1)xn，所以fn(x)图象在点P处的切线的斜率为n1，故可得切线的方程为y1(n1)(x1)，所以切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 020x1log2 02
18、0x2log2 020x2 019log2 020(x1x2x2 019)log2 020log2 0201，故选A.14若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：选A.设函数yf(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1x2，则由题意知，只需函数yf(x)满足f(x1)f(x2)1即可，yf(x)sin x的导函数为f(x)cos x，则f(0)f()1, 故函数ysin x具有T性质：yf(x)ln x的导函数为f(x)，则f(x1)f
19、(x2)0，故函数yln x不具有T性质；yf(x)ex的导函数为f(x)ex，则f(x1)f(x2)ex1x20，故函数yex不具有T性质；yf(x)x3的导函数为f(x)3x2，则f(x1)f(x2)9xx0，故函数yx3不具有T性质故选A.15(2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_解析：由题意可知f(x)a，所以f(1)a1，因为f(1)a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.令x0，得y1，即直线l在y轴上的截距为1.答案：116(2018潍坊模拟)若函数f(x)
20、x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2axln x的定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号)答案：2，)C级素养加强练17(2018长沙市模拟)已知f(x)ax3x2xb(a，bR，a0)，g(x)ex(e是自然对数的底数)，f(x)的图象在x处的切线方程为yx.(1)求a，b的值；(2)探究：直线yx是否可以与函数g(x)的图象相切？若可以，写出切点的坐标；若不可以，说明理由解：(1)因为f(x)ax3x2xb，所以f(x)3ax22x1，因为f(x)ax3x2xb的图
21、象在x处的切线方程是yx，所以f，即3a21，解得a1.因为f(x)的图象过点，所以b，解得b.综上，a1，b.(2)设直线yx与函数g(x)的图象相切，切点为点B(x0，y0)，因为g(x)ex，所以过点B的切线的斜率是g(x0)ex0.又直线yx的斜率是，所以ex0，解得x0.将x0代入yex得点B的坐标为，所以直线yx可以与函数g(x)的图象相切，切点坐标为.第二节导数与函数的单调性教材细梳理知识点利用导数研究函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)f(x)0f(x)在(a，b)上为单调递增函数f(x)0(0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没
22、有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(4)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()答案：(1)(2)(3)(4)2(知识点)函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析：选D.由yf(x)的图象知，在(，0)上yf(x)为正，且逐渐增大，而在(0，)上yf(x)为负且逐渐增大3(知识点)函数f(x)xln x的单调递减区间是() A(0，1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)解析：选A.函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0得0x1.4(知识点)若函数f(x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_解
23、析：f(x)cos xk0，kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，故f(x)0，所以f(x)xex在(0，)上是增函数2(2018石家庄二模)已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在上单调递增D在上单调递减解析：选D.因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.答案：和确定函数单调区间的步骤1确定函数f(x)的定义域2求f(x)3解不等式f(x)0，解集在
24、定义域内的部分为单调递增区间4解不等式f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).(1)当0a1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增.命题点2构造函数判断导函数符号例2(2018广州模拟)已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：
25、(1)由题意知f(x)，可得f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)内是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0时xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)解析：记函数g(x)(x0)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xR) 是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0
26、)上单调递增，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)答案：A(2)(2018江西宜春质检)已知f(x)是定义在区间(0，)上的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A4f(1)f(2)Cf(1)4f(2) Df(1)2f(2)解析：因为xf(x)2f(x)，则xf(x)2f(x)0)，则g(x)0，即g(x)g(2)，故4f(1)f(2)故选B.答案：B素材库1(2018宁波模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中
27、e为自然数对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析：选A.设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，因为f(x)f(x)1，所以f(x)f(x)10，所以g(x)0，所以g(x)exf(x)ex在定义域上单调递增，因为exf(x)ex3，所以g(x)3，又因为g(0)e0f(0)e03.所以g(x)g(0)即x0，故选A.2(2018东城期末)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_解析：f(x)3x212，由f(x)0，得函数的增区间是(，2)及(
28、2，)，由f(x)0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以k12k1或k12k1，解得3k1或1k3.答案：(3，1)(1，3)限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018岳阳模拟)函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：选A.函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)2已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不