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1、第八单元第八单元 数列数列第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法1.数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项),往后各项依次叫做这个数列的第2项，第n项，.数列的一般形式可以写成 其中 是数列的第n项，我们把上面的数列简记为 .2.数列的分类（1）根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数有限的数列；无穷数列项数无限的数列.（2）按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列从第2项起，每一项都小于它的
2、前一项的数列；常数列各项相等的数列；摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.基础梳理基础梳理2021/8/8 星期日13.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集）为定义域的函数 =f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.4.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,记作 =f(n).5.递推公式如果已知数列 的
3、首项（或前n项)，且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.6.数列的简单表示法:列举法、列表法、解析法、图象法.7.数列 与 之间的关系 ,8.数列 中，若 最大，则 若 最小，则2021/8/8 星期日2典例分析典例分析【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.(4)9,99,999,9 999,;(5)1,3,6,10,15,.题型一题型一 根据所给数列前几项求通项公式根据所给数列前几项求通项公式分析 写出数列的通项公式，应注意观察数列中各项和项数n的联系和变化情况，应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列与 相
4、关的数列、等差数列、等比数列，以及由它们组成的数列，从其中找出规律，并分别写出通项公式.2021/8/8 星期日3解 （1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为13,35,57,79,911,是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为(2)数列的前5项可改写为：由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列 ，分子构成规律为 ,分母也为两个连续奇数的积,故(3)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，分母依次为1,2,3,4,分子为1,0,-1,0,呈周期性变化，可以用 表示，当然也可以用 表示.故 .2021/8/8 星期日4(4)数列中的每一项均可以看做是10的若干次幂与1的差，
5、则通项公式为(5)由观察可知，此题亦可这样考虑：以上（n-1）个式子左边相加为 ,又2021/8/8 星期日5学后反思 （1）根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从“特殊”到“一般”的思想;由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用 来调整.2021/8/8 星期日6举一反三举一反三1.数列 的一个通项公式 是()A.B.C.D.解析:将数列中的各项变为 故其通项公式
6、 =.答案:D2021/8/8 星期日7题型二题型二 根据数列的递推公式求通项公式根据数列的递推公式求通项公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式.分析 (1)将递推关系写成n-1个等式累加.（2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.解（1）当n=1,2,3,n-1时，可得n-1个等式：将其相加，得2021/8/8 星期日8(2)方法一：方法二：由 得2021/8/8 星期日9学后反思（1）对于由形如 的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项.（2）对于由形如 的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.2.根据下列各个数列 的
7、首项和基本关系式，求其通项公式.举一反三举一反三2021/8/8 星期日10解析：(1)以上n-1个等式两边分别相加得:(2)以上n-1个式子等式两边分别相乘得2021/8/8 星期日11题型三题型三 利用数列的前利用数列的前n项和公式求通项项和公式求通项【例3】已知下面数列 的前n项和 ,求 的通项公式.（1）(2)分析 当n2时，由 求出 ，再验证当n=1时 是否适合上式.解 (1),当n2时，由于 也适合此等式，(2)当n2时，2021/8/8 星期日12 当b=-1时，适合此等式；当b-1时，不适合此等式.当b=-1时，当b-1时，学后反思 数列的通项an与前n项和Sn的关系是此公式经
8、常使用，应引起足够的重视.已知 求 时方法千差万别，但已知 求 时方法却是高度统一.当n2时，求出 也适合n=1时，可直接写成 ，否则分段表示.举一反三举一反三3.（1）已知数列 的前n项和 满足 求 的通项公式；（2）已知 求 的通项公式.2021/8/8 星期日13解析：（1）由已知得 当n=1时，当n2时，(2)由 得 ,当n2时，,即 数列 为等差数列，且公差d=4.又2021/8/8 星期日14题型四题型四 数列与函数数列与函数【例4】(12分)已知数列的通项公式为 (1)0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解 (1)令 解得n=7,.30.98是此数列的项.6分析 （1
9、）令 =0.98,看能否求出正整数n；（2）判断 的正负.（2）.8 .10 故此数列是递增数列.12学后反思（1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程 =k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较 与 的大小.2021/8/8 星期日15举一反三举一反三4.已知数列 的前n项和 (nN*).(1)求 的通项公式；（2）当n为何值时，达到最大？最大值是多少？解析：（1）n=1时，当n2时，=-2n+25.经验证，符合 =-2n+25,=-2n+25.(2)方法一：n=12时，最大，且 =144.方法二：=-2n+25,当 =-2n+250时,有n ，0,0,故 最大，最大值为14
10、4.2021/8/8 星期日16【例】已知数列 中 (nN*)，且 单调递增，则k的取值范围是()A.(-,2 B.(-,3)C.(-,2)D.(-,3易错警示易错警示错解 因为 是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若 递增，则必有 故k2，即选A.错解分析 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)的特殊函数.故对于数列的单调性的判断一般要通过比较 与 的大小来判断，若 ，则数列为递增数列，若 ,则数列为递减数列.2021/8/8
11、 星期日17正解 由于,由于 单调递增，故应有 恒成立，分离变量得k2n+1,故只需k3即可，即选B.考点演练考点演练 10.(2009德化模拟)定义：称 为n个正数 的“均倒数”，若数列 的前n项的“均倒数”为 ,则数列 的通项公式为 =.解析:由条件知 即 当n2时，又 满足上式，故 答案：4n-32021/8/8 星期日1811.在数列 中，(nN*)，求数列 的通项公式.解析：由 得，当n2时，,两式相减并整理得 即 (n2).又由 得 由于故数列 是从第2项起，以 为公比的等比数列.故2021/8/8 星期日1912.（创新题)已知函数 ，数列 满足 (1)求数列 的通项公式;(2)
12、求证：数列 是递减数列.解析:(1),(2)证明：由（1）得 是递减数列.2021/8/8 星期日20第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.当d0时，此数列为递增数列;d0,即数列 是 =1,d=2的等差数列.4.2021/8/8 星期日53（2）依题意 当n2时，.6 .7-得 .9.5 2021/8/8 星期日54(3).10要使数列 为等比数列，必须使+6=0，故存在=-6,使 为等比数列.学后反思 本题综合考查了等差数
13、列、等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了错位相减法、待定系数法等常用数学方法.解答时要注意分析问题、综合应用知识解决问题的能力的培养.4.（2009潍坊模拟）已知等比数列 与数列 满足 （nN*）.(1)判断 是何种数列，并给出证明；（2）若 求 的值;(3)若 求 的最大或最小值.举一反三举一反三2021/8/8 星期日55解析:（1）证明:设 的公比为q（q0）,是以 为公差的等差数列.（2）由等差数列的性质，得2021/8/8 星期日56(3)由 ,得 解得即当 时，Sn有最大值即当n=5时，有最大值2021/8/8 星期日57易错警示易错警示【例1】设数列 对所有正奇数n都满足求数
14、列 的前n项和 .错解 由-得 是等比数列 .故求得错解分析 本题中运用时，显然在n2时才能成立，所以 也只能在n2时才能成立.2021/8/8 星期日58正解 由上可知 (n2).令n=1,由得 ;令n=2，由得所以数列 不是等比数列，但从第二项开始以后各项构成等比数列.2021/8/8 星期日59【例2】已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为2,求这个等比数列的公比.错解 依题意，设这四个数分别为则 由得a=,代入并整理，得解得原等比数列的公比为错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 公比为 就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么
15、同负，而例题中无此规定,错误就出在这里.2021/8/8 星期日60正解 依题意，设这四个数为则 解得 10.等比数列 的前n项和为 ,若 则 =.考点演练考点演练 解析：为等比数列,也成等比数列,且q=2,即a10+a11+a12=16.答案：162021/8/8 星期日6111.设 是由正数组成的等比数列，是其前n项和，求证：证明：设 的公比为q且q0,则由 为正数列，两边取对数可得:2021/8/8 星期日6212.（创新题）数列 的前n项和 数列 满足:(nN*).(1)求证：数列 为等比数列;(2)求数列 的前n项和解析:(1)证明：nN*,两式相减得 nN*.由a1=1,知 0,由
16、定义知 是首项为1,公比为2的等比数列.(2)等式两边分别相加得2021/8/8 星期日63第四节第四节 数列求和数列求和基础梳理基础梳理1.数列求和的常用方法（1）公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求.掌握一些常见的数列的前n项和.(2)倒序相加法 如果在一个数列 中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.2021/8/8 星期日64（3）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列 的前n项和就是用此法推导的
17、.（4）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和.常见的拆项公式有：.2021/8/8 星期日65 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差，等比或常见的数列，即先分别求和，然 后再合并，形如：,其中 等差数列；是等比数列；典例分析典例分析题型一利用错位相减法求和题型一利用错位相减法求和【例1】(2008全国)在数列 中,.(1)设 ,证明:数列 是等差数列 ；（2）求数列 的前n项和 .(5)分组求和法分析:(1)求 ，观察 与 的关系.（2）由的特点可知，运用错位相减法求2021/8/8 星期日66解（
18、1）证明：由已知 得 又 ,是首项为1，公差为1的等差数列.学后反思(1)一般地，如果数列 是等差数列，是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错位相减法.（2）用错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意;在写出“”与“q ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“-q ”的表达式;.（2）由(1)知 ,即，,两边乘以2得:,两式相减得 2021/8/8 星期日67举一反三举一反三1.求和:解析:应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查 由-得综上所
19、述2021/8/8 星期日68题型二题型二 利用裂项相消法求和利用裂项相消法求和【例2】(2008江西)等差数列 的各项均为正数,前n项和 为x为等比数列,(1)求(2)求分析由条件易求得应用裂项法求出 的值.解 设 的公差为d,的公比为q,则d为正数，依题意有解得 或2021/8/8 星期日69学后反思如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如 ,其中 是等差数列时，可尝试采用此法.常用裂项技巧如：使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要注意由于数列 中每一项 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正
20、数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.实质上，正负项相消是此法的根源和目的.2021/8/8 星期日70举一反三举一反三2.求数列解析：题型三题型三 倒序相加法求和倒序相加法求和【例3】设函数 图象上有两点 ，若 p是 的中点,且p点的横坐标为 .求证p点的纵坐标为定值，并求出这个值；求2021/8/8 星期日71分析（1）由已知函数图象上两点 可得,设P(x,y),根据中点坐标公式去求(2)根据（1）的结论：若 ，则由 可以得到 ，利用倒序相加进行求解.解(1)证明:P为 的中点，2021/8/8 星期日72学后反思本题在求和时，运用第（1）问
21、所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通项的特征，即 ，由于距首末两项等距的两项相加和为定值，所以可以用倒序相加法求和.2021/8/8 星期日73举一反三举一反三 3.如果函数f(x)满足:对任意的实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,则f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)=.解析：由已知f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4;f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4;f(1 004)+f(1 006)=4.令S=f(2)+f(4)+f(6)+f(2 0
22、08),则S=f(2 008)+f(2 006)+f(2).于是2S=f(2)+f(2 008)+f(4)+f(2 006)+f(2 008)+f(2)=41 004=4 016,故S=4 016=2 008.答案：2 0082021/8/8 星期日74题型四题型四 分组法求和分组法求和【例4】(12分)(2008陕西)已知数列 的首项(1)求证：数列 是等比数列；（2）求数列 的前n项和 .分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从 得到 的等式关系.（2）充分利用（1）的结论得出 .欲求数列 的前n项和 可先求出的值 .解(1)2021/8/8 星期日75学后反思有些数列通过适当分组
23、可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式求和，从而得出原数列的和.拆项法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列，从而求得原数列的和的一种求和方法.-2021/8/8 星期日76举一反三举一反三4.（2009浙江省金丽衢联考）已知在数列 中，（1）求证：数列 -1是等比数列;(2)设数列2n 的前n项和为 ，求的大小.解析：2021/8/8 星期日77易错警示易错警示【例1】求和:错解.正解(1)当x1且y1时(2)当x1且y=1时,(3)当x=1且y1时，(4)当x=1且y=1时，=2n.错解分析 等比数列的求和公式应分q=1和q1
24、两种情况讨论.上述解答只求了x1且y1的一种情况.2021/8/8 星期日78【例2】在等差数列 中，是数列 的前n项和.若 求忽略了对n的讨论，由于n的不同，数列 并不是等差数列。错解错解分析2021/8/8 星期日79正解2021/8/8 星期日80考点演练考点演练10.(2009江门模拟)有限数列 为其前n项的和，定义 为A的“凯森和”;如果有99项的数列 的“凯森和”为1 000,则有100项的数列 的“凯森和”为.解析：的“凯森和”为 数列 的“凯森和”为:答案：9912021/8/8 星期日8111.已知数列 的前n项和 (1)求证：数列 是等差数列；（2）若 ,求数列 的前n项和
25、 .解析2021/8/8 星期日8212.数列 中，(1)求(2)求数列 的前n项和 ;(3)设 ,存在数列 使得 ,试求数列 的前n项和.解析2021/8/8 星期日832021/8/8 星期日84第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用基础梳理基础梳理1.解答数列应用题的基本步骤（1）审题仔细阅读材料，认真理解题意;（2）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实 际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求什么;（3）求解求出该问题的数学解;（4）还原将所求结果还原到原实际问题中.2021/8/8 星期日85（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模 型是等差模型，增加
26、（或减少）的量就是公差.其一般形式 是：=d(常数).100=q2.数列应用题常见模型(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式是:(3)混合模型：在一个问题中同时涉及到等比数列和等差数列的模型.(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）,称该模型为生长模型，如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.（5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项 与它的前一项 （或前n项）间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的 知识求解问题.(常数).2021/8/8 星期日86典例
27、分析典例分析题型一题型一 数列的实际应用数列的实际应用【例1】陈老师购买安居工程集资房72平方米,单价为1 000元/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%,每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）(参考下列数据1.07591.917,1.075102.061,1.075112.216)分析(1)分期付款，各期所付的款与各期所付款时所生利息的合计，应等于个人负担的购房余额的现
28、价及这个条款现价到最后一次付款时所生的利息之和.（2）每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息.2021/8/8 星期日87解 设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房10年后)，第1年付款及所生利息之和为x1.0759元，第2年付款及所生利息之和为x1.0758元，第9年付款及其所生利息之和为x1.075元，第10年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为1 00072-(28 800+14 400)1.07510=28 8001.07510元，x(1+1.075+1.0752+1.0759)=28 8001.07510.x=28 8001.075101.075-11.0751
29、0-1=28 8002.0610.0704 196（元）.每年需付款4 196元.学后反思用数列知识解相关的实际问题时，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.2021/8/8 星期日88举一反三举一反三1.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供如图所示两个不同的信息.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只肉鸡.乙调查显示：养鸡
30、场个数由第1年的30个减少到第6年的10个.请回答下列问题：（1）第2年养鸡场的个数及全县生产肉鸡的只数各是多少？（2）第6年这个县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数增加了还是减少了？解析：（1）设第n年全县有养鸡场 个，每个养鸡场产鸡 万只，则由题意，,都是等差数列，且.因此,(万只).所以第2年有鸡场26个，全县产鸡31.2万只.2021/8/8 星期日89（2）由（1）知，,所以第6年出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.【例2】已知 (a0且a1)，设f(),f(),f()(nN*)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)设a为常数，求证：为等比数列;(2)若 =的前n项和是 ,当a=2
31、时，求分析（1）把函数问题转化为数列问题，求出 ，再用等比数列的定义证明.(2)确定 的特征（等差数列与等比数列的乘积），运用恰当的方法（错位相减法）求 .题型二题型二 数列与函数的综合应用数列与函数的综合应用2021/8/8 星期日90解（1）证明：2021/8/8 星期日91学后反思数列与函数的综合问题主要有以下两类:（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法.举一反三举一反三2.已知=2，点(,)在函数 的图象上，其中n=1,2,3，.(1)证明：数列lg(1+)是
32、等比数列;(2)设 ，求 及数列 的通项;2021/8/8 星期日92解析：（1）证明：由已知 .,两边取对数得即lg(1+)是首项为lg 3，公比为2的等比数列.(2)由（1）知,2021/8/8 星期日93题型三题型三 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例3】(12分)设数列 的前n项和为 ,且 其中m为常数，m-3,且m0.(1)求证:是等比数列；(2)若数列 的公比满足q=f(m)且 ,求证:为等差数列，并求 .分析对于已知的条件运用 之间的关系式：求出 之间的关系，以及 之间的关系，再进行判定.2021/8/8 星期日94证明（1）由 ,得 ,两式相减，得 .
33、,m是常数,且m-3,m0,.4故 是不为0的常数.是等比数列.62021/8/8 星期日95学后反思（1）为了求数列 的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列 的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题.本题求解过程中用到 与 之间的关系式:该公式运用时要注意验证n=1时的情况.（2）等差数列的判定方法:定义法：对于数列 ，若 (常数),则数列 是等差数列；等差中项法：对于数列 ，若 ,则数列 是等差数列.(3)等比数列的判定方法：定义法：对于数列 ,若 0),则数列 是等比数列；等比中项：对于数列 ，若 ,则数列 是等比数列.2021/8/8 星期日96举一反三举一反三3.（2010广东深圳调研
34、）设数列 的前n项和为 ,其中 0,为常数，且-,成等差数列.(1)求 的通项公式;（2）设 =1-，问是否存在 ,使数列 为等比数列？若存在，则求出 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由题意可得2 =-,当n2时，有两式相减,得 =3 (n2),又 是首项为 ,公比为3的等比数列,2021/8/8 星期日97(2)方法一：要使 为等比数列，当且仅当,即 ,此时 ,是首项为3,公比为3的等比数列.能为等比数列，此时方法二：设数列 能为等比数列，则 成等比数列，2021/8/8 星期日98又 0,得 此时 是首项为3,公比为3的等比数列，能为等比数列，此时方法三：设数列 能为等比数列,即满
35、足即 ,将 代入得 ,此时2021/8/8 星期日99易错警示易错警示【例】从社会效益和经济利益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加 .(1)设n年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 ,的表达式;（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？错解（1）n年内的总投入为 ,n年内总收入为.(2)令 ，得 800 ,化简得 ,即 ,由此得n4.2021/8/8 星期日100错解分析本题
36、将等比数列的知识应用于生态环境建设的实际，考查了等比数列的基本知识，二次不等式的解法，以及估算能力.考生因错误理解题意而把总投入 和总收入 误求为数列的第n项.有的考生不会由不等式 估算n的取值范围.本题应在认真审题的基础上，认识到每年的投入资本和旅游业的收入均形成等比数列，n年内的总投入和n年内的总收入为等比数列的前n项和，再令 ,解二次不等式，结合估算使问题得以解决.正解（1）第1年投入为800万元，第2年投入为 万元，,第n年投入为 万元，所以，n年内的总投入为.第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为 万元,第n年旅游业收入 万元.所以，n年内的旅游业总收入为2021/8/8
37、星期日101(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此即 1 600 -4 000 0,令x=,代入上式得:.解此不等式，得x ,或x1（舍去），即 ,由此得n5.所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.考点演练考点演练10.某人按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为 ，则数到2 011时对应的指头是，数列 的通项公式 =.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)解析：对应中指的数列：3，7，11，15，19，,其通项公式 =4n-1.而2 011=4503-1,故2 011对应中指.答案：中指 4n-120
38、21/8/8 星期日10211.某企业投资1 000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(取lg 2=0.3)解析：设该企业逐年的项目资金数依次为 ,则由已知 (1+25%)-200(nN*),即令 即 ,由 =200,得x=800,-800=(-800)(nN*),2021/8/8 星期日103故 -800是以 -800为首项,为公比的等比数列.=1 000(1+25%)-200=1 050,-800=250,-8
39、00=,=800+(nN*).由题意 4 000,800+4 000,即 16,nlg lg 16,即n(1-3lg 2)4lg 2,lg 2=0.3,0.1n1.2,故n12.2021/8/8 星期日10412.（2008福建）已知 是正数组成的数列，=1,且点(,)(nN*)在函数 的图象上.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足,求证:.解析：（1）由已知得 ,即又 =1,所以数列 是以1为首项，公差为1的等差数列.故 =1+(n-1)1=n.(2)证明：方法一：由(1)知 =n,从而2021/8/8 星期日105方法二：因为,所以 .2021/8/8 星期日1062021/8/8 星期日107