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1、第四单元第四单元 导数及其应用导数及其应用第一节第一节 导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理1.函数f(x)从 到 的平均变化率函数f(x)从 到 的平均变化率为 ，若 ，则平均变化率可表示为 。2021/8/8 星期日12.函数f(x)在 处的导数（1）定义称函数f(x)在 处的瞬时变化率为函数f(x)在 处的导数，记作 或 ，即 （2）几何意义函数f(x)在 处的导数 的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率，相应的，切线方程为 2021/8/8 星期日23.函数f(x)的导函数函数 称为f(x)的导函数，导函数有时也记作 4.基本初等函数的导数公式2021/8/8 星
2、期日3原函数导函数f(x)=cf(x)=0f(x)=f(x)=f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=(a0)f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=(a0,且a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=2021/8/8 星期日45.导数运算法则（1）cf(x)=cf(x)；（2）f(x)g(x)=f(x)g(x);（3）f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);（4）典例分析典例分析题型一题型一 利用导数定义求导数利用导数定义求导数【例1】用导数定义求y=在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义求导数的方法是求极限2021/8/8 星期日
3、5解 学后反思 根据导数的定义求函数y=f(x)在点 处导数的步骤为：求函数的增量y=f(+x)-f();求平均变化率得导数2021/8/8 星期日6举一反三举一反三1.已知y=，利用定义求y,y|x=1.解析:题型二题型二 利用求导公式求导数利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.2021/8/8 星期日7分析 直接利用导数公式和导数运算法则求导.解 (1)方法一：所以方法二：2021/8/8 星期日8学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答此类问题的关键.2021/8/8 星期日9举一反三举一反三2.求下列函数的导数.解析：2021/8/8 星期日10题型三题型三 导数的物理意义
4、及物理上的应用导数的物理意义及物理上的应用【例3】一质点运动的方程为（1）求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1的瞬时速度.分析 第（1）问可利用 公式；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.解 （1）质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一：利用定义法.质点在t=1时的瞬时速度2021/8/8 星期日11方法二：利用求导法.质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思 对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的
5、函数，这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.举一反三举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，在t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.2021/8/8 星期日12解析：物体在 时刻瞬时速度为 题型四题型四 导数的几何意义及几何上的应用导数的几何意义及几何上的应用【例4】(12分)已知曲线（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.2021/8/8 星期日13解（1）y=,2在点P（2，4）处
6、的切线的斜率 .3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4(2)设曲线 过点P（2，4）的切线相切于点则切线的斜率 .6切线方程为即 .8点P（2，4）在切线上，4=,9即即2021/8/8 星期日14 10所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(,)得出切线方程y-=f()(x-),然后把已知点代入切线方程求(,),进而再求出切线方程.举一反三举一反三4.已知曲线C:y=-3 +2x,直线l:y=kx，且直线
7、l与曲线C相切于点(,)(0),求直线l的方程及切点的坐标.2021/8/8 星期日15解析：y=3 -6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(,),解得 .切点为（,）.把切点坐标代入y=kx得切线方程为y=x,即x+4y=0.易错警示易错警示【例】已知曲线y=上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.2021/8/8 星期日16错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指：曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如上图所示）.正解 如上图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为
8、y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.错解 y=在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.2021/8/8 星期日17考点演练考点演练10.点P是曲线y=-ln x上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是 .解析:作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=-ln x相切，则切点到直线y=x-2的距离最小.由y=2x-=1,得x=1，或x=(舍去).切点为（1，1）,它到直线x-y-2=0的距离为d=答案:2021/8/8 星期日1811.已知函数f(x)=2 +ax与g(x)=b +c的图象都过P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.解析：f(x)过
9、点（2,0）,f(2)=2 +a2=0得a=-8.同理,g(2)=4b+c=0.f(x)=6 -8,在点P处的切线斜率k=f(2)=6 -8=16.而g(x)=2bx,2b2=16,b=4，c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.2021/8/8 星期日1912.（创新题）设曲线C：y=-3x和直线x=a(a0)的交点为P，曲线C在P点的切线与x轴交于点Q（-a,0），求a的值.解析：依题意 解得P(a,-3a).y=3 -3，所以在P点斜率为3 -3的曲线C的切线方程为y-(-3a)=(3 -3)(x-a).令y=0得切线与x轴的交点为（，0），则有 =-a，解得a=0或a=
10、.由已知a0，所以a的值为 .2021/8/8 星期日20第二节第二节 导数的应用（导数的应用（）基础梳理基础梳理1.函数的单调性在某个区间(a,b)内，若f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义.（1）如果在 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f()是极大值；（2）如果在 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f()是极小值.2021/8/8 星期日21典例分析典例分析题型一题型一 利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间分析 通
11、过解f(x)0,求单调递增区间.【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的单调增区间.解 f(x)=-ax-1,f(x)=-a.令f(x)0,得 a.当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时，f(x)的单调增区间为ln a,+).2021/8/8 星期日22举一反三举一反三学后反思 求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f(x)；（3）令f(x)=0，求出全部驻点补充定义:若函数f
12、(x)在点x0处的导数f()=0，则称点 为函数f(x)的驻点；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.1.函数y=xsin x+cos x,x(-,)的单调增区间是()A.（-,-）和（0,）B.（,0）和（0,）C.（-,-）和（,）D.（-,0）和（,）2021/8/8 星期日23答案：A题型二题型二 已知函数的单调性求参数范围已知函数的单调性求参数范围解析:y=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x（-,-）时,y=xcos x0,y为增函数；当x（,0）时,y=xcos x0,y为减函数;当x（0,）时,y
13、=xcos x0,y为增函数；当x（,）时,y=xcos x0,y为减函数.y=xsin x+cos x在(-,)和(0,)上为增函数.【例2】已知函数f(x)=-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.2021/8/8 星期日24分析 函数的增区间是f(x)0恒成立的区间，函数的减区间是f(x)0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.解 (1)由已知f(x)=3 -a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3 -a0在(-,+)上恒成立，即a3 在xR
14、上恒成立.3 0,只需a0.又a=0时，f(x)=3 0,f(x)=-1在R上是增函数，a0.(2)由f(x)=3 -a0在(-1,1)上恒成立，得a3 在x(-1,1)上恒成立.-1x1,3 3,只需a3.当a3时，f(x)=3 -a在x(-1,1)上恒有f(x)0,即f(x)在（-1,1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.2021/8/8 星期日25举一反三举一反三答案：C 2.已知a0,函数f(x)=-+ax在1,+)上是减函数，则a的取值范围是()A.a1 B.0a2C.0a3 D.1a3解析:f(x)=-3 +a,f(x)在1,+)上是减函数,-3
15、 +a0在1,+)上恒成立，即a3 .而函数y=3 在1,+)上的最小值是3,0a3.学后反思 关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如af(x)(xD)得a (xD);af(x)(xD)得a (xD).这种转化思想很重要，要注意掌握.2021/8/8 星期日26题型三题型三 利用导数求函数的极值利用导数求函数的极值分析 按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.【例3】求函数f(x)=-2的极值.解 易知f(x)的定义域为R.令f(x)=0,解得x=1或x=-1.当x变化时，f
16、(x)、f(x)的变化情况为：2021/8/8 星期日27x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)极小值-3极大值-1当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.学后反思 求函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f(x);（3）求方程f(x)=0的全部实根；（4）检查方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，可用列表的方法：用方程f(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域
17、分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.2021/8/8 星期日28举一反三举一反三x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增单调递减0单调递增3.求函数f(x)=的极值.解析：函数的定义域为R.f(x)=2x +ex=x(x+2).令f(x)=0,解得x=-2或x=0.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=;当x=0时，f(x)有极小值f(0)=0.2021/8/8 星期日29题型四题型四 已知函数的极值求参数的值已知函数的极值求参数的值分析 本题考查函数极值的概念，考查运用导数研
18、究函数性质的方法.首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值.【例4】(12分)已知函数f(x)=a +b -3x在x=1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.解 f(x)=3a +2bx-3,.2依题意得f(1)=f(-1)=0,.4所以f(x)=-3x,f(x)=3 -3=3(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x=-1或x=1.62021/8/8 星期日30若x(-,-11,+),则f(x)0，故f(x)在(-,-1和1,+)上是增函数8若x-1,1,则f(x)0,故f(x)在-1,1上是减函数.10所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极
19、小值.12学后反思 注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.举一反三举一反三4.（2009江苏南通模拟）已知函数f(x)=+a +bx+c在点x0处取得极小值-5，其导函数y=f(x)的图象经过点（0，0），（2，0）.（1）求a,b的值；（2）求x0及函数f(x)的表达式.2021/8/8 星期日31易错警示易错警示解析：（1）由题设可得f(x)=3 +2ax+b.f(x)的图象过点（0，0），（2，0）,解得a=-3,b=0.（2）由f(x)=3 -6x0，得x2或x0，在（-,0）上f(x)0，在（0，2）上f(x)0，在（2，+）上f(x)0,f（x）在（-，0），（2
20、，+）上递增，在（0，2）上递减，因此f(x)在x=2处取得极小值，所以 =2，由f(2)=-5，得c=-1,f(x)=-3 -1.【例】函数f(x)=在x=1处有极值10,求a、b的值.2021/8/8 星期日32错解 f(x)=,由题意知f(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且 +a+b+1=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.错解分析 错误的主要原因是把f()为极值的必要条件当作了充要条件.正解 f()为极值的充要条件是f()=0且f(x)在 附近两侧的符号相反.所以后面应该加上：当a=4,b=-11时，f(x)=3+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1
21、附近两侧的符号相反，a=4,b=-11满足题意;当a=-3,b=3时，f(x)=3(x-1)2在x=1附近两侧的符号相同，a=-3，b=3应舍去.综上所述，a=4,b=-11.2021/8/8 星期日33考点演练考点演练10.（2009成都模拟）定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：f(-x)+f(x)=0.当x(-1,0)时，函数f(x)的导函数f(x)0恒成立.如果f(1-a)+f(1-)0，则实数a的取值范围为 .解析：f(-x)=-f(x),x(-1,1),f(x)为奇函数；又x(-1,0)时，f（x）0,f（x）在（-1，0）上是单调递减函数.由奇函数的性质可知f(x)在x(-1,
22、1)上为单调递减函数，f(1-a)+f(1-)0f(1-a)f(-1)答案：（1，）2021/8/8 星期日3411.已知函数f(x)=.若f(x)在区间1,+)上是增函数，求实数a的取值范围.解析：f(x)=3 -2ax-3.f(x)在1,+)上是增函数,f(x)在1,+）上恒有f(x)0，即3 -2ax-30在1,+)上恒成立，则必有令g(x)=,又g(x)在1,+)上为增函数，当x=1时，g(x)取最小值0,0,即a0.12.（2009北京）设函数f(x)=-3ax+b(a0).（1）若曲线y=f(x)在点（2,f(2)）处与直线y=8相切，求a,b的值；（2）求函数f(x)的单调区间与
23、极值点.2021/8/8 星期日35解析：（1）f(x)=3 -3a.因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，解得a=4,b=24.（2）f(x)=3（-a）(a0).当a0时，f（x）0，函数f(x)在（-，+）上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f(x)=0得x=.当x(-，-)时，f(x)0,函数f(x)单调递增；当x(-，)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(,+)时，f(x)0，函数f(x)单调递增.此时x=-是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点.2021/8/8 星期日36第三节第三节 导数的应用导数的应用()()基础梳理基础梳
24、理1.一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.2021/8/8 星期日37典例分析典例分析题型一题型一 求函数的最值求函数的最值分析 通过求导，令f(x)=0,找到函数的极值点，
25、将极值与端点处的函数值相比较，来找到最值.【例1】已知函数f(x)=,求函数在-1,1上的最值.解 f(x)=,f(x)=令f(x)=0,得 ,x=0，或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=,f(1)=e,=f(1)=e,=f(0)=0.2021/8/8 星期日38学后反思 求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三举一反三（2008广东）已知a为实数，函数f(x)=(+1)(x+a).若f(-1)=0,求函数y=f(x)在 ,1上的最大值和最小值.解析:f(x)=3
26、 +2ax+1.f(-1)=0,3-2a+1=0,即a=2.f(x)=3 +4x+1=3(x+)(x+1).由f（x）0，得x-1或x-;由f(x)0,得-1x-.因此，函数f(x)的单调递增区间为 ,-1和-,1,单调递减区间为-1,-.2021/8/8 星期日39题型二题型二 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用分析 本题根据给出的等量关系“平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用”，便可得到函数f(x)的关系式.利用导数的知识便可知函数何时取得极值.f(x)在x=-1取得极大值f(-1)=2;f(x)在x=-取得极小值f(-)=.又f(-)=,f(1)=6,且 ,f(x)在-,1
27、上的最大值为f(1)=6,最小值为f(-)=.【例2】（2008广东）某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）2021/8/8 星期日40答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.学后反思 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数的最值的方法求解
28、，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)=(560+48x)+=560+48x+(x10，xN*)，f(x)=48-，令f(x)=0,得x=15.当x15时，f(x)0；当10 x15时，f(x)0.因此，当x=15时，f(x)取得最小值f(15)=2 000.2021/8/8 星期日41举一反三举一反三2.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700 x+45 -10 (单位：万元)，成本函数为C（x)=460
29、 x+5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问：年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？解析：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10 +45x2+3 240 x-5 000(xN*,且1x20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30 +60 x+3 275(xN*,且1x19).（2）P(x)=-30 +90 x+3 240=-30(x-12)(x+9),x0,P(x)=0时，x=12，当0 x12时，P(x)0，当x1
30、2时，P(x)0，x=12时P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.2021/8/8 星期日42题型三题型三 用导数求解函数的字母参数问题用导数求解函数的字母参数问题分析 先求函数的定义域，然后把问题转化为f(x)0在定义域上有解的问题来解决.【例3】若函数f(x)=ln x-2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解 函数f(x)存在单调递减区间，就是不等式f(x)0有解，考虑到函数的定义域为（0,+），所以就是要求不等式f(x)0在（0,+）上有解.函数f(x)的导函数f(x)=-ax-2=-a +2x-1x.由题意知，f(x)0在定义域（0,+）上有解，即a
31、 +2x-10在（0，+）上有解.（1）当a0时，y=a +2x-1的图象是开口向上的抛物线，a +2x-10总有x0的解；2021/8/8 星期日43学后反思 一般地，涉及到函数（尤其是一些非常规函数）的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解.函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f(x)0或f（x）0在定义域内有解.这样就可以把问题转化为解不等式问题.就本例而言，因为函数f(x)是（0，+）上的连续函数，所以只要当x(0,+)时f(x)0不恒成立，就可以保证函数f(x)存在单调递减区间.因此，运用补集思想，从问题的对立面出发也可解决问题.（2）当a0时，y=a +2x-1的图象是
32、开口向下的抛物线，且经过点（0，-1），要使a +2x-10总有x0的解，则有 只要=4+4a0即可，解得a-1，-1a0.（3）当a=0时，显然符合题意.综上所述，实数a的取值范围是（-1，+）.2021/8/8 星期日44举一反三举一反三3.（2008安徽）设函数f(x)=(x0且x1).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知 对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围.x(0,)(,1)(1,+)f(x)+0-f(x)极大值f()解析：（1）f(x)=，若f(x)=0，则x=，列表如下：故函数f(x)的单调增区间是(0,)；单调减区间是(,1)和（1，+）.2021/8/8 星期日4
33、5题型四题型四 导数与不等式的证明导数与不等式的证明（2）在 两边取对数，得 ln 2aln x，由于0 x1，所以 .由（1）的结果可知，当x(0,1)时，f(x)f()=-e.为使式对所有x(0,1)成立，当且仅当 -e,即a-eln 2.【例4】(12分)已知定义在正实数集上的函数f(x)=+2ax,g(x)=3 ln x+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用a表示b,并求b的最大值;（2）求证：f(x)g(x)(x0).2021/8/8 星期日46分析 (1)利用好两个函数满足的两个条件，找出a与b的关系.（2）可转化为研究函数F(x
34、)=f(x)-g(x),只要证明F(x)0（x0）即可.解（1）设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(,)处的切线相同1f(x)=x+2a,g(x)=,由题意知f()=g(),f()=g(),即 .3由 +2a=,得 =a，或 =-3a(舍去),即有 .4令h(t)=(t0),则h(t)=2t(1-3ln t).于是当t(1-3ln t)0,即0t 时，h(t)0;.5当t(1-3ln t)0,即t 时，h(t)06故h(t)在(0,)上为增函数，在(,+)上为减函数，于是h(t)在(0,+)上的最大值为h()=,7即b的最大值为 .82021/8/8 星期日47学后反思 采用求导的方
35、法，利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)0.如果f(x)-g(x)0，说明函数f(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0，即f(x)g(x).利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式.这类试题在考查综合能力的同时充分体现导数的工具性和导数应用的灵活性.(2)证明：设F（x）=f(x)-g(x)=(x0),则 (x0).9故F(x)在（0,
36、a）上为减函数，在(a,+)上为增函数.10于是F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F()=f()-g()=0.11故当x0时，有f(x)-g(x)0,即当x0时，f(x)g(x).122021/8/8 星期日48举一反三举一反三4.已知函数f(x)=+ln x,求证:x1时，对任意的正整数n,总有f(x)x.证明:x1,对任意正整数n，恒有 1,故只需证明1+lnxx.令h(x)=1+ln x-x,x1,+),则h(x)=-1.当x1时，h(x)0,故h(x)在1,+)上递减，即h（x）h(1)=1+ln 1-1=0,1+ln x-x0,即1+ln xx，f(x)1+ln xx.当x1
37、时，对任意的正整数n，总有f(x)x.2021/8/8 星期日49考点演练考点演练答案：（-2，2）10.（2009广州综测）若函数f(x)=-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .解析：f(x)=3 -3=3(x-1)(x+1).当x-1时，f(x)0；当-1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以当x=-1时函数f(x)有极大值，当x=1时函数f(x)有极小值.要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足 解得-2a2.2021/8/8 星期日5011.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底C
38、D的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值.解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系（如图），则点C的横坐标为x.设点C的纵坐标为y,点C的坐标满足方程 (r0),解得y=(0 xr).S=(2x+2r)2=2(x+r),其定义域为x|0 xr.2021/8/8 星期日51(2)记f(x)=,0 xr,则f(x)=8 (r-2x).令f(x)=0,得x=r.因为当0 x r时，f(x)0;当 rxr时，f(x)0,所以f(r)是f(x)的最大值.因此，当x=r时，S取得最大值，最大值为 ，即梯形面积S的
39、最大值为 .12.(2008天津)已知f(x)=x+b（x0）,其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的a ,2,不等式f(x)10在 ,1上恒成立，求b的取值范围.2021/8/8 星期日52x(-,-)(,0)(0,)(,+)f(x)+0-0+解析：(1)f(x)=1-,f(2)=3,a=-8.由切点P(2,f(2)在y=3x+1上,可得b=9.f(x)的解析式为f(x)=x-8x+9.(2)f(x)=1-,当a0时，显然f(x)0(x0)，这时f(x)在（-,0)和(0,+)上是增函数；当a0时，由f(x)=0,得x=.当x变化时，f(x)变化情况是：f(x)在(-,)和（,+）上是增函数，在(,0)和(0,)上是减函数.2021/8/8 星期日53（3）由(2)知,f(x)在 ,1上的最大值为f()与f(1)中的较大者.对任意的a ,2，不等式f(x)10在 ,1上恒成立，当且仅当对任意的a ,2成立，从而得b .所以满足条件的b的取值范围是(-,.2021/8/8 星期日542021/8/8 星期日55