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1、椭圆的中点弦问题椭圆的中点弦问题与椭圆的弦的中点有关的问与椭圆的弦的中点有关的问题，称为椭圆的题，称为椭圆的中点弦问题中点弦问题。2021/8/8 星期日1一、以定点为中点的弦所在直线的方程一、以定点为中点的弦所在直线的方程例例1、过点、过点A（2，1）的直线与椭圆）的直线与椭圆 相交于相交于P、Q两点，若点两点，若点A恰好是线段恰好是线段PQ的中点，求直线的中点，求直线PQ的方程。的方程。方法一：解方程组方法一：解方程组方法一：点差法方法一：点差法2021/8/8 星期日2 若设直线与圆锥曲线的交点若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为（弦的端点）坐标为 A(x1,y1)、B(x2,y2
2、)，将这两点代入椭圆的方程，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为作差的方法为“点差法点差法”。2021/8/8 星期日3二、过定点的弦的中点坐标和中点轨迹二、过定点的弦的中点坐标和中点轨迹例例2、已知椭圆、已知椭圆 的一条的一条弦的斜率为弦的斜率为3，它与直线，它与直线 的的交点恰为这条弦的中点交点恰为这条弦的中点M，求点，求点M的坐标。的坐标。2021/8/8 星期日4例例3：已知椭圆已知椭圆 ,求它的斜率求它的斜率为为3的弦中点的轨迹方程。的弦中点的轨迹方程。注意：弦中点的轨迹应在曲线内注意：弦中点的轨迹应在曲线内2021/8/8 星期日5三、求与中点弦有关的椭圆的方程三、求与中点弦有关的椭圆的方程例例4、已知中心在原点，一焦点为、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。求椭圆的方程。2021/8/8 星期日62021/8/8 星期日72021/8/8 星期日8