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1、4.3.1对数函数的概念问题提出1.把指数式把指数式y=ax(a0,且且a1)化成对数式。化成对数式。在这个对数式中在这个对数式中,x是是y的函数吗的函数吗?抽象概括抽象概括对数函数的定义对数函数的定义:由于指数函数由于指数函数y=ax 是定义在是定义在R上、值域为上、值域为(0,+)的的单调函数单调函数.所以对于所以对于每一个正数每一个正数y,都存在都存在唯一唯一确定的实数确定的实数x,使得使得y=ax.由由函数的定义函数的定义,x就是就是y的函数的函数,称为以称为以a为底的对数函数为底的对数函数,记作记作x=logay.习惯上习惯上,将自变量写成将自变量写成x,函数值写成函数值写成y,因此
2、因此,一般将对数一般将对数函数写成函数写成 y=logax(a0,且且a1),其中其中a称为底数称为底数.1.对数函数对数函数y=logax(a0,且且a1)的相关性质的相关性质:定义域是定义域是(0,+);图象过定点图象过定点(1,0).新知探究新知探究2.两个特殊的对数函数两个特殊的对数函数:常用对数函数常用对数函数:以以10为底的对数函数为底的对数函数,记记作作 y=lg x;自然对数函数自然对数函数:以无理数以无理数e为底的对数函数为底的对数函数,记记作作 y=ln x.例例1 判断下列函数是不是关于判断下列函数是不是关于x的对数函数的对数函数?并说明理由并说明理由.y=logax2(
3、a0,且且a1);y=log2x-1;y=2log8x;y=logxa(a为常数为常数,x0,且且x1);y=log5x.学以致用学以致用例例1 判断下列函数是不是关于判断下列函数是不是关于x的对数函数的对数函数?并说明理由并说明理由.y=logax2(a0,且且a1);y=log2x-1;y=2log8x;y=logxa(a为常数为常数,x0,且且x1);y=log5x.解解:因为因为中真数是中真数是x2,而不是而不是x,所以不是对数函数所以不是对数函数;因为因为中中y=log2x-1常数项为常数项为-1,而非而非0,故不是对数函数故不是对数函数;因为因为中中log8x前的系数是前的系数是2
4、,而不是而不是1,所以不是对数函数所以不是对数函数;因为因为中底中底数是自变量数是自变量x,所以不是对数函数所以不是对数函数.为对数函数为对数函数.学以致用学以致用判断一个函数是不是对数函数的方法判断一个函数是不是对数函数的方法(1)看形式看形式:判断一个函数是不是对数函数判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否关键看解析式是否符合符合y=logax(a0,且且a1)这一结构形式这一结构形式.(2)明特征明特征:对数函数的解析式具有三个特征对数函数的解析式具有三个特征系数为系数为1;底数为大于底数为大于0,且不等于且不等于1的常数的常数;对数的真数仅有自变量对数的真数仅有自变量x.方法小方
5、法小结例例2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域.(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a0,且且a1);(2)y=lg(x-1)+log(x+1)(16-4x).学以致用学以致用例例2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域.(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a0,且且a1);(2)y=lg(x-1)+log(x+1)(16-4x).新知探究新知探究思考思考1.函数函数y=ax(a0,且且a1)的定义域和值域与函数的定义域和值域与函数y=logax(a0,且且a1)的定义域和值域有什么关系的定义域和值域有什么关系?抽象概括抽象概括反函数：反函数：指数函数指数函数y
6、=ax(a0,且且a1)和对数函数和对数函数x=logay(a0,且且a1)刻画刻画的是同一对变量的是同一对变量x,y之间的关系之间的关系,所不同的是所不同的是:在指数函数中在指数函数中,x是自变量是自变量,y是是x的函数的函数,其定义域是其定义域是R;在对数函数在对数函数x=logay(a0,且且a1)中中,y是自变量是自变量,x是是y的函数的函数,其其定义域是定义域是(0,+).像这样的两个函数叫作像这样的两个函数叫作互为反函数互为反函数.例例3 求下列函数的反函数求下列函数的反函数.学以致用学以致用1.指数函数指数函数y=ax(a0,且且a1)与对数函数与对数函数y=logax(a0,且
7、且a1)互互为反函数为反函数.2.互为反函数的两个函数的定义域、值域相反互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是并且反函数是相对而言的相对而言的.3.互为反函数的两个函数的图象关于直线互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称对称.方法小方法小结变式训练变式训练 写出下列函数的反函数写出下列函数的反函数(用用x表示自变量表示自变量,y表示函数表示函数).变式训练变式训练 写出下列函数的反函数写出下列函数的反函数(用用x表示自变量表示自变量,y表示函数表示函数).课课堂小堂小结结一一 对数函数的概念对数函数的概念y=logax(a0,且且a1)二反函数指数函数指数函数y=ax(a0
8、,且且a1)与对数函数与对数函数y=logax(a0,且且a1)互为反函数互为反函数.课后作后作业1.下列函数是对数函数的是下列函数是对数函数的是()A.y=loga(2x)(a0,且且a1)B.y=lg(10 x)C.y=loga(x2+x)(a0,且且a1)D.y=ln x3.若函数若函数f(x)=ax(a0,且且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a的值是的值是.4.若函数若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数是对数函数,则实数则实数a=.1.下列函数是对数函数的是下列函数是对数函数的是()A.y=loga(2x)(a0,且且a1)B.y=lg(10 x)C.y=loga(x2+x)(a0,且且a1)D.y=ln x解析解析:形如形如y=logax(a0,且且a1)的函数为对数函数的函数为对数函数,所以只有所以只有y=ln x符合此形式符合此形式.答案答案:D答案答案:A 3.若函数若函数f(x)=ax(a0,且且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a的的值是值是.4.若函数若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数是对数函数,则实数则实数a=.答案答案:1