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1、第六章第六章 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样在数学上总能归结为，在数学上总能归结为，一个偏微分方程组的边值一个偏微分方程组的边值问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。6.1 6.1 简单梁弹塑性弯曲问题简单梁弹塑性弯曲
2、问题圆形截面杆的弹塑性扭转问题；圆形截面杆的弹塑性扭转问题；轴对称和球对称的问题；轴对称和球对称的问题；简单桁架问题。简单桁架问题。具有该类求解特点的问题有：具有该类求解特点的问题有：简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函数和方程式的数目相等。数和方程式的数目相等。求解的特点：求解的特点：结合边界条件及力的平衡条件可直接结合边界条件及力的平衡条件可直接求出应力分布；求出应力分布；应变和位移则根据物理关系和几何的应变和位移则根据物理关系和几何的连续方程求出。连续方程求出。梁弹塑性弯曲的基本假定条件：梁弹
3、塑性弯曲的基本假定条件：平断面假定条件；平断面假定条件；不考虑纤维层之间的挤压应力；不考虑纤维层之间的挤压应力；在弹性区：在弹性区：呈线性关系；呈线性关系；在塑性区：在塑性区：仅考虑应力仅考虑应力 对屈服条件的影响对屈服条件的影响对于理想弹塑性材料对于理想弹塑性材料 截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现三种情况：三种情况：弹性极限状态弹性极限状态弹塑性状态弹塑性状态塑性极限状态塑性极限状态（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不
4、变）6.2 梁的弹塑性纯弯曲问题梁的弹塑性纯弯曲问题弹性极限状态下梁曲率弹性极限状态下梁曲率ke（1）弹性极限状态）弹性极限状态弹性极限状态下弯矩值弹性极限状态下弯矩值弹性极限弯矩弹性极限弯矩（2）塑性极限状态）塑性极限状态塑性极限状态下弯矩值塑性极限状态下弯矩值塑性极限弯矩塑性极限弯矩塑性极限状态下梁曲率塑性极限状态下梁曲率梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰铰”塑性铰塑性铰与通常铰的区别：与通常铰的区别：*塑性铰上作用有大小保持为塑性铰上作用有大小保持为 的弯矩；的弯矩；*塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。塑性铰转动角度的方向必须与作
5、用的弯矩方向一致。塑性断面剖面模数塑性断面剖面模数弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点矩形截面矩形截面是矩形截面形状固有的性质是矩形截面形状固有的性质定义：定义：截面形状系数截面形状系数显然：矩形截面的形状系数显然：矩形截面的形状系数=1.5它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设计时梁截面的强度比。计时梁截面的强度比。形状系数仅与截面形状相关。形状系数仅与截面形状相关。其他截面形状系数其他截面形状系数弹性核的高度弹性核的高度he弹性区：弹性区：塑性区：塑性区：（3）梁弹塑性状态分析）梁弹塑性状态分析弹塑性状态弹塑性弯矩弹
6、塑性状态弹塑性弯矩弹性极限状态弹性极限状态塑性极限状态塑性极限状态得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系该公式的用途之一：该公式的用途之一：已知梁截面上的弹塑性弯矩数据已知梁截面上的弹塑性弯矩数据 可直接确定截面上的弹性区与塑可直接确定截面上的弹性区与塑性区的交线，进而求得截面上的应力分布性区的交线，进而求得截面上的应力分布得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系利用利用平断面假定平断面假定梁的曲率与弯矩的关系梁的曲率与弯矩的关系梁进入到弹塑性状态时，梁进入到弹塑性状态时，梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩
7、具有下面的关系：系：不成立不成立弹性核内虎克定律仍然成立：弹性核内虎克定律仍然成立：在在h=heh=he高度上高度上的曲率就是弹塑性梁的曲率就是弹塑性梁 在该点的曲率在该点的曲率如何求解此时的曲率？如何求解此时的曲率？弹塑性状态梁曲率弹塑性状态梁曲率已知弹性极限状态下梁曲率：已知弹性极限状态下梁曲率：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就可确定梁在该截面的弯曲曲率可确定梁在该截面的弯曲曲率2、理想弹
8、塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解具有一个对称轴截面求解的基本思想具有一个对称轴截面求解的基本思想截面上力的平衡条件截面上力的平衡条件例题例题 等腰三角形截面截面中性层位置求解等腰三角形截面截面中性层位置求解.顶部、底部、全部达到屈服时中心轴顶部、底部、全部达到屈服时中心轴y y距底边距底边的高度的高度线性强化材料：线性强化材料：线性强化材料的应力应变曲线：线性强化材料的应力应变曲线：矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的关系关系3 3、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性区的判断、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性
9、区的判断当梁的弯矩分布已知时，当梁的弯矩分布已知时，可通过上式求出核高沿杆件的分布可通过上式求出核高沿杆件的分布简支梁简支梁极限情况：极限情况：当当x=l/3时截面完全处于时截面完全处于弹性工作状态弹性工作状态此时截面完全处于此时截面完全处于弹性工作状态弹性工作状态求解基本思想：求解基本思想：4 4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点弯曲分布已知时，可直接通过弯曲分布已知时，可直接通过 判断判断在弹性区：在弹性区：成立成立根据根据M M分布分布求解完全弹性区内挠度求解完全弹性区内挠度根据根据M
10、M分布分布求解弹塑性区内挠度求解弹塑性区内挠度根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件求得待定参数求得待定参数得弹塑性区挠度函数：得弹塑性区挠度函数：弹塑性区：弹塑性区：思路：思路：A A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系B B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系得：得：P Ph h例题例题悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移已知理想弹塑性材料制成的悬臂梁（如图），设集中载荷已知理想弹塑性材料制成的悬臂梁（如图），设集中载荷作用于梁的自由端处，而梁的截面是矩形。若杆件处于极作用于梁的自由端处，而梁的截面是矩形。若杆件处于极限工作状态，而弯矩小于限工作状态，而弯矩小于 的线段长度为的线段长度为 ，试求自由，试求自由端处的挠度值端处的挠度值