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1、弹塑性力学第弹塑性力学第0505章章第五章第五章 薄板的小挠度弯曲薄板的小挠度弯曲5-1 基本概念与计算假定基本概念与计算假定5-2 薄板内力薄板内力5-3 薄板弯曲的基本方程薄板弯曲的基本方程5-4 边界条件边界条件5-5 四四边边简简支支矩矩形形薄薄板板的的重重三三角角级级数数解解(Navier解解)5-6 矩形薄板的三角级数解矩形薄板的三角级数解(Levy解解)5-7 圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲 （5-1）式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量
2、的表示式 由此可见，应变分量x,y,xy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。（5-2）(a)二、薄板中的应力分量表示式 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为 这是薄板小挠度弯曲时，主要应力x，y和xy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。（5-3）次要应力分量按假设，z，xz和yz应为零，实际上，它们只是远小于x，y和xy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：如体力分量FZ及下表面上的面力不等于零，对簿板来说，可以归入板上表面的
3、面力，这样处理只会影响次要应力z，于是板上、下表面的静力边界条件为：这里q为薄板单位面积内的横向荷载。（d）（c）（5-4）（5-5）式（5-4）就是切应力xz和yz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力xz和yz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。z沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为xdz，ydz和xy=yxdz。由于x，y，沿板厚按线性
4、规律分布，以及分布的反对称特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它们在单位宽度内的力偶矩称为板的抗弯刚度，其意义和梁的抗弯刚度相似。（5-7）（5-6）图5-4横向剪力切应力分量只可能合成横向剪力，在每单位宽度上分别为（5-8）显然，这里的Mx，My分别表示垂直于x轴和y轴的板的横截面单位宽度上的弯矩，Mxy，Myz分别表示这两个截面单位宽度上的扭矩，而 和 为这两个横截面单位宽度上的横剪力，它们统称为板的内力板的内力。弯矩和扭矩的量纲为力，横向剪力的量纲为力长度-1。按弹性力学关于应力分量指向的规定，弯矩Mx，My以使板横截面上z0的一侧产生正号
5、的正应力x，y时为正；扭矩Mxy，Myz使板横截面z0的一侧产生正号的剪应力 时为正；横剪力，使板截面产生正号的剪应力 时为正，如图5-4。由式（5-3）、式（5-4）与式（5-6）、式（5-8）比较后可以看出，应力分量又可通过相应的内力表示为与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。5-3 薄板弯曲的微分方程薄板弯曲的微分方程 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满足和微分方 程。薄板弯 曲的小挠度 问题，是以 挠度w作为 基本未知函 数求解的，属位移解法位移解法。建立绕度w所需要满足的基本方程先考察板中边长为dx和dy而高为h的矩形微分单元体的平衡，为了便于表示，将内力标在单元
6、体中面的四条边上，其中，弯矩及扭矩按右手法则用矩矢表示，横剪力用力矢表示，如图5-5所示。上面作用有横向分布荷载q。对于图5-5所示的空间一般力系，六个平衡条件中有三个方程Fx=0，Fy=0，Mz=0已经满足。现要从其余三个方程导得内力所必须满足的平衡微分方程。由Fz=0，有化简后约去dxdy，得对过板单元中心而与y轴及x轴平行的直线取力矩的平衡方程，化简以后，略去微量，得到（5-10）（5-11）式（5-10）和式（5-11）即为内力表示的平衡微分方程，将式（5-11）代入式（5-10），又可得到用弯矩、扭矩及荷载表示的平衡微分方程：将式（5-6）代入式（5-12），则得出薄板弯曲的基本方程
7、：（5-12）（5-13）此方程称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。这样，问题就归结为在给定的板边界条件下求解方程式（5-13），求得挠度w后，可按式（5-3）、式（5-4）、式（5-5）求得应力分量，由式（5-6）、式（5-8）求得薄板的内力。5-4 边界条件边界条件 有了以挠度表示的内力表达式（5-6）和式（5-8），接下来以矩形薄板为例，讨论板边几种常见的边界条件 如果已知作用在板边外力的静力效应，即已知这些外力所产生的弯矩、扭矩和横向剪力，则严格地说，板的三个内力，即弯矩、扭矩和横向剪力的边界值，应一一对应地与这些外加的弯矩、扭矩和横向剪力相等。可见，在每个边界上有三个边界条件在
8、每个边界上有三个边界条件。但薄板弯曲的基本方程（5-13）是四阶的椭圆型偏微分方程，根据偏微分方程理论，在每边上，只需要两在每边上，只需要两个边界条件个边界条件。对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条件归并成两个边界条件。下面，具体考虑扭矩的等效变换情况。设AB为平行于x轴的板边，其上作用有连续分布的扭矩Myx（x,y）。若在宽度为dx的mm段上的扭矩为Myxdx，则在宽度为dx的np段上的扭矩为 dx，如图5-6(a）所示。微段mm上的扭矩Myxdx可以用两个分别作用于m点和n点的横向
9、剪力Myx代替，一个向下，另一个向上。对于作用在微段np上的扭矩 也可采取同样的变换，于是得到图5-6（b）所示的受力情况。注意，在两个微段的交界点n处，向上的横向剪力Myx和向下的横向剪力 将合成一个向下的横向剪力 。这个力又可用分布在以n点为中心、长度为dx微段上的分布剪力 来代替，这个分布剪力的方向向下。对板的整个边界都如此处理，该边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 。将它与原来的横向剪力 相加，得到AB边上的总的分布剪力：（5-14）的符号规定与 相同。必须注意，在板边的两端A和B还有两个未被抵消的集中力（Myx）A和（Myx）B，如图5-6（b）所示。若对平行于y轴的板边CB采用
10、同样的做法，则可将作用于CB上的连续分布扭矩Mxy变换为等效的分布剪力 （见图5-6（b），该边上总的分布剪力为（5-15）的符号规定与 相同。在边界两端C和B也有两个集中力（Mxy）c和（Mxy）B。（b）图5-6 当对矩形薄板的每条边界上的扭矩都进行上述变换后，在两边相交的角点，例如AB和CB边的交点B，将合成一个集中力FRB，即 FRB=（Myx）B+（Mxy）B2（Mxy）B（5-16）这个集中力的指向，应由扭矩（Mxy）B的符号来判断。同理，可以得到O，A，C三个角点上的集中力。图5-7表示当四个角点上的扭矩都为正时的指向。图5-7FRB=2（Mxy）B（5-6）（5-14）（5-1
11、5）（5-16）（5-19）（5-18）（5-17）（5-8）将式（5-6）的第三式和式（5-8）代入式（5-14）式（5-16），则Vx，Vy和RB都可用挠度w来表示，即（5-17）（5-18）（5-19）板的边界一般有简支边、固定边和自由边三种情况。图5-8所示的OC边为简支边界，OA为固定边界，AB和BC边为自由边界。现分别建立它们的边界条件。（1）简支边界 简支边上的挠度和弯矩为零，即图5-8简支边简支边界界固定边固定边界界自由边自由边界界自由边自由边界界CBA（w）y=0=0但由于（w）y=0=0，必然有所以，简支边的边界条件可写为（5-20）（2）固定边界固定边界上的挠度和转角为零
12、，故有边界条件：（5-21）（3）自由边界自由边界上的弯矩和总的分布剪力为零。例如，对于图5-7中的AB边，应有（My）y=b=0，（）y=b=0；对于CB边，应有（Mx）x=a=0，（）x=a=0。注意到式（5-6）的前两式和式（5-17）、式（5-18），有（5-22）（4）角点条件如上所述，当沿板边的扭矩变换为等效分布剪力后，在板的角点将产生一个集中力。如果角点受到支承，如图5-8中的O点，这个集中力就是支座对板的角点O的集中反力。在求得了挠度w后，这个集中力可由式（5-19）求得。对于悬空的角点，例如图5-7中的两自由边界的交点B，则应有 FRB=2（Mxy）B=0即如果在B点有支座，
13、而其挠度被阻止发生，则应有（5-23）5-5 四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解 由上述几节建立的求解弹性薄板弯曲问题的基本方法可归属为位移解法。本节介绍纳维（Navier）的重三角级数解法。图5-9 图5-9所示一四边简支矩形薄板，边长分别为a和b，受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。此问题的边界条件为 当x=0和x=a时，w=0，当y=0和y=b时，w=0，（a）（b）挠度函数取重三角级数，即设（5-24）其中，m和n为正整数，Amn为待定系数。显然，它已满足边界条件式（a）和式（b）。将式（5-24）代入式（5-13），得（c）为了确定系数Amn，可以用两种方
14、法：一种方法是将q（x,y）展成重三角级数（其中的系数可由函数的富氏级数公式确定），然后代入式（c），比较等式两边同类项的系数，即可求得Amn。另一种方法是把式（c）看成是q（x,y）的展开式，从而求出系数Amn。这里采用后一种方法。在式（c）两边同乘 ,然后分别从0到a和从0到b对x和y进行积分，并利用三角函数的正交性:于是得到（d）代入式（5-24）得（5-25）由此可进一步求内力和支座反力。下面举两个算例。例例5-1 边长分别为a和b的四边简支板受均布荷载q0作用，试求板的挠度、弯矩和扭矩。解 由式（d）算得故（e）最大挠度在板的中心，为:（f）图5-10由此不难利用有关公式求得弯矩和扭
15、矩。例例5-2 边长为a和b的四边简支矩形薄板，在板面任意一点A（，）受集中力P作用（图5-10），试求板的挠度。解 对于集中荷载，可以看成作用在边长为x=，y=的微面积上的均布荷载 ，其余各处，荷载为零。由式（d）并利用积分中值定理，得:于是得板的挠度为（g）如P作用于板的中心（x=a/2,y=b/2），则该点的挠度为 本节介绍的纳维解法的优点是：适用于多种荷载情况而且求解时比较简单；但它的缺点是：只适用于四边简支的矩形板，且级数收敛较慢，特别是计算内力时，要计算很多项。5-6 矩形薄板的三角级数解矩形薄板的三角级数解 对于有两对边简支的矩形板，可以采用莱维（Lvy）解法，它和纳维解法相比，
16、适用范围更广，收敛性也比较好。图5-11 仍设矩形板的边长分别为a和b，x=0及x=a为简支边，y=b/2边可以为任意支承（图5-11）。现取挠度为如下单三角级数：（5-26）其中，Ym（y）是待定函数，级数（5-26）已经满足了一对简支边的边界条件，即 因此，只要确定函数Ym（y），以使弹性曲面微分方程和 两边上的边界条件被满足即获解。为此，将式（5-26）代入方程（5-13），得:（a）将式（a）右边的 展开为傅里叶级数，有（b）其中（c）将式（c）式代入式（b），并与式（a）对比，应有（d）其中，fm(y)是方程（d）的任一特解，荷载q已知时，可由式（d）右边积分的结果来选择，而系数Am
17、，Bm，Cm，Dm可由 处的边界条件确定。将式（e）代入式（5-26），即得挠度表达式：式（d）作为常微分方程，其解为（e）（5-27）下面举两个算例。例例5-3设图5-11所示的矩形薄板是四边简支的，受均布荷载q0作用，求挠度。解当分布荷载为均布荷载q0时，式（d）右边的积分为图5-11于是微分方程（d）的特解可以取为代入式（5-27），并利用变形的对称性，Ym(y)应是y的偶函数，于是有CmDm=0，则（a）利用边界条件：得出决定Am及Bm的联立方程：（m=1,3,5,）及（m=2,4,6,）其中，。分别求解此两组方程，得和 Am=Bm=0 （m=2,4,6,）将求得的系数Am,Bm代入式
18、（a），得挠度的最后表达式为（b）最大挠度发生在薄板中心，将 代入式（b），即得例例5-4 一边长分别为a和b的四边简支板，板面无荷载作用（q（x,y）=0），但在 边界上受均布弯矩M0作用，如图5-12所示，试求板的挠度。解 因为q（x,y）=0，方 程（d）右边积分为零，变为齐次方程。故式（5-27）中的fm(y)=0，并考虑到变形的对称性，有CmDm0，于是，式（5-27）变为（a）因为 的边界为简支，且受正向的分布弯矩M0作用，故此边界处的边界条件为（b）由式（b）的第一式，有Amch m+Bm msh m=0式中（c）由此得Am=-Bm mth m代入式（a），得（d）利用边界条件（
19、b）的第二式，有等式两边同乘 ,然后，对x从0到a积分，注意三角函数的正交性，得(m=1,3,5,)代回式（d），得挠度表达式为5-7 圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲一、基本方程与边界条件一、基本方程与边界条件 对圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用极坐标系（r，）较为方便。在极坐标中，板的挠度和横向荷载都作为极坐标r和的函数，即w=w（r,），q=q（r,）。通过坐标变换，可以得到圆形薄板的弹性曲面微分方程以及内力和挠度函数的关系式。在第三章中，曾导出了直角坐标系下和极坐标系下一些微分运算符号之间的变换关系，利用这些关系，可以得到下列变换式：（a）（b）从式（b）可知，拉普拉斯运算符号为（c）
20、应用式（c），弹性曲面微分方程（5-13）可变换为（5-28）为了导出相应的内力公式，从薄板中取出一个微小的单元体，如图5-13所示。我们用Mr，Mr和 分别表示为常量的横截面上的弯矩、扭矩和横剪力，而用M，Mr和 分别表示为常量的横截面上的弯矩、扭矩和横剪力。可以证明，Mr=Mr。不难理解，当x轴和y轴分别转到此单元体的r和方向，使为零，则Mr，M，Mr，Mr，分别成为Mx，My，Mxy，Myx，。利用变换式（b）和式（c），令=0，即由式（5-6）和式（5-8）得到 其中，如式（c）所示。类似地，式（5-9）成为 （5-30）与直角坐标中的情况相仿，同样可求得r为常量和为常量的横截面上的总
21、分布剪力为（5-31）利用上面的结果，对半径为a的边界，可写出边界条件为（5-32）二、圆形薄板的轴对称弯曲二、圆形薄板的轴对称弯曲 若圆形薄板所受横向荷载q对称于z轴，则q和w仅是r的函数而与无关，于是方程（5-28）简化为（5-33）又可以写成（5-34）方程（5-33）的通解为齐次通解与非齐次任意特解之和，或者对方程（5-34）直接积分均可。在均布荷载q=q0时，方程的解为（5-35）代入式（5-29）和式（5-31），得（5-36）例5-5 圆形薄板，半径为a，受均布荷载q0作用，周边固定。试求其挠度和内力。解 因为在r=0处，挠度和内力为有限值，所以，式（5-35）中的C0=D0=0。于是式（5-35）和式（5-36）分别简化为和（a）（b）由边界条件有代入式（a）和式（b），得挠度和内力为最大值在圆板的中心，其值为 本章对弹性薄板小挠度弯曲理论作了简单介绍。对于在各种边界条件下受各种荷载的薄板弯曲问题，很多专著和手册中给出了关于挠度和弯矩的公式，可供工程设计参考。