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1、弹塑性力学第弹塑性力学第0202章章2-1 一点的应力状态一点的应力状态面力体力集中力应力一点处应力状态的描述方法.2-2 平衡微分方程与应力边界条件平衡微分方程与应力边界条件一、平衡微分方程一、平衡微分方程纳维（纳维（Navier）方程）方程u，v，w称为位移分量位移分量 二、应力边界条件二、应力边界条件 A点平衡，图（b），得：B点平衡得：注意！应力分量在物体内满足平衡微分方程、在边界上满足应力边界条件，这是物体平衡的充分必要条件，但必须指出，这仅仅是静力上可能静力上可能的平衡。应力分量不仅要满足平衡条件，还要满足变形协调条件。2-2试叙述平衡微分方程和静力边界条件的物理意义，满足平衡微分
2、方程和静力边界条件的应力是否是实际存在的应力？为什么？2-11一个任意形状的物体，其表面受均匀压力p作用，如果不计其体力，试验证应力分量是否满足平衡微分方程和该问题的应力边界条件？2-3 几何方程几何方程几何方程几何方程柯西（柯西（Cauchy）方程）方程一、应变张量 如不计物体的刚体运动部分，在小变形假设的前提下，由物体变形而引起的微分六面体在方位上的转动是极其微小的，见图（a）。因而在推导位移分量与应变分量之间的几何关系式时，用这三条棱边在坐标平面上的投影长度代替它们的实际长度，用它们在坐标平面投影之间的夹角代替实际的夹角，这样的处理不会引起明显的误差，见图（b）。几何意义?2-4 物理方
3、程物理方程一、一、以应力表示应变的广义虎克定律以应力表示应变的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律三三、以以体体积积应应变变表表示示体体积积应应力力的的虎虎克克定定律律 一、一、以应力表示应变的广义虎克定律以应力表示应变的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律，称称为为拉拉梅梅（LamLam）弹弹性系数性系数称为体积应变称为体积应变称为体积应力 E是杨氏（杨氏（Young）弹性模量，）弹性模量，是泊松（是泊松（Poisson）比）比。G为剪切弹性模量 三、三、以体积应变表示体积应力的虎克定律以体积应变表示体积应力的虎
4、克定律 2-5 弹性力学的基本方程及其边值问题弹性力学的基本方程及其边值问题平衡（运动）微分方程平衡（运动）微分方程 几何方程几何方程应变和位移的关系应变和位移的关系 物理方程物理方程应力和应变的关系应力和应变的关系 三类边界条件（1）在全部边界上已知面力（弹性力学的第一类边值问题）弹性力学的第一类边值问题）（2）在全部边界S上已知边界位移（弹性力学的第二类边值问题）弹性力学的第二类边值问题）（3）在部分边界S上已知面力，在另一部分边界Su上已知边界位移（弹性力学的第三类边值问题，弹性力学的第三类边值问题，又称混合边值问题混合边值问题。)如不考虑物体的刚体运动，则三类边值问题的解是唯一的。对于
5、弹性动力学问题，还须给出问题的初始条件。（在S上）（在S上）（在Su上）（在S上）应变协调方程应变协调方程?2-6 应变协调方程应变协调方程几何方程几何方程表明：六个应变表明：六个应变分量是通过三个位移分量分量是通过三个位移分量表示的，显然，六个应变表示的，显然，六个应变分量不是互不相关的。分量不是互不相关的。六个应变分量必须满足一六个应变分量必须满足一定的条件定的条件。从从几几何何方方程程中中消消去去位位移移分分量量。（2-6）应变协调方程推导（应变协调方程推导（1）由由方方程程（2-6）的的第第一一式式和和第第二二式式分分别别对对y及及x求求二二阶阶偏偏导导数数，然然后后相相加加，再再注注
6、 意意 到到 方方 程程（2-6）的的第第六六式，则有式，则有应变协调方程推导（应变协调方程推导（2）由由方方程程（2-6）中中的的第第四四、第第五五和和第第六六式式分分别别对对x，y，z求求一一阶阶偏偏导导数数，然然后后，对对第第一一个个等等式式两两边边冠冠以以负负号号，再再与与后后两两式式相相加加，得得 应变协调方程推导（应变协调方程推导（3）为为了了进进一一步步消消除除上上式式右右端端的的位位移移分分量量u，将将上上式式两两边边对对x求求一一阶阶偏偏导导数数，再再注注意意到到式式（2-6）的的第第一式，便有一式，便有 应应变变协协调调方方程程，又又称称圣圣维维南南（Saint Venan
7、t）方方程。程。其其中中，e eijkijk为为笛笛卡卡儿儿坐坐标标系系中中的的置置换换张张量量，当当i i，j j，k k按按1 1，2 2，3 3；2 2，3 3，1 1；3 3，1 1，2 2顺顺序序排排列列时时为为+1+1；当当按按逆逆序序排排列列时时为为-1-1；当当有有两两个个或或者者三三个个指指标标重重复复时时为为零零。m m和和n n有有6 6个个不不同同的的选选择择，即即mn=11mn=11，2222，3333，1212，2323，3131。由此可得方程。由此可得方程 2-7 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 解的唯一性定理解的唯一性定理一一、位位移移解解法法 以
8、以位位移移表表示示的的平平衡衡（或或运运动动）微分方程微分方程 二、应力解法二、应力解法 以应力表示的应变协调方程以应力表示的应变协调方程 三、解的唯一性定律三、解的唯一性定律 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 一、位移解法思路一、位移解法思路1.以位移为基本未知量，联合平衡微分、几何、物理三个方程组，消去应力分量和应变分量，得到拉姆方程。2.在给定边界条件下拉姆方程位移分量几何方程应变分量物理方程应力分量计算过程计算过程拉普拉斯（Laplace,p.-S.）算子 位移表示的平衡微分位移表示的平衡微分方程方程，称为拉梅方程拉梅方程 位移解法位移解法边界条件用位移分量表示或表示为二、应力解法二、
9、应力解法 以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程 应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方应变协调方程程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十应变协调方程在应力解法中是十分重要的分重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应
10、力表示的协调方程以应力表示的协调方程。求解思路求解思路1.推导应力协调方程2.在给定边界条件下平衡微分方程+应力协调方程应力分量物理方程应变分量几何方程位移分量应力协调方程的推导应力协调方程的推导为了得到更简单的形式，还可利用平衡微分方程,经过升高一阶偏导数以后的等式将上述的方程加以简化以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程 应应力力协协调调方方程程，又称贝贝脱脱拉拉密密-米米 切切 尔尔 方方 程程（Beltrami-Michell）。当体力为常数时，以以应应力力表表示示的的协协调调方程方程又可以简化为三、解的唯一性定律 逆解法和半逆解法存在问题：一般很难直接求解偏微分方程由于这种数学上的
11、困难几乎否定了弹性力学的实用性，直到圣维南的逆解法与半逆解法的提出，才使大量有实用价值的弹性力学问题得以解决。而逆解法与半逆解法的一个重要理论依据就是解的唯一性定律解的唯一性定律，它可以表述如下：假如弹性体受已知体力作用，在物体的表面处，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知而另一部分上位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一的。上述定律可以利用应变能定律证明 逆解法和半逆解法 逆解法即先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作
12、用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件。另外，半逆解法也可以理解为针对给定的问题，假设全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。讨论 比较上述两种方法，逆解法求解问题简单，但缺乏针对性，半逆解法是针对所要求解的问题进行的，所以使用的面比较广。逆解法与半逆解法看上去好像不太严格，应力分量和位移分量都是假设了以后再去凑合或验证出来的，其实只要它们最后是满足了基本
13、方程，又满足了边界条件，根据解的唯一性定律，可以断定这些应力分量或位移分量就是所要求的唯一的一组解。2-8 圣维南原理圣维南原理 在在求求解解弹弹性性力力学学问问题题时时，应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量等等必必须须满满足足区区域域内内的的三三套套基基本本方方程程和和边边界界上上的的边边界界条条件件，因因此此，弹弹性性力力学学问问题题属属于于数数学学物物理理方方程程中中的的边边值值问问题题。实实际际中中要要使使边边界界条条件件得得到到完完全全满满足足，往往往往遇遇到到很很大大的的困困难难。这这时时，圣圣维维南南原原理理可为简化局部边界可为简化局部边界上的应力边界条件提供方
14、便。上的应力边界条件提供方便。1855年年，圣圣维维南南在在他他发发表表的的一一篇篇有有关关柱柱体体扭扭弯弯问题的论文中指出：问题的论文中指出：若若在在物物体体任任一一小小部部分分上上作作用用一一个个平平衡衡力力系系，则则该该平平衡衡力力系系在在物物体体内内所所产产生生的的应应力力分分布布仅仅局局限限于于该该力力系系作作用用的的附附近近区区域域，在在离离该该区区域域的的相相当当远远处处，这这种种影影响响便便急急剧剧地地减减小小。这这就就是是圣圣维维南南原原理理，或或称称为为局局部部性原理。性原理。知识点知识点1.弹性力学基本方程弹性力学基本方程1.1平衡（运动）微分方程1.2几何方程1.3物理方程1.3.1以应力表示应变1.3.2以应变表示应力2.边界条件边界条件2.1面力边界条件2.2位移边界条件2.3混合边界条件3.应变协调方程应变协调方程3.1单连通与多连通3.2位移单值条件4.弹性力学基本弹性力学基本求解方求解方法法4.1位移解法以位移表示的平衡微分方程4.2应力解法应力协调方程5.解的唯一性原理解的唯一性原理6.逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法7.圣维南原理圣维南原理欢迎大家批评指正！欢迎大家批评指正！