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1、第第2章章 连续时间信号的傅里叶分析连续时间信号的傅里叶分析2.2 傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱 2.2.1傅里叶级数的定义傅里叶级数的定义连续时间周期信号的傅里叶级数的定义：连续时间周期信号的傅里叶级数的定义：如果以如果以T为周期的连续时间周期信号为周期的连续时间周期信号x(t)满足满足Dirichlet条件：条件：连续时间周期信号连续时间周期信号x(t)在一个周期内绝对可积；在一个周期内绝对可积；连续时间周期信号连续时间周期信号x(t)在一个周期内只有有限个极值点；在一个周期内只有有限个极值点；连续时间周期信号连续时间周期信号x(t)在一个周期内连续
2、，或者只有有限在一个周期内连续，或者只有有限个第一类间断点。个第一类间断点。则可以将其展开为三角级数，并且此三角级数收敛，称为傅则可以将其展开为三角级数，并且此三角级数收敛，称为傅里叶级数（里叶级数（Fourier Series，FS）。）。将连续时间周期信号将连续时间周期信号x(t)展开为傅里叶级数的目的，就是用展开为傅里叶级数的目的，就是用三角函数或各次谐波的线性组合来表示该信号。三角函数或各次谐波的线性组合来表示该信号。在一般情况下，在工程中所使用的连续时间周期信号在一般情况下，在工程中所使用的连续时间周期信号x(t)都都能满足能满足Dirichlet条件。因此，除非特殊需要，无需考虑这
3、一条件。因此，除非特殊需要，无需考虑这一条件。条件。直流分量的幅直流分量的幅值值：余弦分量的幅余弦分量的幅值值：正弦分量的幅正弦分量的幅值值：证证明：明：见见高等数学教材。高等数学教材。在一个周期在一个周期T内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为傅里叶系数：傅里叶系数：其中基其中基频为频为三角函数形式的傅里叶级数展开式三角函数形式的傅里叶级数展开式（1）三角函数形式的傅里叶级数展开式）三角函数形式的傅里叶级数展开式复指数函数形式的傅里叶级数展开式：复指数函数形式的傅里叶级数展开式：前者被称为综合公式或合成公式（前者被称为综合公式或合成公式（Synthesi
4、s Equation）。）。后者被称为分析公式或分解公式（后者被称为分析公式或分解公式（Analysis Equation）。）。证明：见附件。证明：见附件。在一个周期在一个周期T内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为内，各次谐波的幅值按以下各式计算，称为傅里叶系数：傅里叶系数：（2）复指数函数形式的傅里叶级数展开式）复指数函数形式的傅里叶级数展开式其中基其中基频为频为两种展开式的傅里叶系数之间的关系：两种展开式的傅里叶系数之间的关系：（3）两种展开式的傅里叶系数之间的关系）两种展开式的傅里叶系数之间的关系证明：见附件。证明：见附件。频谱的定义：频谱的定义：将信号将信号x(t)的傅里叶系数称为
5、信号的傅里叶系数称为信号x(t)的频谱系数的频谱系数（Spectral Coefficients），简称频谱（），简称频谱（Spectrum）或谱线，记作或谱线，记作（4）频谱的定义）频谱的定义例例1：周期信号的频谱分析（第一次作业）：周期信号的频谱分析（第一次作业）矩形脉冲周期信号频谱分析的矩形脉冲周期信号频谱分析的MATLAB实现。实现。矩形脉冲周期信号的时域波形：矩形脉冲周期信号的时域波形：矩形脉冲周期信号的频谱：实部和虚部。矩形脉冲周期信号的频谱：实部和虚部。矩形脉冲周期信号的频谱：幅值和相位。矩形脉冲周期信号的频谱：幅值和相位。连续时间周期信号频谱的连续时间周期信号频谱的特点：特点：
6、离散性：谱线只在基频离散性：谱线只在基频的整数倍上出现。的整数倍上出现。谐波性：每条谱线都表谐波性：每条谱线都表示一个高次谐波。示一个高次谐波。衰减性：随着谐波次数衰减性：随着谐波次数的增加，谱线逐渐衰减为的增加，谱线逐渐衰减为零，也即谱线具有衰减的零，也即谱线具有衰减的非周期性。非周期性。（5）连续时间周期信号频谱的特点）连续时间周期信号频谱的特点关于连续时间周期信号频谱的几点说明：关于连续时间周期信号频谱的几点说明：信号信号x(t)的频谱系数是对信号的频谱系数是对信号x(t)中的每一个谐波分量的大小所做出的度量。中的每一个谐波分量的大小所做出的度量。“频谱系数频谱系数”这一术语是从光的分解
7、中借用过来的。光通过分光镜分解出一组这一术语是从光的分解中借用过来的。光通过分光镜分解出一组谱线（谱线（Spectral Lines），这组谱线就是光在不同频率下的各个基本分量。在这），这组谱线就是光在不同频率下的各个基本分量。在这种分解中，在每一条谱线所对应的频率处，每一条谱线的强度就是该条谱线在种分解中，在每一条谱线所对应的频率处，每一条谱线的强度就是该条谱线在光的全部能量中所占有的部分能量的直接度量。光的全部能量中所占有的部分能量的直接度量。将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义。将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义。从信号分析的角度来看，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
8、，为不同从信号分析的角度来看，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了一种途径。对于不同的信号，只是组成这些不同信号信号之间进行比较提供了一种途径。对于不同的信号，只是组成这些不同信号的各个谐波的频率、幅值和相位不同而已。的各个谐波的频率、幅值和相位不同而已。有些教材试图对有些教材试图对“负频率负频率”进行物理上的解释。进行物理上的解释。引入所谓引入所谓“负频率负频率”的概念，只是数学推导的结果，并没有实际的物理意义。的概念，只是数学推导的结果，并没有实际的物理意义。实际上，频率实际上，频率0并没有取负值，只是高次谐波的次数并没有取负值，只是高次谐波的次数n取了负值
9、。当在计算过程取了负值。当在计算过程中引入了虚数的计算技术后，这些取负值的结果只是数学推导的结果，并没有中引入了虚数的计算技术后，这些取负值的结果只是数学推导的结果，并没有实际的物理意义。在计算过程中引入虚数的根本目的，就是将正弦函数和余弦实际的物理意义。在计算过程中引入虚数的根本目的，就是将正弦函数和余弦函数转换为指数函数，从而可以简化正弦函数和余弦函数的微积分计算，因为函数转换为指数函数，从而可以简化正弦函数和余弦函数的微积分计算，因为指数函数的微积分计算相对简单一些。指数函数的微积分计算相对简单一些。傅里叶级数的性质：傅里叶级数的性质：（1）线性性质）线性性质 记记（2）时移性质）时移性
10、质（3）频移性质）频移性质（4）翻转性质）翻转性质（5）共轭性质）共轭性质（6）Parseval定理定理 此式说明，周期信号的平均功率在时域和频域的计算结果此式说明，周期信号的平均功率在时域和频域的计算结果相等，即满足能量守恒原理。离散频谱可以用来描述信号相等，即满足能量守恒原理。离散频谱可以用来描述信号的功率（能量）在不同谐波频率上的分配情况。的功率（能量）在不同谐波频率上的分配情况。2.2.2傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质2.2.3 周期信号的傅里叶级数举例周期信号的傅里叶级数举例参考：参考：郑郑君里等君里等信号与系信号与系统统（第二版）（第二版）上册上册P.101 P.1093.3 典
11、型典型周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数上册上册P.374 P.377附录二附录二 常用周期信号的傅里叶级数表常用周期信号的傅里叶级数表已知连续时间周期信号已知连续时间周期信号x(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为的三角函数形式的傅里叶级数展开式为 如果采用无穷级数完全逼近函数如果采用无穷级数完全逼近函数x(t)，则，则n应当趋近于应当趋近于。在实际工程应用中，往往取有限项级数来代替或近似无限项级数，在实际工程应用中，往往取有限项级数来代替或近似无限项级数，即取即取n=N，其中，其中N是有限整数。如果是有限整数。如果N越大，则近似的均方误差越大，则近似的均方误差愈小。如果用前愈小。如
12、果用前2N1项逼近，则前项逼近，则前2N1项的部分和为项的部分和为误差函数：误差函数：均方误差：均方误差：2.2.4 傅里叶级数的有限项截断近似和误差傅里叶级数的有限项截断近似和误差 例例2：观察傅里叶级数的叠加过程：观察傅里叶级数的叠加过程设周期方波信号在一个周期内的表达式为：设周期方波信号在一个周期内的表达式为：将其展开为傅里叶级数：将其展开为傅里叶级数：取不同数量的谐波进行取不同数量的谐波进行叠加，观察傅里叶级数叠加，观察傅里叶级数的叠加过程。的叠加过程。2.2.5 Gibbs现象现象分别取分别取N=1，3，5，99次谐波进行叠加，观察傅里叶级数的叠加结果：次谐波进行叠加，观察傅里叶级数
13、的叠加结果：实际观察的结果是，有限项的部分和实际观察的结果是，有限项的部分和在不连续点附近呈现出一种起伏的状态，而且该起伏的峰值的在不连续点附近呈现出一种起伏的状态，而且该起伏的峰值的大小并不随着大小并不随着N的增大而减小。的增大而减小。Gibbs证明，情况的确如此，而且也应当是这样。证明，情况的确如此，而且也应当是这样。如果不连续点处的高度值为如果不连续点处的高度值为1，则有限项的部分和在不连续点，则有限项的部分和在不连续点附近所呈现的起伏的峰值的最大值是附近所呈现的起伏的峰值的最大值是1.09，即有，即有9%的超调量。的超调量。随着随着N的增大，有限项的部分和在不连续点附近所呈现的起伏的增
14、大，有限项的部分和在不连续点附近所呈现的起伏向不连续点处压缩。但是，无论向不连续点处压缩。但是，无论N取值多大，只要是有限值，取值多大，只要是有限值，这个这个9%的超调量不变。此现象被称为的超调量不变。此现象被称为Gibbs现象。现象。在实际应用中，应当选择足够大的在实际应用中，应当选择足够大的N值，以保证这些起伏所拥值，以保证这些起伏所拥有的能量可以忽略不计。有的能量可以忽略不计。当当N趋于无穷大时，误差的能量为零。趋于无穷大时，误差的能量为零。Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830,法国数学家和法国数学家和物理学家。物理学家。1768年生于法国。年生于
15、法国。1807年提出年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但是论文经，但是论文经Lagrange评审后，评审后，在在Lagrange的反对下，的反对下，被拒绝公开发表。被拒绝公开发表。1822年出版年出版热的分析理论热的分析理论一书。一书。1829年狄里赫利第一个给出收敛条件。年狄里赫利第一个给出收敛条件。傅立叶的两个最主要的贡献：傅立叶的两个最主要的贡献：傅里叶的第一个主要论点：傅里叶的第一个主要论点：“周期信号都可以表示为具周期信号都可以表示为具有谐波关系的正弦信号的加权和有谐波关系的正弦信号的加权和”。傅里叶的第二个主要论点：傅里叶的第二个主要论点：“非周期信号都可以用正弦非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示信号的加权积分表示”。2.2.6 历史回顾历史回顾例例3：热传导方程的第一边值问题：热传导方程的第一边值问题根据分离变量法，得其解为根据分离变量法，得其解为其中其中cn为为(x)的傅里叶系数的傅里叶系数