概率论与数理统计 (6).pdf

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1、 1第五周 随机变量函数的分布及随机变量的数字特征 5.1 随机变量函数的分布 5.1 随机变量函数的分布 同学们好！随机变量的函数仍然是随机变量，本周我们先学习随机变量函数的分布，然后我们学习期望、方差等随机变量的数字特征。这一讲我们介绍一下随机变量函数的分布的基本计算方法，从而使我们能够掌控的随机变量范围有进一步的扩充。一般而言，随机变量经过初等函数的作用，仍然是一个随机变量。如果我们掌握了随机变量函数的概率分布有效的计算方法，那么我们就可以从初始分布出发，比较方便地得到新的随机变量的分布规律，而不用每个新的随机变量的分布都从重头计算，为概率计算带来便利。同学们好！随机变量的函数仍然是随机

2、变量，本周我们先学习随机变量函数的分布，然后我们学习期望、方差等随机变量的数字特征。这一讲我们介绍一下随机变量函数的分布的基本计算方法，从而使我们能够掌控的随机变量范围有进一步的扩充。一般而言，随机变量经过初等函数的作用，仍然是一个随机变量。如果我们掌握了随机变量函数的概率分布有效的计算方法，那么我们就可以从初始分布出发，比较方便地得到新的随机变量的分布规律，而不用每个新的随机变量的分布都从重头计算，为概率计算带来便利。2,XN ，则，则0,1XYN 0,1XN，则，则2?X 2XExp，则，则2?Xe 更一般地，已知随机变量 更一般地，已知随机变量X的分布，求的分布，求 XgY 的分布 的分

3、布*离散随机变量函数的分布 离散随机变量函数的分布 1212nnxxxXppp XgY 1212nng xg xg xYppp 例 5.1.1 已知随机变量 例 5.1.1 已知随机变量 210120.20.10.10.30.3X，求，求XXY 2的分布。解：的分布。解：210120.20.10.10.30.3X XgY 200260.20.10.10.30.3Y 200260.20.10.10.30.3Y 0260.20.50.3Y 2*连续型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 Yg X YFyP Yy P g Xy 例 5.1.2.设例 5.1.2.设 2,NX，求，求XY的分布

4、。的分布。YFyP YyXPy P Xy 22212xyedx 做变量代换 做变量代换xt，221 2tyYFyedt ，即，即 1,0NY。*例 5.1.3 设例 5.1.3 设 1,0NX，求，求2XY 的分布 解：的分布 解：yXPyYPyFY2，当，当0 y 时，时，0 yFY 当 当0y 时，时，YFyPyXy 12022yy 21y 当 当0 y 时，时，12212YYdydFydyfyyy ydydydy 所以 所以 12,00,0YYdFyy yyfydyy 注：当注：当1,0NX时，时，2X称为一个自由度的称为一个自由度的2 分布，分布，2 分布是统计学中一类有分布是统计学中

5、一类有重要应用的分布。重要应用的分布。*3例 5.1.4 设例 5.1.4 设 2XExp，求，求2XYe 的分布 解：的分布 解：YFyP Yy2XP ey，当，当0 y 时，时，0 yFY；当；当1 y 时，时，1YFy ，当，当01y时，时，2XYFyP ey 2lnPXy1ln2P Xy 12ln2yey 所以，随机变量 所以，随机变量2Xe 服从服从0,1区间的均匀分布。区间的均匀分布。*5.2 随机变量的数学期望 5.2 随机变量的数学期望 例 5.2.1 项目 1：投资 10 万元 60%可能回收 10 万元保本；40%可能回收 15 万元，盈利 5 万元 平均收益为 例 5.2

6、.1 项目 1：投资 10 万元 60%可能回收 10 万元保本；40%可能回收 15 万元，盈利 5 万元 平均收益为 3205255 万元 项目 2：投资 10 万元 60%可能回收 0 万元，亏损 10 万元；40%可能回收 30 万元，盈利 20 万元 平均收益为 万元 项目 2：投资 10 万元 60%可能回收 0 万元，亏损 10 万元；40%可能回收 30 万元，盈利 20 万元 平均收益为 321020255万元 两项投资预期的平均收益都是 2 万元，若要从中做出决策，如何决定？可能不少人会选择第一种最差也能保本的项目，但也有人更愿意尝试第二个看似风险更大的项目。所谓的风险大就

7、是不同可能性对应的收益差别大，收益的波动大。一般而言，人们会依据平均收益和风险程度两个方面进行判断。上述例子反映了随机或不确定情况下，平均值是人们常用的参考量，分散程度或波万元 两项投资预期的平均收益都是 2 万元，若要从中做出决策，如何决定？可能不少人会选择第一种最差也能保本的项目，但也有人更愿意尝试第二个看似风险更大的项目。所谓的风险大就是不同可能性对应的收益差别大，收益的波动大。一般而言，人们会依据平均收益和风险程度两个方面进行判断。上述例子反映了随机或不确定情况下，平均值是人们常用的参考量，分散程度或波 4动程度的不同又会带来差异。在概率论中，描述随机变量这两方面特征的标准概念是期望和

8、方差，下面分别给出它们在数学上的定义。动程度的不同又会带来差异。在概率论中，描述随机变量这两方面特征的标准概念是期望和方差，下面分别给出它们在数学上的定义。*随机变量随机变量X的数学期望：（加权）平均值 的数学期望：（加权）平均值 1,iiixP XxXE Xx fx dxX为离散随机变量为连续随机变量为离散随机变量为连续随机变量 备注：离散型随机变量需要满足备注：离散型随机变量需要满足1iiix P Xx ，连续型随机变量需要满足连续型随机变量需要满足 x fx dx 才称其数学期望存在。才称其数学期望存在。*例 5.2.2 投掷一颗均匀的色子，求掷出点数的数学期望。解：设投出的点数为随机变

9、量例 5.2.2 投掷一颗均匀的色子，求掷出点数的数学期望。解：设投出的点数为随机变量X，则，则X服从下面分布 服从下面分布 123456111111666666，61iiiE XxP Xx 6116ii 1 6 73.562*随机变量随机变量X函数的数学期望 函数的数学期望 1,kkkg xP XxXE g Xg x fx dxX为离散随机变量为连续随机变量为离散随机变量为连续随机变量 5例 5.2.3 已知随机变量例 5.2.3 已知随机变量210120.20.10.10.30.3X，求，求XXY 2的期望。的期望。521kkkkE YxxP Xx 22222220.2110.1000.1

10、110.1220.1 1.2 *数学期望的几个基本性质 *数学期望的几个基本性质 ccE （c为常数，常值分布）为常数，常值分布）XcEcXE YEXEYXE nnXEXEXEXXXE 2121 XgEXgEXgXgE2121 前两个结论很容易验证，后面几个关于随机变量求和的期望的结论，证明有些麻烦，我们暂且先不加证明地引入这几个结论。*例 5.2.4 前两个结论很容易验证，后面几个关于随机变量求和的期望的结论，证明有些麻烦，我们暂且先不加证明地引入这几个结论。*例 5.2.4（匹配问题）（匹配问题）n封写给不同人的信随机放入封写给不同人的信随机放入n个写好收信人姓名的信封，求平均有几封信会装

11、对信封？解：将个写好收信人姓名的信封，求平均有几封信会装对信封？解：将n封不同的信分别编号封不同的信分别编号n,2,1，n个对应的信封同样编号个对应的信封同样编号n,2,1，定义随机变量，定义随机变量1,0,kkkX编号为 的信件装入了编号为 的信封其他编号为 的信件装入了编号为 的信封其他，1,2,kn，11kP Xn，101kP Xn，所以，所以11101kE Xnn 1n。6装对了信封的信件总数为：装对了信封的信件总数为：12nXXX，所以，装对信封的信件的平均数为，所以，装对信封的信件的平均数为 12nE XXX 12nE XE XE X11nn。*。*5.3 随机变量的方差 5.3

12、随机变量的方差 方差：方差：随机变量偏离期望的程度（随机变量分布的分散程度）随机变量偏离期望的程度（随机变量分布的分散程度）2Var XEXE X,2Var XEXE X 222E XXE XE X 222E XE XE XE X 222E XE X E XE X 22E XE X 22Var XE XE X，2Var aXba Var X XVar X ，标准差，标准差，X 也记作也记作 Var XYVar XVar Y 方差通常缩写为 方差通常缩写为 Var X（varience）或（varience）或 D X（deviation）。*例 5.3.1 项目 1：投资 10 万元 可能回收

13、 10 万元保本；40%可能回收 15 万元，盈利 5 万元（deviation）。*例 5.3.1 项目 1：投资 10 万元 可能回收 10 万元保本；40%可能回收 15 万元，盈利 5 万元 1053255X,平均收益为,平均收益为 13205255E X 万元，项目 2：投资 10 万元 万元，项目 2：投资 10 万元 760%可能回收 0 万元，亏损 10 万元；40%可能回收 30 万元，盈利 20 万元 60%可能回收 0 万元，亏损 10 万元；40%可能回收 30 万元，盈利 20 万元 210203255X,平均收益为,平均收益为 2321020255E X 万元 万元

14、 22132051055E X，221116Var XE XE X；222232102022055E X ，22222216Var XE XE X。两项投资的期望相等，均为 2 万元，但它们的方差一个是 6，一个是 216，差异非常大。期望刻画平均收益，而方差则刻画收益的波动，反映了投资的风险程度。*两项投资的期望相等，均为 2 万元，但它们的方差一个是 6，一个是 216，差异非常大。期望刻画平均收益，而方差则刻画收益的波动，反映了投资的风险程度。*5.4 原点矩与中心矩5.4 原点矩与中心矩 随机变量的原点矩与中心矩 随机变量的原点矩与中心矩 定义 定义 ()nE X称为随机变量称为随机变

15、量X的的n阶（原点）矩；阶（原点）矩；nEXE X 称为随机变量称为随机变量X的的n阶中心矩。期望阶中心矩。期望()E X即为随机变量即为随机变量X的 1 阶原点矩；方差的 1 阶原点矩；方差 2Var XEXE X即为随机变量即为随机变量X的 2 阶中心矩。的 2 阶中心矩。期望和方差都是特殊的矩。期望和方差都是特殊的矩。期望为随机变量 X 的 1 阶原点矩，方差为随机变量 X 的 2 阶中心矩。*例 5.4.1 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为期望为随机变量 X 的 1 阶原点矩，方差为随机变量 X 的 2 阶中心矩。*例 5.4.1 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为23,01

16、,()0,.xxf x其他其他 试求随机变量 试求随机变量X的 3 阶矩的 3 阶矩3E X和 3 阶中心矩和 3 阶中心矩 3EXE X 。8解 解 X的的n阶原点矩 阶原点矩()nE X()nx f x dx 1203nxx dx 120333nxdxn 故 故31()2E X，34E X。X的 3 阶中心矩为 的 3 阶中心矩为 3EXE X3()xE Xf x dx 3120334xx dx 13220927271341664160 xxxx dx 。*。*5.5 期望和方差的一些补充性质5.5 期望和方差的一些补充性质 期望的最小二乘性质 期望的最小二乘性质 X为一随机变量，则为一随

17、机变量，则 XEc 时，时，2EXc达到最小。证明：达到最小。证明：2EXc 2EXE XE Xc 222EXE XE XcXE XE Xc 22EXE XE Xc 2EXE XE Xc 22EXE XE Xc 2E XcE XE X 22EXE XE Xc*例 5.5.1 求区间*例 5.5.1 求区间,a b上取值的所有随机变量可能达到的最大方差，并给出取到最大方差的随机变量。上取值的所有随机变量可能达到的最大方差，并给出取到最大方差的随机变量。9解：解：222abEXE XEX2222ababEbEa 22ba；第一个小于等于号，等式成立的条件是第一个小于等于号，等式成立的条件是 2ab

18、E X 第二个小于等于号，等式成立的条件是第二个小于等于号，等式成立的条件是 1P XaP Xb，所以达到最大方差所以达到最大方差22ba的条件是的条件是12P XaP Xb。*。*切比雪夫(Chebyshev)不等式：切比雪夫(Chebyshev)不等式：对任意 对任意 0 ,2 XVarXEXP。证明：我们只对连续型随机变量给出证明，。证明：我们只对连续型随机变量给出证明，,:x D Dx x E XPXE Xfx dx （考虑到（考虑到 22xE XxE X 221xE X ）2,:x D Dx x E XxE Xfx dx 2xE Xfx dx 22EXE X 2Var X 切比雪夫不

19、等式可以给出随机变量的取值与其均值不同程度偏离的概率的估计。例如，由切比雪夫不等式可知，对任意随机变量，其取值在期望的正负 2 倍标准差之内的概率一定不小于 3/4。切比雪夫不等式可以给出随机变量的取值与其均值不同程度偏离的概率的估计。例如，由切比雪夫不等式可知，对任意随机变量，其取值在期望的正负 2 倍标准差之内的概率一定不小于 3/4。10 212XXPXE XPXE X 23142XVar X。*例 5.5.2 将一枚均匀的硬币独立地抛掷 100 次，用切比雪夫不等式估计，得到正面次数在 40-60 次之间的概率至少为多少？解：设投掷 100 次硬币得到正面的次数为随机变量。*例 5.5

20、.2 将一枚均匀的硬币独立地抛掷 100 次，用切比雪夫不等式估计，得到正面次数在 40-60 次之间的概率至少为多少？解：设投掷 100 次硬币得到正面的次数为随机变量X，则，则1100,2XB，1100502E X，1110012522Var X 406010PXPXE X 110PXE X 2110Var X22510.7510*0 XVar 1 cXP，c为某常数，即为某常数，即X以概率 1 等于一个常数；说明：若以概率 1 等于一个常数；说明：若 0 XVar，则对任意，则对任意+nZ，210PXE Xn Var Xn。*。*随机变量的期望或方差可能不存在 随机变量的期望或方差可能不

21、存在 1,iiixP XxXE Xxfx dxX为离散随机变量为连续随机变量为离散随机变量为连续随机变量 1iiix P Xx ，x fx dx 才称其数学期望存在。才称其数学期望存在。11例 5.5.2 柯西(Cauchy)分布 例 5.5.2 柯西(Cauchy)分布 ,XC ，22fxxRx ，。计算。计算1,0XC的期望。由于的期望。由于 21 1xxfx dxdxx 所以 所以 XE不存在，同理不存在，同理 XVar也不存在。*例 5.5.3 随机变量也不存在。*例 5.5.3 随机变量22212366649X，其中，其中226P Xkk，1,2,3,k 。因为。因为222211111236kk ，所以，所以11kP Xk 22116kkk P Xkkk 2161kk 发散，因此随机变量发散，因此随机变量X的期望不存在。*的期望不存在。*