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1、3 协方差及相关系数协方差及相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数 设设X和和Y为两随机变量，若为两随机变量，若E X-E(X)Y-E(Y)存在，则称之为随机变量存在，则称之为随机变量X和和Y的协方的协方差差,记为记为Cov(X,Y)，即，即 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1
2、,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X).一、协方差一、协方差2.性质性质 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)1.定义定义 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若可见，若X 与与 Y 独立独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E
3、(X)E(Y)即即D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响.例如：例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了了相关系数相关系数.二二、相关系数、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数.定义定义:设设D(X)0,D(Y)0,称称相关系数的性质
4、：相关系数的性质：存在常数存在常数 a,b,使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.说说 明明X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。当当|XY|较大时较大时,通常说通常说X,Y线性相关的程度较好线性相关的程度较好;当当|XY|较小时较小时,说说X,Y线性相关的程度较差线性相关的程度较差.对随机变量对随机变量X，Y，有如下事实等价：，有如下事实等价：1、Cov(X,Y)=0;2、X与与Y不相关；不相关；3、E(XY)=E(X)E(Y);4、D(X+Y)=D(X)+D(Y).注注：独立性和不相关性有联系，但又不同，独：独立性和不相关性有联系，但又不同，独立性比不相关性更强。立性比不相关性更强。性质性质：如果随机变量：如果随机变量X与与Y互相独立，则互相独立，则X与与Y不不相关。（反之不成立）相关。（反之不成立）但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关求：求：例：若例：若X,Y的联合概率密度为的联合概率密度为试验证：试验证：X,Y不相关，但不相关，但X,Y不是相互独立的。不是相互独立的。