《6概率论与数理统计.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6概率论与数理统计.ppt（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1(六)开始王 柱 2013.3.182定义定义:随机试验随机试验E,样本空间样本空间 =e,(,A A,P)为概率空间为概率空间对于对于 中的中的每个每个 e,都有一个实数都有一个实数X(e)与之对应。与之对应。这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在 上的单值实函数上的单值实函数 X=X(e)，称为，称为随机变量随机变量。对于任意的实数集合对于任意的实数集合 L，X 属于属于 L 表示表示 事件事件 e|X(e)属于属于L 。令令 PX(L)=P(e|X(e)L),则则(R,PX)也也为为 概率空间。在其上概率空间。在其上令令 X*=X*(x)=x，也是，也是随机变量随机变量。注意。注意
2、X 与与 X*取值的概率情况相同。取值的概率情况相同。3*随机变量随机变量的的分布分布函数函数称为称为X的分布的分布函数函数。X的分布的分布函数函数F(x)是普通的函数是普通的函数。表示表示 X落在区间落在区间 (-x 上的概率。上的概率。X的分布的分布函数函数 F(x)的的性质性质:10 F(x)是一个不减函数。是一个不减函数。20 0 F(x)1。且左无穷远点为且左无穷远点为0,右无穷远点为右无穷远点为1。30 F(x+0)=F(x)，即，即F(x)是右连续的。是右连续的。且间断点最多有可列个且间断点最多有可列个。定义定义2.3.1:X为一个随机变量为一个随机变量,x 是任意实数是任意实数
3、,函数函数4*离散随机变量离散随机变量的分布函数的分布函数设：离散随机变量可能取的值为设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,)X 取可能值的概率为取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,)F(x)=PX x 为阶梯函数为阶梯函数,跳跃点在跳跃点在xk处处,且最多有可列个，跃度为且最多有可列个，跃度为 pk。5（0）、）、(0-1)分布分布定义；定义；随机变量随机变量X只只可能取可能取 0 或或 1 两个两个值。它的分布律是值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1 (0p0 为常数为常数,称称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,记为记为X
4、()。11泊松分布图泊松分布图05101500.050.10.150.205101500.20.40.60.81参数 =412 *连续型随机变量连续型随机变量的的概率密度概率密度则则 称称 X 为为连续型连续型随机变量随机变量,其中其中 f(x)称为称为X的的概率概率密度函数密度函数,简称简称概率密度概率密度。概率密度概率密度f(x)的的性质性质:10 f(x)是一个非负函数。是一个非负函数。30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间在区间(x1 x2上的积分。上的积分。40 若若f(x)在点在点x处处连续，则连续，则F(x)=f(x)。定义定义:随机变量随机变量X分布分布函
5、数函数F(x),存在非负函数存在非负函数 f(x),对于任意实数对于任意实数x有，有，F(x)为为 f(x)在区间在区间(-x上的积分上的积分x1=x2注意注意，这时这时F(x)为连续函数为连续函数。20 f(x)在全区间上的积分为在全区间上的积分为1。131.连续型随机变量连续型随机变量X一定一定具有具有概率密度概率密度fX(x),-x;2.反之反之,有一个有一个非负可积函数非负可积函数f(x),其其在全区间上的在全区间上的积分为积分为1。则它一定是某个连续型随机变量则它一定是某个连续型随机变量X的的概率密度概率密度函数函数.实际上：实际上：令令FX(x)为该为该f(x)特定的一个原函数特定
6、的一个原函数(FX()=1),记记 Px1 X x2=FX(x2)-FX(x1)则则(R,P)为概率空间为概率空间,随机变量随机变量X(x)=x的的概率密度概率密度函数函数为该为该f(x)。14（1）、均匀分布）、均匀分布定义：定义：随机变量随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)=1/(b-a),axb;=0,其它。其它。则则称此称此 X 在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀均匀分布。分布。（几何概率）（几何概率）15在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀均匀分布的分布函数分布的分布函数为为:F(x)=0,xa;=(x-a)/(b-a),axb;=1,b0)为常数为常数,称服从参
7、数为称服从参数为,的正态分布的正态分布,记为记为N(,2)正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为18=5,=819解释密度函数的图形解释密度函数的图形:1.曲线关于曲线关于x=对称对称 2.曲线在曲线在x=处取到最大值处取到最大值 3.曲线在曲线在x=处有拐点处有拐点,并以并以x轴为渐近线轴为渐近线4.固定固定,曲线以曲线以 位置参数位置参数5.固定固定,越小越小曲线越高越尖曲线越高越尖特别特别,当当=0,=1时称时称X服从标准正态分布服从标准正态分布此此时时,概率密度记为概率密度记为(x),分布函数记为分布函数记为(x)20标准标准正态分布的分布函数正态分布的分布函数记为记为(x),特别特
8、别,当当=0,=1时称时称X服从服从标准标准正态分布正态分布此此时时,概率密度记为概率密度记为(x),(做成附表2)21标准标准正态分布正态分布的的概率密度概率密度函数图为函数图为z 22定义定义:设设X N(0,1),若若z 满足条件满足条件 PXz=,0 z|=,0 1则称则称z|为标准正态分布的（双侧）为标准正态分布的（双侧）分位分位点点.显然显然,z|=z/223一、一、离散随机变量离散随机变量函数函数的分布的分布设：离散随机变量可能取的值为设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,)X 取可能值的概率为取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,)2.4 随机变量函数
9、随机变量函数的的分布分布Y=g(X)的可能取值也是离散的。记为的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为取相应可能值的概率为 rj=Pg(xk)=yj对对k=1,2,求和求和,(j=1,2,).见例见例1:24设：离散随机变量可能取的值为设：离散随机变量可能取的值为y=(x-1)2的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为 rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).例例1:xk=-1 0 1 2pk=0.2 0.3 0.1 0.4yj=0 1 4pj=0.1 0.7 0.2 例例06-106-125解解 由由 X X 的概
10、率分布为的概率分布为例例2.5.1 设随机变量设随机变量 ，求，求（1）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（2）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（3）随机变量）随机变量 的概率分布。的概率分布。012301490030220概率例例06-206-226得到：（得到：（1）随机变量）随机变量 的概率分布的概率分布；（2）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（3）随机变量）随机变量 的概率分布。的概率分布。0149-103 020.3430.4410.1890.0270.630.370.3430.4680.18927 随机变量随机变量X具有具有概率密度概率密度fX(x
11、),-xya FY(y)=PY y=Pg(X)y=PX L(y)关键是解出关键是解出L(y)来来，再求导再求导。二、二、连续型随机变量连续型随机变量函数函数的的分布分布28例例3：随机变量：随机变量X具有具有概率密度概率密度fX(x),-x0 FY(y)=PY y=PX2 y=P-y X y特别特别,XN(0,1),Y=X2称为自由度为称为自由度为1的的2分布分布.例例06-306-329例例2.5.3 设随机变量的概率密度函数设随机变量的概率密度函数 求随机变量求随机变量 的概率密度函数的概率密度函数 。解解:随机变量随机变量 的取值范围是的取值范围是 ，随机变量随机变量 的取值范围是的取值
12、范围是 ，先求先求 的分布函数的分布函数 。例例06-406-430综合上述求得综合上述求得 的分布函数的分布函数 将将 在开区间关于在开区间关于 求导，得求导，得 的概率密度的概率密度函数函数 为不可能事件，为不可能事件，得到得到31fY(y)=fXh(y)|h(y)|,ay0,严格单调严格单调,a、b存在存在,反函数反函数h(y)存在存在,分段考虑：分段考虑：FY(y)=0,ya;FY(y)=1,by;对对ay0(或恒有或恒有g(x)0)则则Y=g(X)是是 连续型连续型随机变量随机变量,其其概率密度概率密度fY(y)为为32例例2.fX(x)=x/8,0 x0;a=8;b=16;反函数反
13、函数存在存在,h(y)=(y-8)/2;于是于是,对对8y0,或或0;a=-;b=;反函数反函数存在存在,h(y)=(y-d)/c,h(y)=1/cfY(y)=fXh(y)|h(y)|=fX(y-d)/c)|1/c|35Y服从参数为服从参数为(c+d),(c)的正态分布的正态分布N(c+d),(c)2)。取取c=1/,d=-/,则则Y服从参数为服从参数为(0,1)的标准正态分布的标准正态分布N(0,1)。36引理引理:XN(,2)则则Z=(X-)/N(0,1)证明证明:PZ x=P(X-)/x=PX +x令令 u=(t-)/PZ x,证毕。证毕。这是例这是例2.4.4 也可以有如下的证明也可以
14、有如下的证明37由引理由引理:XN(,2)则则 Z=(X-)/N(0,1)于是于是,Px1 X x2 =P(x1-)/Z (x2-)/=(x2-)/)-(x1-)/)“查附表查附表2”38例例3.将一温度调节器放在某液体中将一温度调节器放在某液体中.调节器定在调节器定在d度度,液体温度液体温度X N(d,0.52).1.d=90,求求X小于小于89的概率的概率,2.若要求保持若要求保持液体温度至少为液体温度至少为80的概率不低于的概率不低于0.99,问问d至少为多少至少为多少?Z=(X-d)/(0.5)1.PX800.99 (z)0.01;(80-d)/0.5-2.327 d81.1635例例
15、06-706-739例例5.设电压设电压V=Asin(X)。A为已知常数为已知常数,相相角角X在区间在区间(-/2,/2)上服从上服从均匀均匀分布分布.求求V的的概率密度概率密度.解解:在区间在区间(-/2,/2)上上,g(x)=A sin(x),g(x)=A cos(x)0。x=h(v)=arc sin(v/A),h(v)=1/(A2-v2)。在区间在区间(-/2,/2)上上,f(x)=1/,代入后得代入后得:在区间在区间(-A,A)上上,fV(v)=1/(A2-v2)。例例06-806-840(六)结束作业作业:习题二的习题二的 19,22,25411942224325再见4499-9-28 A B C D E F G H I R P QA B C D E F G H I R P QA B C D E F G H I R P QA B C D E F G H I R P Q