《2022年高中数学——导数难题 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学——导数难题 .docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_1. 已知函数f xex5. 导函数不等式kx, xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 ke,试确定函数f x 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 k围.0 ,且对于任意 xR ,f x 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数F xf xf x ,求证：F 1F 2F nen 12 2 nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导
2、数、不等式等基本学问,考查运 用导数争论函数性质的方法, 考查分类争论、化归以及数形结合等数学思想方法, 考查分析问题、解决问题的才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 ke得 fx xeex ,所以xf xee 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f x0 得 x由 f x0 得 x1 ,故1,故f x 的单调递增区间是 1, f x 的单调递减区间是 ,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f x f x 可知f x 是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
3、 - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 f x 0 对任 意 xR 成 立等 价于f x0对任 意x 0成立 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xf xek0 得 xln k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k递增0,1 时, fxexk1k 0 x0 此时f x 在0, 上单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 f x f 010 ,符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k1, 时, ln k0 当 x 变化时f x, f
4、x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0,ln kln kln k, f x0f x单调递减微小值单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得,在 0, 上,f x f ln k kk ln k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,kk ln k0 ,又 k1, 1ke 综合,得,实数 k 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0ke可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F xf xxxf xee,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
5、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x1 F x2ex1 x2e x1x2 ex1 x2e x1 x2ex1 x2e x1x2 2ex1 x22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,F 1F nen 12n 1F 2 F n1e2F nF 1en 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得, F 1F 22F n F 1F n F 2 F nn 1n1 F n F 1e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 F 1F 2F nen 1x3n2 2, nN 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设f x3 ,
6、对任意实数 t ,记gt xt 3 xt3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数yf xg8 x 的单调区间.求证：当 x0 时,fxgt x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对任意正实数 t 成立.有且仅有一个正实数x0 ,使得g8 x0gt x0对于任意正实数 t 成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：此题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础学问, 以及综合运用所学学问分析和解决问题的才能分类争论、化归转化思想方法可编辑资料
7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_yI 解：x3164 x33 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 yx240 ,得 x2 由于当 x, 2 时, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 2,2 时, y0 ,当 x2, 时, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的单调递增区间是 II 证明：i 方法一：, 2, 2, ,单调递减区间是 2,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_hxf xg x23xt 3 x2 t x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t,令331,就h x1x2t 3可编
8、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当t0 时,由h x0 ,得xt 3 ,当 x x3, 时, h x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 hx在 0, 内的最小值是1ht 3 0 故当 x0 时,f x gt x对任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正实数 t 成立 方法二：22211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对任意固定的 x0 ,令ht gt xt 3 xt t 30h t ,就t 3 xt 3 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由h t 0 ,得 tx3
9、 当 0tx3 时,h x3 h t0 .当 tx3 时, h t 0 ,1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3所以当 tx 时, ht 取得最大值3因此当 x0 时,f x g x 对任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意正实数 t 成立ii 方法一：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 28g 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t3由 i 得,gt 2 gt 2对任意正实数 t 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即存在正实数x02 ,使得gx 2 gt 2对任意
10、正实数 t 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面证明x0 的唯独性：x30f x 0g x164 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x02 ,x00 , t8 时,3 , x003 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x03164x03x03gx 3 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由i 得,33 ,再取tx0 ,得 03 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3g
11、x4 x16x0g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x00所以3300,即x02 时,不满意gx x0 gt x0对任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3t0 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故有且仅有一个正实数x02 ,使得gx x0 0 gt x0 对任意正实数 t 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：对任意x00 ,gx x1604 x03 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 gt x0 关于t 的最大值是 3 0 ,所以要使g
12、x x0 gt x 0对任意正实数成立的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_充分必要条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x0161333x0 ,即 x022 x04 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于x00 ,不等式成立的充分必要条件是x02 ,所以有且仅有一个正实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 x02 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使得 gx x0 gt x0 对任意正实数 t 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.定义函数
13、f n x 1 xn 1, x 2, nN*(1) 求证： f n x nx .(2) 是否存在区间 a ,0 a 0 ,使函数 h x f 3 x f 2 x 在区间a ,0 上的值域为 ka ,0. 假设存在,求出最小实数 k 的值及相应的区间 a , 0 ,假设不存在,说明理由 .分析：此题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础学问, 以及综合运用所学学问分析和解决问题的才能分类争论、数形结合思想方法 解： 1 证明： f n x nx1 xn 1nx,令 g x 1 xn 1nx ,就 g x n1 xn 11.当 x 2,0 时, g x 0, 当 x0 ,时, g
14、x 0, g x 在 x0 处取得微小值 g 0 0,同时 g x 是单峰函数,就 g 0 也是最小值 . g x 0,即 f n x nx 当且仅当 x0 时取等号.注：亦可用数学归纳法证明 .2 h x f 3 x f 2 x x 1 x 2h x 1 x2 x 21x 1 x1 3x令 hx 0,得 x 1 或 x 1 ,31当 x 2,1 ,hx0.当 x 1,3 时,hx 0.1当 x 3 , 时, hx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故作出 hx 的草图如下图,争论如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当14a0时, hx 最小值 ha kak
15、1 a2 39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当4a31时hx 最小值 ha h 313 427 kak4 27a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 9 k 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a4时 h x 最小值 h a a1 a2 ka k 1 a2 314,a 时93可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上争论可知 k 的最小值为1,此时a ,0 94,0. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.已知f
16、 x2 xa xx 22R在区间 1,1 上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求实数 a 的值组成的集合 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx2设关于 x 的方程1x 的两个非零实根为x1 、 x2 .试问：是否mR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2使得不等式 mtm1| x1x2 |对 aA及t1,1恒成立？假设存在,求 m 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取值范畴.假设不存在,请说明理由.分析：此题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础学问, 以及综合运用所学学问分析和解决问题的才能函数方程思
17、想、化归转化思想方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1f x2 xa xR x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2 x 22x 22xa 2x 2 22 x 2x 22 x 22ax222ax220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在1,1 上f xx2对x1,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x1,1,恒有x2ax20 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 1a101a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 g xx2
18、ax2g 1a10A 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2f x2 xa1x 22xx2ax20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 280 x1 、 x2是 方 程x2ax20 的 两 不 等 实 根 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x2a , x1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | x1x2 | x1x 24 x1x2a 28 22 ,3可编辑资料 - - - 欢
19、迎下载精品_精品资料_2 mtm1| x1x2 |对 aA及t1,1恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m 2tm13 对t1,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设ht m tm 22 , t1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ht0 对 t1,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h 1m2m20m1或m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h 1m 2m20m2或m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m, 22, 满意题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知函
20、数f xln exa a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求函数 yf x 的反函数 yf1 xf x 的导函数f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设对xln 3a, ln 4a ,不等式 | m1和fx |ln fx0 成立,求实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数m 的取值范畴.分析：此题主要考查反函数的概念及基本性质, 导数的应用及不等式的证明等基础学问,以及综合运用所学学问分析和解决问题的才能化归转化思想方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 yln exaexae yexeyaxlne yaex可编辑资
21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1 xln exa yln exaf xexa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xln 3a, ln 4a , | mf1 x |ln fx0 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| mln exa |exlnxeaexalnxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln ex设axmln exg xa ln exln ex aa) xln exax,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h xln exaln exax xln 3a, ln 4a 可编
22、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xln 3a, ln 4a 恒有gxmhx 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xexexaexexa1ex xln 3a, ln 4a exex3a,4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0exaexexa10 exa,exa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ g x0 , g x）在ln 3a, ln 4a 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ g x maxg ln 4amm ln
23、12 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln 3aln 5aexln 4am5ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h xexaexa10 hx在ln 3a, ln 4a 上m8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mh xminhln 3aln 12ma, ln 8ln 2aaln 4 aln 3alna 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m 的取值范畴是53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设函数f xn11 nnN ,且n1, xN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
24、 欢迎下载精品_精品资料_1 当 x=6 时, 求n1n 的绽开式中二项式系数最大的项 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 x 对任意的实数 x, 证明2f 2 fn11 x fx是f x的导函数 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 是否存在 aN , 使得 a n k 1k a1n 恒成立 .假设存在 , 试证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_你的结论并求出 a 的值; 假设不存在 , 请说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6解：绽开式中二项式系数最大的项是第4 项,
25、这项是C3153120nn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n2f2xf21111证法一：因nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n221111n2 1111n2 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 11nln 112 11nln 112 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2nn证法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 nf2xf21122 n21121111n2 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因nnnnnn可编辑资
26、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f x2 11nln 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故只需对1 ln1 n和1n进行比较.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x1x1x110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g xxln x x1 ,有xx,由 x,得 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于当 0xg x1时,0g xgx1x,单调递减. 当时,0 g x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调递增,所以在 x1 处gx 有微小值 1可编辑
27、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 x1 时,g xg11 ,从而有 xln x1,亦即 xln x1ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11ln11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故有nn恒成立.所以f2xf22 f x ,原不等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对 mN ,且 m1m2km可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmmmm11C 0C11C 21Ck1Cm1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有mmmmm2km可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11m m11m m1mk1
28、1m m12 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.mk.mm.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2111111121k11111m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.mk .mmmm.mm211112.3.k.m.21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2132k k1m m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223313mkk1km1mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0kmk12,3,4,m2113又因m,故m1mn1 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2132nm,从而有k 1n1 k13nk成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即存在 a2n2 ,使得13nk 1k恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载