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1、名师精编优秀教案导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中 g 是重力加速度） . 当时间增量t很小时，从 3 秒到（3t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大 .因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度 . 从 3 秒到（ 3t）秒这段时间内位移的增量：222)(9. 44 .2939.4)3(9. 4)3()3(tttstss从而，ttsv9 .4
2、4.29. 从上式可以看出，t越小，ts越接近 29.4 米/秒； 当t无限趋近于 0 时，ts无限趋近于 29.4 米/秒.此时我们说，当t趋向于 0时，ts的极限是 29.4. 当t趋向于 0 时，平均速度ts的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做瞬时速度 . 一般地，设物体的运动规律是ss（t） ，则物体在 t 到（tt）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于 0时，ts无限趋近于某个常数 a，就说当t趋向于 0 时，ts的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻t的瞬时速度 . 2.切线的斜率问题 2：P（1,1）是曲线2xy上的一点， Q 是曲线上点 P 附近
3、的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀教案析：设点 Q 的横坐标为 1x，则点 Q 的纵坐标为（ 1x）2，点 Q 对于点 P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1 (xxxy，所以，割线 PQ 的斜率xxxxxykPQ2)(22. 由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x无限趋近于 0 时，PQk无限趋近于2.这表明，割线 PQ 无限趋近于过点
4、 P 且斜率为 2 的直线 .我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线 .由点斜式，这条切线的方程为：12xy. 一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线 C， P （00, yx） ， Q （yyxx00,）是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动.当点 Q 沿着曲线无限接近点P，即x趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 .此时，割线 PQ 的斜率xykPQ无限趋近于切线PT 的斜率 k，也就是说，当x趋向于 0 时，割线PQ 的斜率xykPQ的极限为 k. 导数的概念（教学目标与
5、要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点 ：导数的概念以及求导数教学难点 ：导数的概念教学过程 ：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率。 虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的， 都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0 xx处附近有定义，当自变量在0 xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00 xfxxfy， 如果0 x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0 xx处的导数 ，记作0/xxy，即精选学习资
6、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀教案xxfxxfxfx)()(lim)(0000/4.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/yxyx0lim。几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） .(2) 1()()nnxnxnQ.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；1(log)logaaxex. (6) xxee )(; aaaxxln)(.
7、导数的运算法则（1）()uvuv. （ 2）()uvu vuv. （3）2()(0)uuvuvvvv. 1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则：如果函数)()(xgxf、有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例 1：求下列函数的导数：（ 1）37xy（2）43xy（3）3534xxy（ 4）)2)(1(2xxy（5）babaxxf、()()(2为常数 ) 例 2：已知曲线331xy上一点)382( ，P，求：（1）过点 P 的切线的斜率；（2）过点 P 的切线方程 . )()(*1/Nnnxxnn0)(/C
8、)()()()()()(/xCfxfCxgxfxgxf；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀教案三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数：（1）28xy（2）12xy（3）xxy22（4）xxy433（5）)23)(12(xxy（ 6）)4(32xxy2、已知曲线24xxy上有两点A（4， 0） ，B（2，4） ，求：（1）割线 AB 的斜率ABk； （2）过点 A 处的切线的斜率ATk； （3）点 A 处的切线的方程. 3、求曲线2432xxy在点 M（2，6）处的切线方程
9、. 函数的单调性与极值教学目标 ：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点 ：利用导数判断函数单调性；教学难点 ：利用导数判断函数单调性教学过程 ：一 引入：以前， 我们用定义来判断函数的单调性.在假设 x1x2的前提下， 比较 f(x1)0 时，函数y=f(x) 在区间（ 2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x) 的值随着x 的增大而减小，即/y0 时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数. 定义： 一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内/y0， 那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增
10、函数；，如果在这个区间内/y)(1xf。（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。如函数3xy，在0 x处，曲线的切线是水平的，但这点x 0 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀教案o a X0 b x y )(0 xf0)(xf0)(xfo a X0 b x y )(0 xf0)(xf0)(xfx o y 的函
11、数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0 x使0)(0 xf，那么0 x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若0 x是)(xf的极大值点，则0 x两侧附近点的函数值必须小于)(0 xf。因此，0 x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。0 x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，同理，如上右图所示，若0 x是极小值点，则在0 x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0 x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，从而我们得出结论：若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号， 则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf
12、是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负” ，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值； 如果)(xf在0 x两侧满足 “左负右正” ，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值。例 3 求函数44313xxy的极值。三 小结1 求极值常按如下步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程/y=0 的根，这些根也称为可能极值点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀教案x X2o a X3 b x1 y 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 四 巩固练习1
13、确定下列函数的单调区间：（1）7522xxy（2）33xxy2 求下列函数的极值（1）672xxy（2）xxy522（3）xxy273（4）323xxy函数的最大与最小值（教学目标：1、 使学生掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习：1、_/nx； 2、_)()(/xgxfC3、求y=x3 27x 的极值。二、新课在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小观察下面一个定
14、义在区间ba,上的函数)(xfy的图象发 现 图 中 _是 极 小 值 ， _ 是 极 大 值 ， 在 区间ba,上的函数)(xfy的最大值是_ ，最小值是_ 在区间ba,上求函数)(xfy的最大值与最小值 的步骤：1、函数)(xfy在),(ba内有导数；2、求函数)(xfy在),(ba内的极值3、将函数)(xfy在),(ba内的极值与)(),(bfaf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值三、例1、求函数5224xxy在区间2 ,2上的最大值与最小值。解：先求导数，得xxy443/令/y 0 即0443xx解得1,0, 1321xxx精选学习资料 - - - - - - - - -
15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀教案导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X 2 （ 2， 1） 1 （ 1 ， 0）0 （ 0， 1）1 （ 1， 2 ）2 y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13 从上表知，当2x时，函数有最大值13 ，当1x时，函数有最小值4 在 日 常 生 活 中 ， 常 常 会 遇 到 什 么 条 件 下 可 以 使 材 料 最 省 ， 时 间 最 少 ， 效 率 最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。四、小结：1、 闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、 在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。五、练习及作业：1、函数452xxy在区间1 , 1上的最大值与最小值2、求函数33xxy在区间3,3上的最大值与最小值。3、求函数5224xxy在区间2, 2上的最大值与最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页