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1、概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案.写出以下随机试验的样本空间.(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数以百分制记分)；2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1 , 2 , 3 , 4 , 5,从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，假设击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：(1)1,2, ,100);(2)123,124,125,134,135,145,234,235,345;(3)也2, ；(4)(x,y)|x2 y2.2 .在 12 ,10 , A 2 3,4 , B 3,4,5 , C 5,6,7,具体写出以下各式：(1)
2、 AB;(2) A B ; (3)冠；(4); (5) ATTC .解：(1) A(1,5,6,7,8,9,10,AB 5；A B 1,3,4,5,6,7,8,9,10)；(3)法 1 ： BT 1,2,6,7,8,9,10,AT 1,6,7,8,9,10),丽2,3,4,5;法 2 二/ 7 百 A B 2,3,4,5;(4) BC 5,BC (1,2,3,4,6,7,8,9,10,ABC 2,3,4,河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3 ,求在该时期内这个地区被淹没的概率，10又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：A 甲河流泛滥 , B乙河流泛滥 , C该地区被淹没,那么
3、C A B ,由题设知 P(A) 0,1 , P(B) 0,2 , P(B|A) 0,3 ,从而 PjC) P(A Bj P(A) P(B) P(ABjP(A) P(B| P(A)P(B|A) 0.27 ,P(A|B) P(_ P-P(B|A) 0.15 .-P(B) P(BjB设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解:设A 有一件产品是不合格品 , B 另一件产品也是不合格品, D 取出的两件产品中有i件不合格品 , i 0,1,2 ,显然，A D D , DD, AB B D .12122从n件产品种任取两件,共有C2种取法； n假设D
4、发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，那么该不合格品只能从m件1不合格品中取得，共有Ci种取法；另一件为合格品，只能从n m件合格品中取m得，共有Ci种取法，那么事件 中共有CC 个样本点，P(DP(D类似地，P(D)2Ci Cim_n.C2nC22m(n m)n(n 1)所以P(DD) P(D2)叩)12mjn m) m(m 2n(n 1jP(AB)P(D)2m(m 1)n(n 1)-于是所求概率为P(AB)干11m 12n m 119.10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率.解：设第i次取得合格品 , i 1,2,3 ,A i那么所求
5、概率为3 2 7720.设事件A与B互不相容,且0 P(B) 1 ,证明：P(A|B)-0 冏.1 P(B)证：事件A与B互不相容，那么P(AB) 0 ,p(A|B)- PM p(A b) P(A) P(ABj P(A)P )1 P(B)-f(Bj1 P(B)21.设事件A与B相互独立，P(A) 0.3 , P(B) 0.45 ,求以下各式的值：。)P(B|A) ; (2) P(A B) ; (3) P(ABF ; (4) P闽B厂解：事件A与相互独立，事件A与B也相互独立，(1) P(B|Aj P(B) 0.45 ；(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P
6、(A)P(B) 0.615 ；(3) P(W P(A)P(B) J P(A)J P(B)| 0.385 ;(4|P闽B厂 P(A) 1.7 .22.某种动物活到10岁的概率为0.92 ,活到15岁的概率为0.67 ,现有一只10 岁的该种动物，求其能活到15岁的概率.解：设A该种动物能活到10岁,B该种动物能活到15岁,显然B A ,由题设可知P(A) 0.92 , P(B) 0.67 ,12所以P(B|A) P(AB) P(B) 67P(Aj PjA) 1323.某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60% ,乙厂的产品占40% ,甲厂产品的次品率为4% ,乙厂的次品率为5%
7、. 一位 顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.解：设A 电灯泡是次品,B 电灯泡由甲厂生产,电灯泡由乙厂生产,B12那么K电灯泡是合格品.由题设可知P(B) 0,6 , P(B ) 0,4 , P(A|B ) 0,04 , P(A|B ) 0,05 1212PtA) P(B )P(A|B ) P(B )P(A|B ) 0,044 , 1122所以P(A) 1 P(A) 0.956 .24 .男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等 的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 选出的人是色盲患者,B 选出的人是男性,B 选出的人
8、是女性,1由题设可知P P(B)- -，PA|B) 0.05 , P(A|B) M5 ,2贝 ijP(B|A)P(B)P(A|B)20P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)IT 25 .甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为04 , 0.5和0.7,又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为02 , 0.6和1.现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.解：设A , A ,分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，A123B敌机被击中i次, i 1,2,3 , C 敌机坠毁,i那么 BAA7V KAA- KKA ,1 1 2 31 2 31 2 3BA AA- AKAAAA
9、 ,2 1 2 31 2 31 2 31415由题设可知 P(A) 0.4 , P(A ) 0.5 , P(A ) 0.7 ,123PiClB) 0.2 , P(C|B i贝ij P(B ) P(AA -A-) PjAA- 11 2 31P(A)P(A|PA -)1230.36 ,A)2 3)0.6 , P(C|B ) 1 , 23P(AK 可1 2 3P(A步(A)P(A -) P(AP(AjPfA)类似地,P(B) 0.51 , P(B ) 0.14 ,23由全概率公式得PjC) 3 P(B)P(C|B) 0.458 . iii 1 111.三人独立地破译一份密码，各人能译出的概率分别为1
10、1和1问5 34人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：分别设事件A ,B , C为甲、乙、丙破译密码，那么三人中至少有一人能将此密码译出可表示为A B C,有P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) PjAC) P(BC) P(ABC)P(A) P(B) P(C) P(A)P(B) P(AJP(C) P(B)P(C) P(A)P(BjP(C) 3 ._126 .甲袋中装有n只白球、m只红球，乙袋中装有N只白球、M只红 球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取 到白球的概率是多少？解：设A 从甲袋中取出白球,B从乙袋中取出白均曾，巾那么由题设
11、可知P网 , P网二，n mn mN 1NP(B|A), P(B|A),N-N 由全概率公式， 得P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|16A)n(N 1) mNm n)(M N 1j28.从区间（0内任取两个数，求这两个数的和小于12的概率.17解：设x和y分别为所取的两个数，显然0 x 1 , 0 y 1 ,即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记A (x,y)|x y 1.2,由几何概型，有1()1 1 1 08 0,80 68p a n-2 一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为叩r 1),假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性.解
12、：设 第i个元件能正常工作 , i 1,2,3,4 , Ai B 系统能正常工作,那么 B A(A A)A AAA AAA , 12341 2 41 3 4由题知P(A) r , A相互独立,i 1,2,3,4 , ii所以P(B) P(AAA AAA) P(AAA) P(AAA ) P(AA AA)1 2 41 3 41 2 41 3 41 2 3 4P(A)P(A)P(A ) P(A)P(A)P(A ) P(A)P(A)P(AP(A)1241341234(2 r)r3 .S某篮球运发动投篮命中的概率为0.8 ,求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率.解：设A 该篮球运发动5次独立投篮中至少
13、命中2次,B该篮球运发动5次独立投篮中命中的次数, i 0,1, ,5 ,i那么由题可知A B B B B , A- B B , B互不相容，i 0,1, ,5 , 234501 i所以 P(Aj 1 P冏 1 P(B ) P(B) o 11 Co O.8o 0.25 C1 O.81 0,24 0,9933 .18设概率统计课的重修率为5% ,假设某个班至少一人重修的概率不小于0.95 ,19ABC 1,5,6,7,8,9,10);问这个班至少有多少名同学？ 解：设该班有n名同学,A 该班每名同学概率统计课重修,B 该班n名同学中有i名同学概率统计课重修, iC 该班n名同学中至少有1名同学概
14、率统计课重修,由题可知P(A) 0.05 ,P(C) 1 P(C) 1 PjB)1 Co O.O5o 0.95n1 0.95n ,0n由题意，应有1 0.95n0.95 ,解得n 59 .2 某种灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.6 ,求3个灯泡在使用1000h以后最多有1个损坏的概率.解：设A 该种灯泡使用时数在1OOOh以上,B3个灯泡在使用1OOOh以后有i个损坏 , i 0,1,2,3 ,iC 3个灯泡在使用1000h以后最多有1个损坏,那么C B B ,由题知P(A) 0.6 , B互不相容，i 0,1,2,3 ,01i所以 P(C) P(B) P(B) Co O.4o 0.6
15、306 0.648 .01333 甲、乙两名篮球运发动投篮的命中率分别为0.7和0.6,每人投篮3次，求： (1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率.解：设A 甲篮球运发动投篮命中 , B 乙篮球运发动投篮命中,A 甲篮球运发动投篮命中i次, i 0,1,2,3 , iB 乙篮球运发动投篮命中i次, i 0,1,2,3 , iC 甲、乙进球数相等, D 甲比乙进球数多, 由题可知A与B相互独立，A相互独立，B相互独立，A与 相互独立，B20P(A) 0.7 , P(B) 0.6 ,21P(A) Ci 0.7i 0.3a i , P(B) Ci 0.6i 04 i , i 0,1,
16、2,3 , i 3i 3c 3 AB i ii 0P(C) P(3 AB) 3 P(AB) 3 P(A)P(B) 0.3208 ; i ii ii ii 0i 0i 0D AB A(B B) AB 一，从而有 1 02 013 3P(Dj P(AB A(B B) AB) P(AB j PA(B B PjAB)一1 02013 31 02013PjAB) P(AB) P(AB) PfABj -1 02 02 13 3P(A)P(B) PjA)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B-) 0,4362 .102021333 假设三事件A , B , C相互独立，证明：A B及A B都与C相互独立
17、. 证：(1) P(A BjC) P(AC BC) P(AC) P(BC) PjACBC)P(AC) P(BC) PjABC)P(A)P(C) P(B)P(C) P(AjP(B)P(C)|P(A) P(B) P(AjP(B)|P(C) P(A) P(B) P(ABP(C)P(A B)P(C)所以A B与C相互独立.(2) P(A B|C) P(AC BC) P(AC) P(ABC)P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) RA) P(AjP(B)P(C)|P(A) P(AB)|P(C) P(A B)P(C),所以A B与C相互独立.5设袋中有1个黑球和n 1个白球，每次从袋中随机摸出一球，并
18、放入一个白球，连续进行，问第k次摸到白球的概率是多少？解：设A 第k次摸到白球二A 第k次摸到黑球,K发生表示前k 1次摸球摸到的都是白球，第k次摸到的是黑球.前k 1次22n 11摸球，每次摸到白球的概率均升一,第k次摸到黑球的概率为nn球相 互独立，可知印M11 ， n,4n 11P(A) 1 P,An (n n23(5) A B C 2,3,4,5,6J,ABC 1,8,9,10).1133 .设 x|0 x 2 , A x| _x , B x| x_ ),悬体写出以下各 7?7式：(1) ; (2) A ; (3) AB- ; (4) KB .解：(1) A B B , 1 3Z B-
19、x|0 xx 2.(3) AB A ,AB R x|0 1(4) AB x| _x T4,化简以下各式：0) (A B)(A B)；飞解:(1) (A B)(A B) A(2) (A B)(B C) B (A(2) A H；1X ,1x2;12 3,1_X ? r(A B)(B C) ； (3) (A B|(A B)(A-B)-.(B B) A7C) B AC ;(3) (A B)(A B)(A BJ 7 (B B)(A B) 册 书)AA AB- AB .一5. A , B , C表示3个事件，用文字解释以下事件的概率意义：(1) AB(7 ABCT ABC ； (2) AB AC BC ；
20、(3) A(B- Cp ； (4) ABACBC .解：(1) A , B , C 恰 有一个发生；(2) A , B , C中至少有一个发生；A发生且B与C至少有一个不发生；(3) A , B , C中不多于一个发生.6.对于任意事件A , B ,证明：AB (A B) .A证：AB (A Bj A-AB AB A A(B B) A-A - A A A- -l把事件A BC表示为互不相容事件的和事件.解：A B C A |B C) A A (AB 阮)一A AB AC A AB-(ACB-ACB)A (AB ABC) ABLA 7B五BC.8 .设P冏0 , P(Bj 0 ,将下歹i5个数P
21、(A) , P(A) P(B) , P(A B) , P(A) P(B) , P(A B)按有小到大的顺序排列，用符号 ”联结它们，并指出在什么情况下可 能有等式成立.解:因为 P(A) 0 , P(B) 0 , P(AB) P(B),故 P冏 P(B) P(A) P(AB| P(A B) P(A) P(A Bj P(A) P(B),所以 P冏 P(B) P(A Bj P(Aj P(A B) P(A) P(B).(1)假设 B A ,那么有P(A) P(B) P(A B) , P(A) P(A Bj ;(2)假设 AB,贝ij 有 P(A B) P(A) , P(A B) P(A) P(B).
22、9 . A B , P(A) 0.3 , P(B) 0.5 ,求 P(AB) , P(AB和 P(AB厂解:(1) P间 1 P(A) 0.7 ；AB, AB A ,贝IP(AB) P(A) 0.3 ;(2) P(/VB| P(B A) P(Bj P(AB) 0.2 ;P(AHT P(AWT P(A B) 1 |P(A) P(B) P(AB)| 0.5 .10 .设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求以下事件的概率.(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品.解：从10件产品中任取3件，共有C3种取法, 10(1)记A 从10件产品中任取3件，只有1件次品,只
23、有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共。中取法，另外的两件4为正品，从6件正品中取得，共C2种取法,那么事件A共包含C1C2个样本点， 64 6P 冏 CC2 1 b 2 .10(2)记B 从10件产品中任取3件，最多有1件次品,C 从10件产品中任取3件，没有次品,那么B A C ,且A与C互不相容.没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有C3种取法，那么 6P(C) 2， C3 610 2 P(B) P(A C) P(A) P(C) ?(3)易知C 从10件产品中任取3件，至少有1件次品，那么) 1 P(C) L 711 .盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号
24、码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率.解：从10个球中任选3球，共有C3种选法, 10(1)记A 从10个球中任选3球，最小标号为5),事件A发生，那么选出球的最小标号为5 ,另外两个球的标号只可从6 , 7 , 8 ,9 , 10这5个数中任选，共有C2种选法，那么 5P(Aj C2 1 击落,10(2)记B 从10个球中任选3球，最大标号为5,事件B发生，那么选出球的最大标号为5 ,另外两个球的标号只可从1 , 2 , 3 , 4这4个数中任选，共有C2种选法，那么P(B)2 1io 20.设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球
25、都是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中的概解：设A 最后是白球留在口袋中, 事件A即把a b个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此a概率显然为P网-.a b12 . 一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同， 求以下事件的概率：(1) 6个人中至少有1人的生日在10月份；(2) 6个人中有4人的生日在10月份；(3) 6个人中有4人的生日在同一月份.解：设 生日在i月份，贝IJ生日不在i月份, i 1,2, ,12 ,B B一1 1111易知 P(B), P(B)_1,2, ,12 .i12 i(1)设A 6个人中至少有1人的生日在10月份,贝丁A 6个
26、人中没有一个人的生日在10月份,11P(A) 1 P(AH P(B - j6 1 ( 一)6 ；io 12(2)设C 6个人中有4人的生日在10月份,贝| p(c) cdp(b )hp(b - )； c/4(15 -； 610 伯 6 121225(3)设D 6个人中有4人的生日在同一月份,贝P(D) Ci p(c) 15112 . 12125U在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该 直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率.解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为X，当下-R ,弦长大于半径 XR,从
27、而所求的概率为20rP h V3 .2R- T$甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜 内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ,乙船的停泊时间是2h , 求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设A 两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出, 那么A 一艘船到达泊位时必须等待,分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，那么反(x,y)|O x y 2,0 y x 1,11网 242-232笈2从而P内 ?工 0.1207 ；()242P(A) 1 P冏 0.8993 .6 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5 ,现已 知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设A 甲击中目标, B 乙击中目标, C 目标被击中, 那么C A B ,由题设知A与B相互独立，且P(A) 0.6 , P(B) 0.5 ,所以P(C)P(A B)P(A) P(B)P(AB)P(A) P(B) P(A)P(B) 0.8 , 从而P(A|C)P(AC)P(A)p(c)p(c)TT某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹 没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1 ,河流乙泛滥的概率是0.2 ,又当