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1、概率论与数理统计习题及答案_第一章概率论与数理统计习题及答案 第一章 1 写出下列随机试验的样本空间及下列事务中的样本点：( 1 1)掷一颗骰子，记录出现的点数 . A 出现奇数点 ； ( 2 2)将一颗骰子掷两次，记录出现点数 . A 两次点数之和为 10， B 第一次的点数，比其次次的点数大 2 2； (3 3)一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5 ；从中同 时取出 3 只球，视察其结果， A 球的最小号码为 1 1； (4 4)将 a,b 两个球，随机地放入到甲、 乙、丙三个盒子中去， 视察放球状况， A 甲盒中至少有一球 ； ( 5 )记录在一段时间内，
2、通过某桥的汽车流量， A 通过汽车不足 5 台， B 通过的汽车不少于 3 台。解 (1 1) S e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 其中 e i 出现 i 点 i 1,2,L ,6 ， A e 1 , e 3 , e 5 。( 2 2) S (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5
3、,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) ； A (4,6), (5,5), (6, 4) ；B (3,1), (4,2), (5,3), (6, 4) 。3 3) S (1,2,3), (2,3, 4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5), (1,2,4), (1,2,5) (2,3,5), (2,4,5), (1,3,5)A (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5) 4 4) S (ab, ,
4、 ), ( ,ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), (a, ,b), (b,a, ), (b, ,a), ( ,a,b,), ( ,b,a) ，其中 表示空盒；A ( ab, , ), (a,b, ), (a, ,b), (b,a, ), (b, ,a) 。(5 5) S 0,1,2,L , A 0,1,2,3,4, B 3,4,L 。2 •设 A, B,C 是随机试验 E 的三个事务，试用 A, B,C 表示下列事务: ( 1 )仅 A 发生；(2) A, B,C 中至少有两个发生； (3) A, B,C 中不多于两个发生； (4) A, B,C 中恰有两个发生； (
5、5) A, B,C 中至多有一个发生。解 ( ( 1 1) ABC (2) ABUACUBC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ； (3) AUB UC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ； (5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ； 3 •一个工人生产了三件产品，以 A (i 1,2,3) 表示第 i 件产品是正品，试 用 A 表示下列事务：(1 1)没有一件产品是次品； (2 2)至少有一件产品是次品； (3)恰有一件产品是次品；
6、( ( 4 4)至少有两件产品不是次品。解 (1 1) A 1A 2A 3； (2 2) A U A A ， U A 3； (3 3) A A 2 A S U A (A> A 3U A (A >A 3； (4) A 1A 2U A ! A JU A 2 A S 。在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。设 A 任取一电话号码后四个数字全不相同’ ，则 R 4126 P(A) 三 0.504 10 4250 5 5 .一批晶体管共 0 40 只，其中 3 3 只是坏的，今从中任取 5 5 只，求 (1) 5 5 只全是好的的概率； (2) 5 5 只中
7、有两只坏的的概率。解 ( ( 1 1)设 A 5 5 只全是好的’，贝 U C 3 7P(A) 37 B0.662 ； C 40 (2 2)设 B 5 5 只中有两只坏的’，贝 y C 2 C 3P(B) C 3 C L B0.0354 . C 40 6 6 •袋中有编号为 1 1 到 0 10 的 0 10 个球，今从袋中任取 3 3 个球，求 (1) 3 3 个球的最小号码为 5 5 的概率； (2) 3 3 个球的最大号码为 5 5 的概率. .解 ( ( 1 1)设 A 最小号码为 5 5，则词 E SCIENCE 的概率是多少 解 i 设 A 恰好排
8、成 SCIENCE 将 7 7 个字母排成一列的一种排法看作基本领件，全部的排法：2 字母 C 在 7 7 个位置中占两个位置， 共有 C 7 种占法，字母 E 在余下的 5 5 个位 字母 I, N,C 剩下的3 3 个位置上全排列的方法 2 C 2P(A) C 3 C 10 (2 )设 B 最大号码为 P(B) 咅 20 5 则 .(1 1)教室里有 r 个学生，求他们的生日都不相同的概率； 房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率 (1 1)设 A 他们的生日都不相同’，贝 U p rP(A) 严; 365 r(2) 解 设 B 至少有两个人的生日在同一个月&rsq
9、uo; C 2 C 1 P 2 C 2 C 2 C 3 P 2 C1P(B) 12 4，则 41 ； 96 ；P ：41 P(B) 1 P(B) 112 4 96 .设一个人的生日在星期几是等可能的，求 期中的某两天，但不是都在同一天的概率 . . 解 设 A 生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天 C ； (2 62) 6 6 个人的生日都集中在一个星 ，则 P(A) 0.01107 . . 为什么 7 69 •将 C,C,E,E,I,N,S 等 7 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单 置中占两个位置，共有 Cs 种占法, 共 3 !种，故基本领件总数为 C；C 5 3
10、! 1260 ，而 A 中的基本领件只有一个， 两个 C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异 n 个元素，其中第一种元素有 m 个，其次种元素 P(A) 1 C 2C f 3! 1260 解 2 七个字母中有两个 E , 元素的全排列。一般地，设有有 n 2 个，第 k 种元素有 n k 个（n 1 L n k n），将这 n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 n! n 1! n 2!L 对于本题有 每堆各成一双’共有 n! 种状况，故 P(AU B) 解 P(AB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) 0.3 因为代 B 不相容，所以 A P(AU
11、 B) P(A) 0.6 13 •若 P(AB) P(AB) 且 P(A) P ，求 P(B) . .nJ 1 P（A JL 2!2! 10 •从 0,1,2 丄 ,9 等 10 个数字中，随意选出不同的三个数字，试求下列事 三个数字中不含 0 0 或 5 A 3 4 7! 1 1260 件的概率：A 三个数字中不含 0 0 和 5 5 , A 2三个数字中含 0 0 但不含 5 5. . 7 15.解 P(A) P(A 2 ) C 3G 3 0 C G 3 0 C ； 314 C i 3 0 C i 3 0 15’ P(A 2 ) 1 Pg c ；14 G 3
12、 015P(A 3 )C 8 27 G 3 。30 11•将 n 双大小各不相同的鞋子随机地分成 n 堆，每堆两只，求事务 解 n 双鞋子随机地分成 n 堆属分组问题, 不同的分法共 （ 2n ）!2!2! L 2!(2n)! (2!) P(A) 12 •设事务 A 与 B 互不相容, 2 nn! (2n)! P(A) 0.4, P(B) 0.3 ，求 P(AB) 与 B ，于是 解 P(AB) 1 P(AUB) 1 P(A) P(B) P(AB) 由 P(AB) P(AB) 得 P(B) 1 P(A) 1 p 14 .设事务 A, B 及 AU B 的概率分别为 p,q,
13、r ，求 P(AB) 及 P(AU B) 解 P(AB) P(A) P(B) P(AUB) p q r P(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) 1 P(B) P(A) P(AB) 1 q p q r 1 p r . . 15 •设 P(A) P(B) 0.7 ，且 A, B 仅发生一个的概率为，求 A,B 都发生 的概率。解 1 由题意有 0.5 P(AB AB) P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.7 2P(AB) ， 所以 P(AB) 0.1 . . 解 2 A, B 仅发生一个可表示为 AUB AB ，故 0.5 P(AU
14、B) P(AB) P(A) P(B) 2P(AB), 所以 P(AB) 0.1 . . 16 •设 P(A) 0.7, P(A B) 0.3, P(B A) 0.2 ，求 P(AB) 与 P(AB) . . 解 0.3 P(A B) P(A) P(AB) 0.7 P(AB) ， 所以 P(AB) 0.4 ，0.2 P(B) P(AB) P(B) 0.4 . .所以 P(B) 0.6P(AB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB) 0.1 17 •设 AB C ， 试证明 P(A) P(B) P(C) 1 证 因为 AB C ，所以 P(C) P(AB) P
15、(A) P(B) P(AU B) P(A) P(B) 1 故 P(AB) 0.6 ； P(A) P(B) P(C) 1 . . 18 .对随意三事务 A,B,C ，试证 P(AB) P(AC) P(BC) P(A) . . 证 P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(ABU AC) P A(BUC) P(A) . .证 毕 • 1 19 .设 A,B,C 是三个事务，且 P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(BC) 0 , 4 1 P(AC) ,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。8 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(A
16、C) P(BC) P(ABC) 1 2 1 2 a a 4 2证毕. . P(AUBUC) 因为 0 P(ABC) P(AB) 0 ,所以 P(ABC) 0 ，于是 20 P(AU B UC) •随机地向半圆 3 15 4 8 8 0 y . 2ax x 1 2( a 为正常数)内掷一点，点落在园 内任何区域的概率与区域的面积成正比, 求原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 设 A 原点与该点连线与 x 轴夹角小于 /4 /4 的概率. . 解：半圆域如图 由几何概率的定义 A 的面积 ( 丿 半园的面积 解 2 设三段长分别为 x, y, z ，则 0 x a, 0 y a, 0
17、z a 且 22 •随机地取两个正数 x 和 y ，这两个数中的每一个都不超过 y 之和不超过 1 1,积不小于的概率. . 解 0 x 1, 0 y 1 ，不等式确定平面域 S . .A x y 1, xy 0.09 充要条件为 0 x y 1, 1 等式确定了 S 的子域 A ，故 A 的面积 0.9 (1 S 的面积 o. 1 P(A) 0.4 0.181 n3 0.2 23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离 则 A 发生的 xy 0.09 不 0.9 x )dx x a(a 0) 的一些平行线，向平面 a ，不等式确定了三维空间上的有界平面域 A 发生 x y S . .
18、y z 不等式确定 S 的子域 A ，所以 A 的面积 P(A)S 的面积 1 1,试求 x 与上随机地投掷一根长 丨( 1 a) 的针，求针与任一平行线相交的概率 解 设 A 针与某平行线相交’，针落在平面上的状况不外乎图中的几种, 设 x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则 0 x a , 0 ，不等式确定了平面上 2 的一个区域 S . . A 发生 x L sin ，不等式确定 S 的子域 A 2 1 |_ 2L 故 P(A) sin d a 02 a 21 2 a 2 2 2y•把长为a 的棒随意折成三段，求它们可以构成三角形的概率 解 1 设 A 三段可构成三角形’，又三段的长分别为 x,y,a x y ， x y a ，不等式构成平面域 S . . A 发生 0 x , 0 y , 2 2 2 不等式确定 S 的子域A ，所以 A 的面积 1 P(A)S 的面积 4