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1、?概率论及数理统计?第一章 习题及答案习题1.1 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面，“两次出现同一面，“至少有一次出现正面。试写出样本空间及事件中的样本点。解：(正，正)，正，反，反，正，反，反(正，正)，正，反；正，正，反，反(正，正)，正，反，反，正2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数，“点数之和小于5”，“点数相等，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：1只订阅日报； 2只订日报和晚报；3只订一种报； 4正好订两种报；5至少订阅一种报； 6不订阅任
2、何报；7至多订阅一种报； 8三种报纸都订阅；9三种报纸不全订阅。解：1；2；3；4;5；6；7或8；94. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明以下事件所表示的结果：, , , , , .解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件满足，试把以下事件表示为一些互不相容的事件的和：，.解：如图：6. 假设事件满足，试问是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：，那么，但。7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。解：不一定成立。 例如：，那么，但是。8. 设，
3、试就以下三种情况分别求：1， 2， 3.解：1；2；3。9. ，求事件全不发生的概率。解：10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求以下事件的概率：“三个都是红灯=“全红； “全绿； “全黄； “无红； “无绿； “三次颜色一样； “颜色全不一样； “颜色不全一样。解：11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次，试求：（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：1；2；每次拿
4、一件，取后放回，拿3次：1；2；每次拿一件，取后不放回，拿3次：1；212. 从中任意选出3个不同的数字，试求以下事件的概率：解：或13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：14. 一个宿舍中住有6位同学，计算以下事件的概率：16人中至少有1人生日在10月份； 26人中恰有4人生日在10月份； 36人中恰有4人生日在同一月份；解：1；2；315. 从一副扑克牌52张任取3张不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色一样的概率。解：或习题1.21. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令“
5、取到的是等品， 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令 “两件中至少有一件不合格， “两件都不合格3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令 “系统有效 ， “系统有效那么1234. 设，证明事件及独立的充要条件是证：及独立，及也独立。 又 而
6、由题设即 ，故及独立。5. 设事件及相互独立，两个事件只有发生的概率及只有发生的概率都是，求和.解：，又及独立 即。6. 证明 假设0，0，那么有（1） 当及独立时，及相容；（2） 当及不相容时，及不独立。证明：1因为及独立，所以 ，及相容。2因为，而，及不独立。7. 事件相互独立，求证及也独立。证明：因为、相互独立，及独立。8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么令表示最多有一台机床需要工人照顾，那么9. 如果构成系统的每个元件能正
7、常工作的概率为，称为元件的可靠性，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n注：利用第7题的方法可以证明及时独立。解：令 “系统正常工作 “系统正常工作 “第个元件正常工作， 相互独立。那么10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购置1张，求（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；（2） 第二人中奖的概率。解：令“第个人中奖，(1) 或211. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：1某人经此检验法诊断患
8、有肝癌的概率；2某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令“被检验者患有肝癌， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌那么，12 12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算以下事件的概率：1取到的5件产品中恰有2件是优质品；2 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。解：令“5件中有件优质品，1213. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，那么认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： 1抽取的1件产
9、品为正品的概率； 2该箱产品通过验收的概率。解：令 “抽取一件产品为正品“箱中有件次品， “该箱产品通过验收1214. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器假设各台仪器的生产过程相互独立，求：1全部能出厂的概率；2其中恰有2件不能出厂的概率；3其中至少有2件不能出厂的概率。解：令 “仪器需进一步调试 ； “仪器能出厂 “仪器能直接出厂 ； “仪器经调试后能出厂显然，那么所以令“件中恰有件仪器能出厂，12315. 进展一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下
10、事件的概率：1直到第次才成功；2第次成功之前恰失败次；3在次中取得次成功；4直到第次才取得次成功。解：123416. 对飞机进展3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，假设被击中三次，那么飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令“恰有次击中飞机， “飞机被击落显然：而，所以习题1.3解答1. 设为随机变量，且(), 那么（1） 判断上面的式子是否为的概率分布；（2） 假设是，试求和.解：令1显然，且 所以为一概率分布。2为偶数 2.设随机变量X的概率分布为(), 且，求常
11、数.解：，而 ，即 3. 设一次试验成功的概率为，不断进展重复试验，直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数，求的概率分布。解：4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进展调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 1的概率分布； 2。解：125. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜想能答对至少4道题的概率是多少？解：因为学生靠猜想答对每道题的概率为，所以这是一个,的独立重复试验。 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经历每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相
12、互独立。 1假设由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； 2设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：1按(泊松)分布近似2按(泊松)分布近似 查表得7. 设随机变量服从参数为的Poisson(泊松)分布，且，求 1； 2.解： 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误及有两个印刷错误的页数一样，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解：，即 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Pois
13、son分布，而及时间间隔的起点无关时间以小时计，求 1某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 2某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为的Poisson(泊松)分布，而及时间间隔的起点无关时间以小时计. 求 1某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 2某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；解：1210. 的概率分布为：-2-101232a3a a a 2a试求1； 2的概率分布。解：1 。2 11. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图1.3.8所示. f (x)图1.3.
14、8 x t o 1 2 3 0.5试求:1的值； 2的概率密度； 3.解：1 2312. 设连续型随机变量的概率密度为试确定常数并求.解：令，即 ，即 13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数?解：令 即 即 14. 随机变量，其概率密度函数为试求；假设，求.解： , 假设，由正态分布的对称性可知 .15. 设连续型随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复试验中“出现的次数，试求概率.解： 。16. 设随机变量服从1,5上的均匀分布，试求. 如果 1； 2.解：的概率密度为12 17. 设顾客排队等待效劳的时间以分计服从的指数分布。某顾客等待效劳，假设超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待
15、效劳5次，以表示一个月内他未等到效劳而离开的次数，试求的概率分布和.解： 习题1.4解答 1. 随机变量的概率分布为，试求的分布函数；画出的曲线。解：；曲线：2. 设连续型随机变量的分布函数为试求:1的概率分布； 2.解：1 2 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求1的概率分布； 2 的分布函数。解：1 列成表格 2 4. 试求习题1.3中第11题的分布函数，并画出的曲线。解： 5. 设连续型随机变量的分布函数为试求:1的值； 2； 3概率密度函数.解：1 又23 6. 设为连续型随机变量，其分布函数为试
16、确定中的的值。解： 又 又 又 即 7. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和.解：即 8. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间单位：年，试求: 1证明服从指数分布并求出的分布函数； 2今后3年内再次发生地震的概率； 3今后3年到5年内再次发生地震的概率。解：1 当时， 当时， 服从指数分布23 9. 设，试计算1； 2；3； 4.解：12 3 4 10. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？解：而 又 即 ， 11. 设随机变量和均服从正态分布，而，试证明 .证明： . 12. 设随机变量服从a,b上的均匀分布，令，试求随机变量的密度函数。解：当时，当时，第 19 页