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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载复变函数复习重点 一 复数的概念1. 复数的概念：zxiy ,x y是实数 , xRez,yImz .i21. 注：一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小. 2. 复数的表示1）模：z x 2 y ；2）幅角 ：在 z 0 时,矢量与 x 轴正向的夹角,记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 , 中的幅角；3） arg z 与 arctan y x之间的关系如下：当 x 0, arg z arctan y x；y 0,arg z arctan y当 x 0, x；yy 0,arg z arctanx4
2、）三角表示 ：z z cos i sin,其中 arg z；注：中间肯定是“+”号；5）指数表示 ：zz e ,其中arg z； 二 复数的运算1. 加减法 ：如z 1x 1iy1,z 2x 2iy ,就z 1z 2x 1x 2i y 1y 22. 乘除法 ：名师归纳总结 1）如z 1x 1x 1iy1,z2x 2iy ,就y y 2iy x 2y x 1；第 1 页,共 30 页z z 1 2x x 1 2y y 12i x y 2 1x y ；z 1iy 1x 1iy 1x 2iy2x x 2z 2x 2iy2x 2iy2x 2iy22 x 22 y 22 x 2y2 22）如z 1i z
3、 e1,z 2z e , 就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z z 1 2i z z e 1 212；z 1z 1i e1学习必备欢迎下载2z 2z 23. 乘幂与方根1）n如z1zcos2isin z e ,就znkzncos nnisinnz e ；2）如zzcosisin z e ,就0,1,21（有 n 个相异的值）k2 kzzcosisinnnn（三）复变函数1复变函数：w f z ,在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D变到w平面上的一个点集 G的映射 .2复初等函数1）指数函数：e ze xcos y i sin y ,在 z 平
4、面到处可导,到处解析；且 e z e ；注：e 是以 2 i 为周期的周期函数； （留意与实函数不同）3）对数函数：Lnz ln z i arg z 2 k k 0, 1, 2 （多值函数） ；主值 ： ln z ln z i arg z；（单值函数）Lnz的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴的 z 平面内到处解析,且 lnz 1z；注：负复数也有对数存在；（与实函数不同）名师归纳总结 3）乘幂与幂函数：abebLnaa0；b zebLnzz01；第 2 页,共 30 页注：在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且zbbzb4）三角函数：sinzeizeiz,cosziz eeiz
5、, tgzsinz,ctgzcosz2 i2coszsinzsin ,cosz在 z 平面内解析,且sinzcos , coszsinz注：有界性sinz1, cosz1不再成立；（与实函数不同）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载z z z z4）双曲函数 shz e e , chz e e；2 2shz 奇 函 数 , c h z是 偶 函 数 ；s h z c h z 在 z 平 面 内 解 析 , 且s h z c h z c h z；s h z（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导：f z = lim z 0 f z
6、0 zz f z 0；2）区域可导 ：f z 在区域内点点可导；2解析函数的概念1）点解析：fz 在0z 及其0z 的邻域内可导,称ffz 在z 点解析；2）区域解析：fz 在区域内每一点解析,称z 在区域内解析；3）如f z 在0z 点不解析,称0z 为 fz 的奇点；3解析函数的运算法就：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件名师归纳总结 1函数可导的充要条件：fzu x yiv x y 在 zxiy 可导第 3 页,共 30 页u x y 和v x y 在,x y 可 微 , 且 在,x y处 满 足 CR
7、条 件 ：uv ,yuvxyx此时,有fzuiv x；x2函数解析的充要条件：fzu x yiv x y 在区域内解析u x y 和v x y 在x y 在 D 内 可 微 , 且 满 足 CR 条 件 ：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - uv,u学习必备欢迎下载就u x y,v x yv x；xyy此时fzu xiv x；留意： 如u x y,v x y 在区域 D 具有一阶连续偏导数,在区域 D 内是可微的；因此在使用充要条件证明时,只要能说明u v具有一阶连续偏导且满意CR条件时,函数f z uiv 肯定是可导或解析的；3函数可导与解析的判别方法
8、1）利用定义（题目要求用定义,如其次章习题 1）2）利用充要条件（函数以 f z u x y iv x y 形式给出,如其次章习题 2）3）利用可导或解析函数的四就运算定理；（函数 fz 是以 z的形式给出,如其次章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：cfz dzlim nn1fkz ,c 是光滑曲线；k注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分；2复变函数积分的性质c 2fz dz ；1）cfz dzc1fz dz（c 与c 的方向相反） ；2）cfzg z dzcfz dzcg z dz , ,是常数；3） 如曲线 c 由1c与c 连接而成,就cfz dzc 1fz
9、dz3复变函数积分的一般运算法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）化为线积分：cfz dzc学习必备欢迎下载udy；（常用于理论证明）udxvdyicvdx2）参数方法：设曲线c ：zz tt,其中对应曲线c 的起点,对应曲线 c 的终点,就cfz dzf z tz t dt ；（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设 fz 在单连域B 内解析, c为 B内任一闭曲线,就fz dz0c2复合闭路定理 ：设 f z 在多连域 D 内解析, c 为 D 内任意一条简洁闭曲线,c c 2 , c 是
10、 c 内的简洁闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以 c c 2 , c 为边界的区域全含于 D 内,就n f z dz f z dz , 其中 c 与 c 均取正向；c k 1 c k f z dz 0,其中 由 c 及 c 1 k 1,2, n 所组成的复合闭路；3闭路变形原理： 一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分,不因 c 在 D 内作连续变形而转变它的值,只要在变形过程中 c 不经过使 f z 不解析的奇点；4解析函数沿非闭曲线的积分： 设 f z 在单连域 B 内解析, G zz 2为 f z 在 B 内的一个原函数, 就 z 1 f z dz G z 2 G
11、z 1 z z 1 2 B 说明：解析函数 f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,运算时只要求出原函数即可；5； 柯西积分公式：设 fz 在区域 D 内解析,c 为 D 内任一正向简单 闭 曲 线 , c 的 内 部 完 全 属 于 D ,cfz dz z 02ifz 0z0z 为c 内 任 意 一 点 , 就名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6高阶导数公式：学习必备欢迎下载n 阶解析函数fz 的导数仍为解析函数,它的导数为fz1dz2ifnz 0n1,2czz 0n n .其中 c 为 fz 的解析区域D 内环
12、绕0z 的任何一条正向简洁闭曲线,而且它的内部完全属于D ；7重要结论：cz1n1dz2i,n0； （ c 是包含 a 的任意正向简洁闭曲a 0,n0线）8复变函数积分的运算方法名师归纳总结 1 ） 如fz在 区 域D 内 处 处 不 解 析 , 用 一 般 积 分 法第 6 页,共 30 页cfz dzf z tz t dt2）设 fz 在区域 D 内解析,c是 D 内一条正向简洁闭曲线,就由柯西古萨定理,cfz dz0c是 D 内的一条非闭曲线,z z 对应曲线c 的起点和终点,就有cfz dzz 2fz dzF z 2F z 1z 13）设 fz 在区域 D 内不解析曲线c 内仅有一个奇
13、点：cfz dz z 012i fz 0fnz 0（f z 在 c 内解析）zczfzdz2iz 0nn .曲线 c 内有多于一个奇点：fz dznfz dz（ic 内只有一个奇ck1c k点kz ）或：fz dz2inRe s f z z （留数基本定理）ck1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如被积函数不能表示成学习必备1欢迎下载fz,就须改用第五章留数定理来计zz on 算；（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念： 如二元实函数2 2且满意 2 2 0,x y , x y 为 D 内的调和函数；2解析函数与调和函数的关系 , x y 在
14、D 内有二阶连续偏导数解析函数fzuiv的实部 u 与虚部 v都是调和函数,并称虚部v为实部 u 的共轭调和函数；名师归纳总结 两个调和函数u 与 v 构成的函数f z uiv 不肯定是解析函数；但第 7 页,共 30 页是如u v 假如满意柯西黎曼方程,就uiv 肯定是解析函数；3已知解析函数fz 的实部或虚部, 求解析函数fzuiv 的方法；1）偏微分法：如已知实部uu x y ,利用 CR条件,得v,v y；x对vu x两边积分,得vudyg x（* ）yx再对（ * ）式两边对x 求偏导,得vxudy xgx（* ）x由 CR条件,uv x,得uxudy xgx,可求出g x ；yy代
15、入（ * ）式,可求得虚部vudyg x；x2 ） 线 积 分 法 ： 如 已 知 实 部uu x y , 利 用 CR 条 件 可 得dvvdxvdyudxudy,xyyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故虚部为vx yudxudy学习必备欢迎下载c；x 0,y 0yx由于该积分与路径无关,可选取简洁路径（如折线）运算它,其中 x 0 , y 与 ,x y 是解析区域中的两点；3）不定积分法：如已知实部 u u x y ,依据解析函数的导数公式和 C R条件得知,u v u uf z i ix y x y将此式右端表示成 z 的函数 U z ,由于
16、 f z 仍为解析函数,故f z U z dz c（ c为实常数）注：如已知虚部 v也可用类似方法求出实部 u .（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列 nanib （n1,2an）收敛于复数abi 的充要条件为2）复数列 n 收敛lim nb nb（同时成立）lim na na ,实数列 ,b 同时收敛；2复数项级数1）复数项级数n0nnanibn收敛的充要条件是级数n0a 与n0b 同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim nn0；注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论；（十）幂级数的敛散性名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页精选学习
17、资料 - - - - - - - - - 1幂级数的概念 ：表达式n学习必备欢迎下载n0c z 为幂级数；cnzz 0n或02幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理Abel ：假如幂级数c z 在z 00处收敛,那么对满意zn0z 的一切 z,该级数肯定收敛；如 z 的一切 z ,级数必发散；果在0z 处发散,那么对满意z2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内,肯定收敛；圆周上可能收敛；也可能发散；在圆域外, 发散； 在收敛圆的3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径；n0c z ）比值法假如lim nc n10,就收敛半径R1；c n根值法lim ncn0,就收敛半径R1；假如0,
18、就 R；说明在整个复平面上到处收敛；假如,就R0；说明仅在zz 或z0点收敛；注：如幂级数有缺项时, 不能直接套用公式求收敛半径； （如3幂级数的性质名师归纳总结 1 ） 代 数 性 质 ： 设na zn,0b z 的 收 敛 半 径 分 别 为R 与R , 记第 9 页,共 30 页0nRminR R ,b zn（线性运算）就当 zR时,有anb nzna znn0n0n0a b nzn（乘积运算）a znb zna b 0a n1 1 bn0n0n0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2）复合性质 ：设当 r 时,f a n n,当
19、 z R时,g z 解析n 0且 g z r ,就当 z R时,f g z a g z n；n 03）分析运算性质 ：设幂级数 a z 的收敛半径为 R 0,就n 0其和函数 f z a z 是收敛圆内的解析函数；n 0在收敛圆 内可 逐项求导,收 敛半径不 变； 且 f z na z n 1n 0z R在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变；0 zf z dzn 0 n a n1 z n 1z R（十一）幂函数的泰勒绽开1. 泰勒绽开： 设函数fz 在圆域nzz 0zR内解析,就在此圆域内fz 可以绽开成幂级数fzfn .z 0z 0n；并且此绽开式是唯n0一的；名师归纳总结 注：如fz 在0z
20、 解析,就fz 在z 的泰勒绽开式成立的圆域的收敛第 10 页,共 30 页半径Rz 0a ；其中 R 为从0z 到 fz 的距0z 最近一个奇点a 之间的距离；2常用函数在z 00的泰勒绽开式1）ezn01zn1zz23 zn zzn.2.3.n.2）11zn0zn1zz2znz1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3）sinzn0n 12 zn1zz3学习必备欢迎下载z2n1zz5 zn 12n1.3.5.2n1.4）coszn0n 1z2n1z24 z 1nz2n2 .2.4.2 .3解析函数绽开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出cn1fnz 0
21、,于是fzn0c nzz0n；n.2）间接法：利用已知函数的泰勒绽开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数绽开；（十二）幂函数的洛朗绽开1. 洛朗级数的概念：cnzz 0n, 含正幂项和负幂项；n 2 洛朗绽开定理：设函数fz 在圆环域R 1zz 0R 内到处解析,c为圆环域内绕z 的任意一条正向简洁闭曲线,就在此在圆环域内,有fzc nzz 0n,且绽开式唯独；n3解析函数的洛朗绽开法：洛朗级数一般只能用间接法绽开；*4 利用洛朗级数求围线积分：设 f z 在 r z z 0 R内解析,c 为r z z 0 R内的任何一条正向简洁闭曲线,就 cf z dz 2 ic
22、；其中c 为 f z 在 r z z 0 R内洛朗绽开式中z 1z的系数；说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗绽开式中 z z 0 1的系数；（十三）孤立奇点的概念与分类1； 孤立奇点的定义： fz 在0z 点不解析 , 但在0z 的0zz 0内解析；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2；孤立奇点的类型：1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含 z z 0 的 负 幂 项 ；2f z 0 c 1 c z 0 z 2 c 0 z z2）极点：绽开式中含有限项 z z 的负幂项；f z
23、z cz m0 m z c z m0 1m 1 z c 1z 0 c 0 c z z 0 c 2 z z 0 2 z g zz 0 m ,其中 g z c m c m 1 z z 0 c 1 z z 0 m 1c 0 z z 0 m在 0z 解析,且 g z 0 0, m 1, c m 0；3）本性奇点：绽开式中含无穷多项 z z 的负幂项；f z c mm c 1 c 0 c z z 0 c m z z 0 m z z 0 z z 0 （十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点：z lim zf 0zc 常数；2极点：lim z zf 0zz 不存在且不为3本性奇点：lim z zf 04零点与极
24、点的关系1） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的 解 析 函 数 ffzzz 0mz ,z , 如 果 能 表 示 成其中z 在z 解析,z 00,m为正整数,称z 为 fz 的 m 级零点；2）零点级数判别的充要条件0z 是fz 的 m级零点fnz 00,n1,2,m1f1 z的 m 级极点；fmz 003）零点与极点的关系：0z 是fz 的 m级零点z 是4）重要结论名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 za 分别是z 与学习必备欢迎下载m n , z 的m 级与n 级零点,就za 是zz 的 mn级
25、零点；当mn 时, za 是z z的 mn 级零点；当 mn 时, za 是z z的 nm级极点；当 mn 时, za 是z z的可去奇点；当 mn时, za 是zz 的 l 级零点,lminlm n 当 mn 时, za 是zz 的 l 级零点,其中（十五）留数的概念 1 留数的定义：设 0z 为f z 的孤立奇点,f z 在 z 的去心邻域0 z z 0 内解析,c 为该域内包含 0z 的任一正向简洁闭曲线,就称积 分2 1i cf z d z 为 f z 在 0z 的 留 数 （ 或 残 留 ）, 记 作1Re s f z , z 0 2 i cf z dz2留数的运算方法如0z 是fz
26、 的孤立奇点, 就Re s fz,z 0c ,其中c 为 f0z 在0z 的去心邻域内洛朗绽开式中zz 01的系数；01）可去奇点处的留数：如0z 是 fz 的可去奇点,就Re s fz,z2） m 级极点处的留数名师归纳总结 法就 I如0z 是fz 的 m 级极点,就Re s fz,z 0lim z z 0zz 0fz第 13 页,共 30 页Re s fz,z 0m11.lim z z 0dm1zz 0mfzdzm1特殊地,如0z 是fz 的一级极点,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载注： 假如极点的实际级数比m低,上述规章仍旧
27、有效；法就 II 设fzP z Q z,P z,Q z 在0z 解析,P z 00,Q z 00,Q z 00,就Re P z,z 0P z 0Q zQz 0（十六）留数基本定理为f设 fz 在区域D 内除有限个孤立奇点z z 2,z 外到处解析,cD 内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 , 就cz dz2iRe s fz,z nn1说明： 留数定理把求沿简洁闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 f z 在 c 内各孤立奇点处留数的局部问题；留意：当在 c 内的起点较多时,采纳无穷点处的留数进行转换；无穷点留数的定义及运算方法需要把握；积分变换复习提纲一、傅里叶变换
28、的概念F f t f t ej wtdtF w f t F1F 1F ejtd2二、几个常用函数的傅里叶变换名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - F et1j0学习必备欢迎下载F u t 1 j0F 1 F12Fcosw tFsinw tj 00F et222三、傅里叶变换的性质位移性（时域）：F f tt0ejwt0F f t F ww 0F0）,位移性（频域）：F e j w t 0f t F w w w w 0位移性推论：Fsinw t f t F ww01F ww 02j位移性推论：Fcosw t f t 0
29、 1F ww 0F ww 02微分性（时域）：F f jw F w（t,f t Ffn jwnF w ,t,fn1 0nw 微分性（频域）：Fjt f tjtnf t Fw,F相像性：F f at1Fwa0 aa四、拉普拉斯变换的概念L f t 0f t estdtF s 五、几个常用函数的拉普拉斯变换名师归纳总结 kt L es1k；m .m是自然数 ；（1 1, 12, m1m m ）第 15 页,共 30 页L tmm1m s1m s1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - L u t L11 s；学习必备欢迎下载；（f t 是以 T 为周期的周期函L
30、 1sT 0f t dt2 skk2,L cosktL sinkt2 sk2L shkt s 2kk2,L chkt ss 2k21设f tTf t ,就L f t 1eTs数）六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域）：L ftsF sf0 , L f 2 s F s sf0f0微分性（频域 ）： L tftF s,L tnf tF s积分性（时域 ）：Ltf t dtFs0s0,f t 0）积分性（频域 ）：LfttsFs ds（收敛）位移性（时域 ）： L e atf tF sa位移性（频域 ）： L f tesF s （0,t相像性：L f at1F saa0 a七、卷积及卷积定理f t *
31、f2 f1 f2tdF f1 f2 F wF2wF f t 1 f2 1F w 1 F 2 2L f t f2 F s F 2 八、几个积分公式名师归纳总结 f t t dt0f00第 16 页,共 30 页f t ttdtf t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0f t dt tdt0L f t ds0学习必备欢迎下载F s ds16 0f t ektL f t s k模拟试卷一一.填空题1. 1i7. . 1i2. I=czezsinzdz ,其中c 为za0 的正向,就 I= 3. tan1能否在0zR内展成 Lraurent 级数？z4其中 c 为z2的正向：cz2sin1dz= z5. 已知Fsin,就ft= 二.挑选题名师归纳总结 1.fzzRez在何处解析1. D无第 17 页,共 30 页A 0 B1 C2 2.沿正向圆周的积分 . z2sinz dz1= D以上都不对 . z2A2isin 1. B 0. Cisin3n4n z1n的收敛域为z12. D无法确定A . 1z14. B1z2eC 144. 设z=a是fz的m级 极 点 , 就fz在 点z=a的 留 数fz- - - - - - -