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1、-_习题 13 13-3如习题 13-3 图所示，把一块原来不带电的金属板 B 移近一块已带有正电荷 Q 的金 属板 A，平行放置。设两板面积都是 S，板间距为 d，忽略边缘效应，求：(1)板 B 不接地 时，两板间的电势差。(2)板 B 接地时，两板间的电势差。 解 (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符 号相同，因此当板 B 不接地，电荷分布为因而板间电场强度为 SQE02电势差为 SQdEdU0AB2(2) 板 B 接地时，在 B 板上感应出负电荷，电荷分布为故板间电场强度为 SQE0电势差为 SQdEdU0ABBA-Q/2Q/2Q/2Q/2AB-Q0
2、Q0-_13-4 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为0的等量异号 电荷，这时两板间电压为 U0=300V。保持两板上电量不变，将板间空间一半如图习题 13-4 图所示充以相对电容率为r=5 的电介质，试求 （1） 金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E,D 和板上的自由电荷密度； （2） 金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷面密度多大？13-5如习题 13-5 图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面 A、B 和 C，半径分别为 RA、RB、RC。圆柱面 B 上带电荷，A 和 C 都接地。求 B 的内表面上线电荷密度1和外表面上线电荷密度2之比值 1/2。解 由 A
3、、C 接地 BCBAUU由高斯定理知 rE01 I2rE02 II2AB0101 IBAln2d2dABABRRrrURRRR rEIII-_BC0202 IIBCln2d2dCBCBRRrrURRRR rEBC02AB01ln2ln2RR RR 因此 ABBC 21ln:ln:RR RR13-6如习题 13-6 图所示，一厚度为 d 的无限大均匀带 电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。试求离左表 面的距离为 a 的点与离右表面的距离为 b 的点之间的电势 差。解 导体板内场强，由高斯定理可得板外场强0内E为02E故 A、B 两点间电势差为abxxxUbdadadaaaBA0000AB2d
4、2d0d2d lE13-7为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一 电容器的距离为 2.0cm 的两平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之 后，两板间的电势差减小到原来的 60，求电介质的相对电容率。解 设两平行板间距离为 d，介质板厚度为，插入前电容器电势差为 U，插入后为d，电容器上面电荷密度为U插入介质板前电容器内场强，电势差0E0dEdU插入介质板后，电容器内空气中场强仍为 E，介质内场强r0E两板间的电势差r00 ddddEddEU已知，因此有U.U600r00060. 0 dddd解此方程得BA-_1 . 20 . 240. 0
5、5 . 1 5 . 14 . 0rddd13-8半径都是 R 的两根无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为和，两直 导线平行放置，相距为 d(dR)。试求该导体组单位长度的电容。 解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点 P 的场强。 如图所示，过 P 分别做两个长为 L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根 据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。llrLE00111d12dS所以 rE012同理 rdE022根据叠加原理，P 点总场强为 rdrEEE11 21021两条线间电压为RRdrrdrURdRRdR lnd11 2d00 lE故单位长度电容RRdUC ln0
6、13-9一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 R1=2cm，R2 =5cm，其间充满相对电容率为r的各向同性均匀电介质，电容器接在 U=32V 的电源上(如 习题 13-9 图所示)。试求距离轴线 R=3.5cm 的点 A 处的电场强度和点 A 与外筒间的电势差。解 由 QSD dLLrD2因此 rD 2rEr0212r0ln2d3221RRrEURRRrPdR-_因此 12r0ln2RRU所以 1-12r012r0r0Am998 ln21ln21 2 VRRRU R RRU RE 1-m998 VrAeE=12.5 V222ddARRRRRrErEU13-10置于球心的点
7、电荷+Q 被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质， 相对电容率为r，球壳的尺寸如习题 13-10 图所示。试求以下各量与场点矢径 r 的关系：(1)电 位移 D；(2)电电场强度度 E；(3)极化强度 P；(4)束缚电荷激发的电电场强度度 E；(5)面 电荷密度；(6)电能密度e。解 (1) 由有介质的高斯定理 QSDd1 drcdrcrrQ042内 内reD(2) 由静电场的性能方程 得EDr0 drcbrarQcrbarrQ0442 r02 0rreeE内 内(3) 由 得P1r0 brarbrarQ内 内0412 rr reP(4) 在电介质内 EEE0所以reEEE 11 4
8、r2 00rQ在其它位置0 E-_(5) 由束缚电荷 ，在电介质中2112nPP2 rr 2a41aQP2 rr 1b41bQP在导体中，自由电荷 nD2cc4 cQD2dd4 dQD(6) 由 得DEw21 drcbrarQdrcrbarrQ032324 r0224 022e内 内内 内13-11一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开。试求 把两个极板间距增大至 n 倍时外力所作的功。解 断开电源后 Q 不变，电容由原来的，变为dSC0ndSC0外力所做的功即相当于系统静电能的改变量2 21CUW 2 21UCW由于 Q 不变，所以CnCnUU 因此22 21
9、UnCW121 21222nCUCnCUWWW即外力做功1212nCUA13-12球形电容器由半径为 R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为 R2，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为 r，内外层电介质的相对电容率分别为r1 和r2。已知内球带电量为-Q，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度；(2)电容器的静电面aP2n2112面bP1n2112-_能和电场总能量。解 (1) r 1Rr24 rQD2 r1014rQEr r2R24 rQD2 r2024rQE时，1Rr 2 1r11 2 1r10r10r1012112R41 411 1RQ RQEPr nPP时，rr 2r201r10122112r11EEPP nPP 2 r1r2r1r2 2 r20r20 2 r10r10 441 41 rQ rQ rQ 时，2Rr 2 222 2 2202022022112R41 411 2RQ RQEPrrrrr nPP(2) DEw21rrrQrrrQVDEWRrrRe d41621d41621d212 4 r2022 2 4 r1022 21 rRRrRRRrRQ RrQ rRQ21r2r121r112r2022r2021r102811 811 8