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1、习题15 15-3 求习题15-3各图中点P处磁感应强度的大小和方向。习题15-3图I12PrrI (a)I1a2IIa (b) (c)PP解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：对于导线1：，因此对于导线2：，因此方向垂直纸面向外。(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：对于导线1：，因此，方向垂直纸面向内。对于导线2：，因此，方向垂直纸面向内。半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即，方向垂直纸面向内。所以，方向垂直纸面向内。(c) P点到三角形每条边的距离都是，每条边上的电流在P点产生
2、的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是故P点总的磁感应强度大小为方向垂直纸面向内。15-4 在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕的平面线圈，通有电流I，方向如习题15-4图所示。求中心O处的磁感应强度。 解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为n 建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的圆环，其等效电流为:方向垂直纸面向外。15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0102m如习题15-5图所示。求轴线上一点的磁感应强度。解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微
3、元dl则则在O点所产生的磁场为又因，所以，半圆筒对O点产生的磁场为：根据对称性，所以只有方向分量，即，沿的负方向。15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如习题15-6图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为 证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，习题15-6图所以 15-7长直导线与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb沿半径方向与圆环接于点b，如习题15-7图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。(1)求圆环中心点O的B；(2)B沿闭合路径L的环流等于什么?解 (1)其中: ,故与大小相等,方向相反,所以
4、因而,方向垂直纸面向外.(2)由安培环路定理,有:习题15-8图OI1I2X4545Y15-8如习题15-8图所示，半径为R的1/4圆弧线圈通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。解：在I2上任取以电流元I2dl，与x轴的夹角为q，则电流元所受到的磁力为：方向沿O点与电流元的连线。根据对称性可知，Fy=0因此所受的磁力为，沿x轴的正方向。15-9磁场中某点处的磁感应强度，一电子以速度通过该点。求作用在该电子上的磁场力。 解 由洛仑兹力公式,有15-10在一个圆柱磁铁N极正上方，水平放置一半径为R的导线圆环，如习题15-1
5、0图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁感应强度B的方向都与竖直方向成a角。求导线环受的磁场力。解 圆环上每个电流元受力为将分解为z分量和径向分量：，所以 对于圆环圆环所受合力为，方向沿z轴正向。15-11如习题15-11图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b，导体内通有电流I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(arb)任意一点p处的磁感应强度由下式给出 解 作图示的安培环路有因为导体电流在横截面上均匀分布，所以即 所以 15-12一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀磁场中，如习题15-12图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力
6、的大小(已知线圈法线方向与B的方向相同)。解 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:，半圆所受到的磁力F等效于长为2R的载流直导线，在磁场中受力：15-13厚为2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间磁感应强度的分布。解 建立如图所示的坐标系对板内，取安培环路abcd则 所以 对板外,取安培环路,则有: 即 所以方向：在平板对称面的左则沿竖直向上，在对称面的右侧沿竖直向下。15-14一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I，作一宽为 R长为l的假想平面S，如习题15-14图所示。若假想平面S可在导体直径和轴OO所确定的平面内离开OO轴移动至远处，试求当
7、通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。解 rR时： 即rR时： 即当假想平面的内边界离轴x时令 a (舍)对求二阶导数 ，说明载流平面的磁场的方向与所放入的均匀磁场的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则由此二式解得 ， 在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl的条形面积，面积dS=hdl，面积上电流dI=jdl，此电流受到的磁力大小为载流平面单位面积所受磁力大小为方向为垂直于平面向左。15-16电流为I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面，如习题15-16图所示。求：(1)载流线圈所受到的
8、总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。 解 ab边到长直导线的距离为d，电流在ab边上的磁场为方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为方向向左。在ac边上任取一,设到的距离为，则在处产生的磁场为， 受到的磁力，又因为所以，所以，方向如图所示。同理，可求得，方向如图所示。则线圈受到的合力为：，因此线圈所受的磁场力大小为，方向沿x轴负向。（2）因为 的方向垂直直面向外所以又因为，所以，所以15-17半径为a、线电荷密度为l (常量)的半圆，以角速度w绕轴OO匀速旋转，如习题15-17图所示。求：(1)在点O产生的磁感应强度B；(2)旋转的带电半圆的磁矩。
9、 解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量旋转后形成电流元由圆环得 方向向上（2）因为， ，方向向上。15-18有一均匀带电细直棒AB，长为b，线电荷密度为l。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度w转动，转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变，如习题15-18图所示。求：(1)点O的磁感应强度；(2)转动棒的磁矩； (3)若ab，再求和。解 (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元,等效电流为：它在O点的磁感应强度（，方向垂直纸面向里）(2)（，方向垂直纸面向里）(3)若ab，则有： ，与带电粒子情况相同Br与点电荷的磁矩相同（，方向垂直纸面向里）15-19.
10、一平面圆盘，半径为R，表面面电荷密度为s。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为w，匀强磁场B的方向与转轴的夹角为q，试求圆盘所受的力矩。解：在半径为r处取宽度为dr的圆环，其等效电流为：其磁矩为15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a(R2a+ R12 R1)，如习题15-20图所示。电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为，其上电流密度为的实心导体，与半径为的，电流密度为-j的实心导体所构成的。设j沿z轴正方向，根据安培环路定理，半径为电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为0，而半径为电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为，垂直于轴线向外由环路定理：所以，方向垂直于轴线向里。