两角和与差的正切.docx

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1、两角和与差的正切两角和与差的余弦 第三章三角恒等变换【学习导航】1本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简洁的恒等变换。2三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值改变的规律，是探讨三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理实力和运算实力。3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的爱好，

2、体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的积累。 学问结构 学习要求1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.运用上述公式进行简洁的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特别的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决详细问题；2

3、、应用公式，求三角函数值.3培育探究和创新的实力和意识.【自学评价】1探究反例：问题：的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2探究：在坐标系中、角构造+角3探究：作单位圆，构造全等三角形4探究：写出4个点的坐标，5计算，=6探究由=导出公式绽开并整理得所以可记为7探究特征熟识公式的结构和特点；此公式对随意、都适用公式记号8探究cos()的公式以代得：公式记号【精典范例】例1计算cos105cos15coscossinsin【解】例2已知sin=，cos=求cos()的值.【解】 例3已知cos(2-)=-,sin(-2)=,且,0,求cos

4、(+)的值。分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范围，分别求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。【解】 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3） 在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？肯定要依据题目的条件与结论来变，简洁地说就是“据果变形”，创建出访用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,【追踪训练】：1sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。 2求cos75的值 3计算：cos65cos115cos25sin115 4

5、计算：cos70cos20+sin110sin20 5已知锐角,满意cos=cos(+)=求cos. 6已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值. 【选修延长】例5已知，是第三象限角，求的值. 例6，且，求的值. 【追踪训练】：学生质疑老师释疑1满意的一组的值是（）A.B.C.D. 2若，则的值为（）A.0B.1C.D.13已知cos=35,（32，2），则cos（3）=。4化简：=。5利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）（2）（3）（4） 两角和与差的正弦 第2课时【学习要求】1驾驭两角和与差的正弦公式及其推导方法。2通过公式的推导，了解它们的内在联系，

6、培育逻辑推理实力。并运用进行简洁的三角函数式的化简、求值和恒等变形。3驾驭诱导公式重点难点重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式难点：进行简洁的三角函数式的化简、求值和恒等变形【自学评价】1两角和的正弦公式的推导sin(+)=cos(+)=cos()=cos()cos+sin()sin=sincos+cossin即：以代得：2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。【精典范例】例1求值【解】例2：已知，求的值. 例3已知sin(+)=,sin()=求的值.【解】 例4（1）已知，求tan:tan的值.【解】 思维点拔：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，

7、并运用进行简洁的三角函数式的化简、求值和恒等变形。【追踪训练一】：1.在ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（）（A）（B）（C）（D）2.已知，求sin(+)的值.3.已知sin+sin=，求cos+cos的范围.4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.4已知sin+sin=cos+cos=求cos()【解】 【选修延长】例5化简.【解】 思维点拔：我们得到一组有用的公式：sincossincos(2)sincos2sin2cos(3)asinbcossin（）cos（）【追踪训练二】：1化简2求证：cosx+sinx=cos(x).3.求证：cosa+sina2si

8、n(+a). 学生质疑老师释疑4.已知，求函数的值域.5.求的值. 两角和与差的余弦公式学案 两角和与差的余弦公式学案 【学习目标】1.了解两角差的余弦公式的产生背景；2.熟识用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，通过对比，体会向量法的优越性；3.把握两角和与差的余弦公式的结构特点，熟记公式，并能敏捷运用.【重点难点】用向量的数量积推导两角差的余弦公式【预习指导】1.左图是我校桅杆标记，你有什么方法可以知道其高度：（1）；（2）； （3）假如有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明 （4）桅杆底部外侧正在施工，有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明2.阅读课本P124_126,想想学好这

9、节课该做好哪些学问打算：（1）如何在单位圆中定义三角函数？如何用角表示终边上点的坐标？（2）三角函数线的意义？（3）向量的夹角的定义及求法？（4）向量的投影的定义？回顾一下我们是如何用投影证明向量的数量积的安排律？【典型例题】例1.利用两角和与差的余弦公式求.变式：利用两角和与差的余弦公式推导下列诱导公式 例2.已知是第四象限的角，求的值. 变式：已知是其次象限角，求的值. 例3.已知均为锐角，且，求的值. 变式： 【当堂检测】1.求值： 23.化简 4.已知是锐角求【课下拓展】1.已知均为锐角，求的值.2.已知中，求的值.【思索】你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式吗？ 高考数学（理

10、科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟识公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1(1)两角和与差的余弦cos()_，cos()_.(2)两角和与差的正弦sin()_，sin()_.(3)两角和与差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k2，kZ)其变形为：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)2协助角公式asinbcosa2b

11、2sin()，其中cos，sin，tanba，角称为协助角自我检测1(2022福建)计算sin43cos13cos43sin13的结果等于()A.12B.33C.22D.322已知cos6sin435，则sin76的值是()A235B.235C45D.453函数f(x)sin2xcos2x的最小正周期是()A.2BC2D44(2022台州月考)设02，若sin3cos，则的取值范围是()A.3，2B.3，C.3，43D.3，325(2022广州模拟)已知向量a(sinx，cosx)，向量b(1，3)，则|ab|的最大值为()A1B.3C3D9探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求

12、值：(1)2sin50sin10(13tan10)2sin280；(2)sin(75)cos(45)3cos(15) 变式迁移1求值：(1)2cos10sin20sin70；(2)tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6) 探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知0434，cos435，sin34513，求sin()的值 变式迁移2(2022广州模拟)已知tan42，tan12.(1)求tan的值；(2)求sin2sincos2sinsincos的值 探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3已知02，tan212，cos()210

13、.(1)求sin的值；(2)求的值 变式迁移3(2022岳阳模拟)若sinA55，sinB1010，且A、B均为钝角，求AB的值 转化与化归思想的应用例(12分)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|255.(1)求cos()的值；(2)若202，且sin513，求sin的值【答题模板】解(1)|ab|255，a22abb245.2分又a(cos，sin)，b(cos，sin)，a2b21，abcoscossinsincos()，4分故cos()a2b2452245235.6分(2)202，0.cos()35，sin()45.8分又sin513，20，cos1213.9分

14、故sinsin()sin()coscos()sin451213355133365.12分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|ab|255，必需从这个等式动身，利用向量学问化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中须要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将变为().【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点1转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等2变换则必需熟识公式分清和驾驭哪些公式会实现哪种变换，也

15、要驾驭各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量削减名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2022佛山模拟)已知sin3sin435，则cos23等于()A45B35C.35D.452已知cos6sin233，则sin76的值是()A233B.233C23D.233(2022宁波月考)已知向量asin6，1，b(4,4cos3)，若ab，则sin43等于()A34B14C.34D.144函数ysinxcosx图象的一条对称

16、轴方程是()Ax54Bx34Cx4Dx25在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C的大小为()A.6B.56C.6或56D.3或23题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2022重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则cos13cos233sin13sin233_.7设sin352，tan()12，则tan()_.8(2022惠州月考)已知tan、tan是方程x233x40的两根，且、2，2，则tan()_，的值为_三、解答题(共38分

17、)9(12分)(1)已知0，2，2，且sin()3365，cos513.求sin；(2)已知，(0，)，且tan()12，tan17，求2的值 10(12分)(2022四川)(1)证明两角和的余弦公式C()：cos()coscossinsin；由C()推导两角和的正弦公式S()：sin()sincoscossin.（2）已知ABC的面积S=，ABAC3，且cosB35，求cosC. 11(14分)(2022济南模拟)设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，3sin2x)，xR.(1)若函数f(x)13，且x3，3，求x；(2)求函数yf(x)的单调增区间，并在给出的坐标

18、系中画出yf(x)在区间0，上的图象 答案自主梳理1(1)coscossinsincoscossinsin(2)sincoscossinsincoscossin(3)tantan1tantantantan1tantan2.aa2b2ba2b2自我检测1A2.C3.B4.C5.C课堂活动区例1解题导引在三角函数求值的问题中，要留意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特别角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把全部的切都转化为弦，或把全部的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满意三角函数的公式假如满意则干脆运用，假如不满意需转化一下角或转

19、换一下名称，就可以运用解(1)原式2sin50sin1013sin10cos102sin802sin50sin10cos103sin10cos102sin802sin502sin1012cos1032sin10cos102cos102sin502sin10sin40cos102cos102sin60cos102cos1022sin6022326.(2)原式sin(45)30cos(45)3cos(45)3032sin(45)12cos(45)cos(45)32cos(45)32sin(45)0.变式迁移1解(1)原式2cos3020sin20sin703cos20sin20sin20sin70

20、3cos20sin703.(2)原式tan(6)(6)1tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6)3.例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类探讨应留意公式的敏捷运用，驾驭其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧解cos4sin435，0434，24，3434.cos41sin2445，cos341sin2341213.sin()sin434sin4cos34cos4sin34351213455135665.sin()5665.变式迁移2解(1)由tan42，得1ta

21、n1tan2，即1tan22tan，tan13.(2)sin2sincos2sinsincossincoscossin2sincos2sinsincoscossinsinsincoscossincoscossinsinsincostan()tantan1tantan13121131217.例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好(2)解这类问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；

22、依据角的范围写出所求的角解(1)tan212，sinsin222sin2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan22212112245.(2)02，sin45，cos35.又02，0.由cos()210，得sin()7210.sinsin()sin()coscos()sin721035210452525022.由2得34.(或求cos22，得34)变式迁移3解A、B均为钝角且sinA55，sinB1010，cosA1sin2A25255，cosB1sin2B31031010.cos(AB)cosAcosBsinAsinB2553101055101022.又2A，2B，A

23、B2.由，知AB74.课后练习区1D2.D3.B4.A5.A6127.2118.3239解(1)2，cos513，sin1213.(2分)又02，2，232，又sin()3365，cos()1sin21336525665，(4分)sinsin()sin()coscos()sin33655135665121335.(6分)(2)tantan()tantan1tantan12171121713，(8分)tan(2)tan()tantan1tantan1312113121.(10分)，(0，)，tan131，tan170，04，2，20，234.(12分)10(1)证明如图，在直角坐标系xOy内作单

24、位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2；角的始边为OP2，终边交O于点P3；角的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，(2分)由|P1P3|P2P4|及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2，绽开并整理得：22cos()22(coscossinsin)，cos()coscossinsin.(4分)解由易得，cos2sin，sin2cos.sin()cos2cos2cos2cos()sin2sin()sincoscossin.

25、sin()sincoscossin.(7分)(2)解由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c.则S12bcsinA12，ABACbccosA30，A0，2，cosA3sinA，(9分)又sin2Acos2A1，sinA1010，cosA31010，由cosB35，得sinB45.cos(AB)cosAcosBsinAsinB1010.(11分)故cosCcos(AB)cos(AB)1010.(12分)11解(1)依题设得f(x)2cos2x3sin2x1cos2x3sin2x2sin2x61.由2sin2x6113，得sin2x632.(3分)3x3，22x656.2x63，即x4.(6分)(2)22k2x622k(kZ)，即3kx6k(kZ)，得函数单调增区间为3k，6k(kZ)(10分)列表：x06322356y2320102描点连线，得函数图象如图所示：(14分) 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页