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1、中考几何真题易错题题库(含参考答案)学校:姓名：班级：考号：一、解答题1.如图，抛物线y = -+ c与x轴交于点4点3,与歹轴交于点,抛物线的备用图(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点R使NAB尸= /BCO,如果存在，求出点尸坐标；如果不 存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，假设点尸在x轴上方，点是直线8尸上方抛物线上的一个动点， 求点M到直线BP的最大距离；(4)点G是线段/C上的动点，点，是线段上的动点，点Q是线段43上的动点， 三个动点都不与点4民。重合，连接GH,GQ,Q,得到GQ,直接写出G，Q周长 的最小值.【答案】 = -97 + 4；存在，p(_3$或P(
2、-5,-夕，理由见解析；(3) 手(4)国 5【解析】【分析】(1)利用抛物线的对称轴为X = -1,求出b的值，再把人的值和C的坐标代入+法+ c计算即可；作轴于点,利用相似三角形的判定方法可证得PEBsAgOC,设 pCn,-m2-/n + 4Y 那么PE =，相？加，BE = 2 m,再分别讨论P的位置列式求 、272解即可;irAfA Bf图3口在口的条件下，假设点A与A9的中点重合，A9=4, AB = 2,在整个旋转过程中， 当点夕与点M重合时，请直接写出线段的长.【答案】(1)见详解；(2)DAC=QBM, BPC=45； DAzC=73BM, BPC = 30；匚1+叵.3【解
3、析】【分析】(1)证明DADD，匚BAB，(SAS)可得结论；(2) 口证明匚八人9口口乂人8,可得结论；口证明方法类似口，即证明口人人匕口口1人8即可得出结论；口求出AC,利用口中结论计算即可.【详解】(1)证明：如图1,在菱形ABCD和菱形ABO中，口口8人口=口：6为，。=90。，口四边形ABCD,四边形ABCD，都是正方形， DAB = nDrAB=90,DADZ=DBAB AD=AB, ADr=ABr,ADD-BAB (SAS),DD=BBr；(2) 口解：如图 2 中，结论：AC=V2BM, BPC=45；理由：设AC交BP于O,口四边形ABCD,四边形ABCD都是正方形,试卷第1
4、0页，共103页3形W8C的面积的;可得出点火的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点H横坐标，即 4可得答案；(3)作口尸石。的外接圆心 根据圆周角定理可得祐=90。，可得口尸7法为等腰直角三 角形，由在直线上存在唯一的点。，使得口夕。=45。可得火与直线相切，可 得RQDMD,根据对称轴可得点坐标，即可得出。瓜的长，根据勾股定理可求 出。/的长，设点P(l, 2m),根据等腰直角三角形的性质可得P=E=R = ?，即 可得出火(1+加，m),利用5。=5似?。+5,侦?+5乩火可求出加的值，即可得点 P坐标；根据。=可得口A=45。，可得点M符合题意，过点。作。/口。河交对称 轴于 可得口口=4
5、5。，可得点/符合题意，根据。回=跖可求出点尸坐标，综上即 可得答案.【详解】(1) 口/ (-2, 0),四边形048。是平行四边形， UBC/OA, BC=OA=2, 口抛物线与轴交于点口抛物线的对称轴为直线工=手=1,那么户-3=1 口，22aQ 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4 - 2/7+- ,-=1联立得 2a ,4-2阻0 31 a - 3 解得 ；， h = - 319 Q口抛物线的表达式为：y=- JJ D(2) DA (-2, 0),抛物线对称轴为直线x=l, 口点。(4, 0)；3 QADR的面积是口。45。的面积的二，4338_ xy4Z)xy7?|= xOAxO
6、B9 贝!万乂6乂/火|= x2x ,4434 解得：y=,J当3?=0寸，!-2 +-x + - = -, z 3333 3解得：Xj = 1 + V5 , x2 = 1 a/5 ,试卷第100页，共103页处（i+5 ：）或&（iB， Ju解得：X3=l + Vi5, X2=l-V13 .1火3 (1 + /T3 ? _)或 R4 (l-/13 9 -)综上所述：点火的坐标为（i+6,：）或（1-右，g）或（1+JT5, -或（1- JJJV13 , -） 1（3）作尸。的外接圆心过点7?作7?”口腔于点， 尸0=45。， P7?=90,口RP=RE, PAE为等腰直角三角形，直线上存在唯
7、一的点Q, R与直线相切，URQDMD,抛物线对称轴为直线x=l, 7 8 当x=l时尸一 +耳+ 3=3,点M坐标为(1, 3), Q (4, 0),Affi=3, ED=4 - 1=3,DMD= DE? + ME? =3行，设点。(1, 2m),那么PH=HE=HR = m,那么圆A的半径为及 2,那么点H (1+加，m), SaMED=SaMRD+SaMRE+SaDRE,即 I xMEED= 1 xMDxRQ+g xED”R+； xMERH,J x3x3 = ； X 3亚 X 0 加+； x4x加+ J x3x2,3解得加=二，3点P坐标为（1,-）,乙口 ME=MD=3, A=45,点
8、P与点重合时，符合题意，即P（l, 3）,过点。作口,交对称轴于E 那么口方DA45。，符合题意,EF=DE=3,口点尸坐标为（1,-3）,口点尸坐标为（1,-3）,3综上所述：点。的坐标为（1, y）或（1, 3）或（1, -3）.【点睛】此题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质 并灵活运用分类讨论的思想是解题关键.50.：如图，E是DABCD的边BC延长线上的一点，且CE = BC.求证：DABCnnDCE.【答案】见解析试卷第102页，共103页【解析】【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形,ABOCD, AB = CD,B=QDCE,在DABC和D
9、DCE中，rAB=DCZB=ZDCEBC=CEABC匚DCE (SAS).由平行四边形的性质得出ABOCD, AB = CD,由平行线的性质得出口8 = 口口,由SAS即可得出结论.此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键. MAfA=nDAC = 45, ArAC=LMAB, MA，=MA,MArA=nMAAf=45, AMAz=90,AAf=V2 AM, CABC是等腰直角三角形，AC=72 AB,AA* AC 厂=yJ2 ，AM AB ”AfAC = DMAB, AA,CDDMAB,AC AA,=6 ,
10、DArCA=DABM, BM AMArC=V2BM,AOB=DCOP, CPO=QOAB=45, BPnBPC=45；解：如图3中，设AC交BP于O,在菱形 ABCD 和菱形 ABO中， DBAD= BrArDz=60,CrArBr=DCAB = 30, AAC = DMAB,MAf=MA, MArA = nMAAr=30,AAr= V3 AM,在DABC 中，匚BA=BC, CAB = 30, AC=V3 AB,A4f AC r=/3 ，AM ABAZAC = DMAB, AACOLMAB,AC AAACAZ=DABM,ArC=V3BM, AOB = DCOP,CPO=nOAB = 30,即
11、口BPC = 30。；口如图4中，过点A作AHnAC于H,图4图4由题意 AB = BC = CD=AD=2,可得 AC=GaB = 26,在 RtDA,AH 中，AH=；AA，=1, AH=6aH=G，在 REAHC 中，CH= Jac2AH2=2可=而, 口AC=AH + CH= & + 而，由口可知，AC=&BM,口 BM=1 +叵.3【点睛】此题属于四边形综合题,考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决 问题，属于中考压轴题.5.如图，AABC,以AB为直径的O。交AC于点。，连接BD, /C
12、BO的平分线 交O。于点E,交AC于点尸，且Ab= AB.(1)判断3C所在直线与的位置关系，并说明理由;试卷第12页，共103页(2)假设tan/尸3c =4，DF = 2,求O。的半径.【答案】(1)见详解；(2)的半径为R = 5.【解析】【分析】(1)由AB为直径，那么OADBO0,由等边对等角,三角形的外角性质，得至lj ZABD = ZC9然后得到/BAZ)+NC = 90。，即可得到结论成立；(2)由tan= tanNEBC = g , DF=2,那么求出BD=6,然后利用勾股定理，求出AB的长度，即可得到半径.【详解】解：(1) 口43为直径， ADB=90。，nZBAD+ZA
13、BD = 90,UAF = AB,QZABF = ZAFB9 ZABD+ZFBD = ZC+ZFBC,BE 平分“BD, /FBD = /FBC,口 ZABD = /C, ZBAZ)+ZC = 90,ABC=90。， BC是OO的切线；(2) UZFBD = ZFBC 9tan ZFBD = tan ZFBC =-, 3 BDF=90,DF 1 tan ZFBD =二一, BD 3BD=6,设= 那么 AD-2,在RtDABD中，由勾股定理得(x-2)2+62=jv2,解得：x = 10,口 A3 = 10,口0。的半径为/? = :48 = 5. 乙【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定
14、理，解直角三角形，等边对等角，三角形的外角 性质，以及等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题.6.如图，oABCD的对角线AC/。交于点E,以A3为直径的经过点E,与4。交于点F,G是4。延长线上一点，连接8G,交AC于点H,ZDBG = I ZBAZ).(1)求证：8G是O。的切线；(2)假设C=3, tanZDBG = 1,求。0 的直径.【答案】(1)证明见解析；(2) 2班.【解析】【分析】(1)先根据圆周角定理可得44 = 90。，再根据菱形的判定与性质可得AE平分D, 然后根据角平分线的定义、等量代换可得/D3G = NB4E,最后根据直角三角形的两锐 角互余
15、、角的和差可得NABG = 90。，据此根据圆的切线的判定即可得证；(2)方法1：先在心8E77中，利用正切三角函数可得B = 2E,再根据菱形的性质 可得AE = CE = CH + HE = 3+HE ,然后在用八45中，利用正切三角函数可得2 hf 1从而可得 = 1,最后在心BE中，利用勾股定理即可得；3+ HE 2方法2：先在中,利用正切三角函数可得虚=2虚，再根据菱形的性质可得HF BFAE = CE = CH + HE = 3+HE,然后利用相似三角形的判定与性质可得隹=弁，从而 BE AE可得HE = 1,最后在R/ZXA防中，利用勾股定理即可得.【详解】(1) QAB是直径
16、/. ZAEB = 90 , B|J AC BD试卷第14页，共103页四边形ABC。是平行四边形平行四边形A5C。是菱形 . AE 平分 ZMD ZBAE = -ZBAD 2又ZDBG = -ZBAD 2./DBG = /BAE ZAEB = 90. NBAE+NEBA = 9。 .NDBG+/EBA = 9。/. ZABG = 90 ,即 Afi _L 5G又Q A3是直径 3G是OO的切线；(2)方法 1： ./HEB = ZAEB = 90 , tanZDBG =-2HE1.=tan ZEBH = tan /DBG = 一BE2；.BE = 2HE 四边形ABC。是菱形:.AE = C
17、E C = 3 :.AE = CE = CH + HE = 3 + HE2HE2HE3 +HE . /DBG = NBAE, ZAEB=90BE I/. tan /BAE =一, AE 2解得HE = 1 .3石=2,4石=3 + 1 = 4 /. AB = y/BE2 + AE2 = 275即OO的直径为2逐；方法 2：./HEB = ZAEB = 90 , tan ZDBG =-2HE1.=tan /EBH = tan /DBG =-BE2：.BE = 2HE四边形ABC。是菱形:.AE = CE /CH = 3 /. AE = CE = CH + HE = 3+HEZDBG = /BAE
18、:.ZHBE = ZBAE在ABEH和AAEB中,/HBE = /BAEZBEH = /AEB = 90:.BEH *EBHE BE 口口 HE 2HE /.=,即=BE AE 2HE 3 +HE解得E = l.BE = 2,AE = 4/. AB = yl BE2 + AE2 = 275即OO的直径为26.【点睛】此题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、正切三角函数、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，较难的是题(2),熟练运用正切三角函数、相似三角形的 判定与性质是解题关键.7.如图，O。是ABC的外接圆，直线EG与O。相切于点E,EG/BC,连接AE交8c 于点。.EG(1)
19、求证：AE平分的C；(2)假设NA3C的平分线所交AD于点尸，且。石=3, DF = 2,求AF的长.【答案】(1)见解析；(2) y【解析】【分析】(1)连接OE,利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；试卷第16页，共103页BE DE(2)根据题意证明BE=EF,得到BE的长，再证明nEBDDDEAB得到二，求 EA BE出AE,从而得到AF.【详解】解：(1)连接0E.直线EG与口0相切于E,OEOEG.EGDBC,OEOBC, BE = CE，BAE=nCAE. AE 平分DBAC；(2)如图，QAE WDBAC,1=04, 1=D5,4=D5, BF 平分DABC,2=口3,6
20、- 3+ 4-2+5,即 6- EBF,EB=EF, DE=3, DF=2,BE=EF=DE+DF=5, 5=D4, DBED=nAEB,EBDQQEAB,BE DE 3 53EABE G E4 - 5 jAE#，【点睛】此题考查了垂径定理.，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，切线的性质，相似三角形 的判定和性质，掌握定理并熟练运用是解题必备的能力.8.如图,48是O。的直径，力。是。的一条弦，点。是OO上一点，且以=PC,PQ/ZG 与胡的延长线交于点D（1）求证:是的切线；（2）假设37口。=可,力。=12.求直径48的长. *【答案】（1）证明过程见解析；（2） AB=13,过程见解析【
21、解析】【分析】（1）连接0P,因为PDAC,两直线平行内错角相等，且PA=PC,可得DDPA=DPAC=nPCA=QPBA,又因为直径所对圆周角为直角，故APO+DOPB=90。，其中OPB=nOBP,即可证得DPO=90。，即PD为10的切线；（2）作PELAC,在等腰4PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，2tanDPAC=4, AC=12,用勾股定理可得AP的长度，且PAC=DPBA,故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度.【详解】解：（1）如下图，连接0P,试卷第18页，共103页PD/AC, DPA=QPAC （两直线平行，内错角相等），XDPA=PC,
22、故 PAC为等腰三角形，PAC=DPCA, E1PAC是PC所对圆周角，匚PCA是PA所对圆周角，PC=PA，且DPBA 是 pa 所对圆周角，故PAC=DPCA=DPBA, AB是口。的直径，直径所对圆周角为直角，APB=90,故口APO+EOPB=90。，XDOP=OB,故aOPB为等月要三角形，OPB=nOBP,APO+DDPA=90,即口DPO=90。， PD为口。的切线；（2）如下列图所示，作PELAC, PA=PC,故 PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，AC=12,2 PE口AE=6,且 tanDPAC=- =,故 PE=4, 3 AE由勾股
23、定理可得：AP=Jae2 +PE2462 +42 =2屈，由（1）已证得故tanDPBA=,PA 2= 故BP=3g,r D 3由勾股定理可得：AB=VpA2 + PB2 =7(2)2 + (3V13)2 =13 .(3)作轴于点 交BP于点、R,作于点N,用待定系数法求出直线BP的解析式，利用解析式表示出MR的长度，再通过求证MNRsjB尸R联合改AWR 建立比值关系列式计算即可；(4)作Q点关于AC的对称点2,作Q关于C3的对称点。2,连接与AC于与CB交于点乩，连接交AC于J ,连接QQ之交C3于K ,此时AQGH的周长最小,这个最小值=QQz，再证明Q2=2JK, JK最小时，QG”周
24、长最小，利用图2证明当点。与点。重合时小最小，在图3中利用相似三角形的性质求出JK的最小值即可解决问题.【详解】 解：(1) 抛物线对称轴为x = -l:.b = l将（。，4）代入 y = _：/_x + c 中,.c = 4.y = _Lx2_x + 42/ ZABP = /BCO, NPEB = NBOC = 90. PEBsaBOC.普=丝=:（此处也可以由等角的正切值相等得BE OC 2到)试卷第2页，共103页【点睛】此题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、 勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用 角的代换
25、来做题.9 .小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如下图的 正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平 均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；（2）如图2,小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所 在的直线，（不写作法，保存作图痕迹）图1图1图2【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析【解析】【分析】（1）顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份；（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的 中垂线即可
26、，保存尺规作图中垂线的痕迹.【详解】解：（1）如下列图所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成 四份：试卷第20页，共103页图1（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的 中垂线即可，如下列图所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A、B,分别以A、B为圆心， 任一半径（比AB的一半长即可），画圆弧，圆弧交点的连线即为第二刀：图2【点睛】此题主要考察了尺规作图一作中垂线，以线段的端点为圆心，做两个半径相等的圆（半 径大于线段长度的一半），圆弧交点的连线即为中垂线.10 .【算一算】如图，点/、B、。在数轴上，3为4C的中点，点/表示-3,点5表
27、示1,那么点C表示的数为，4C长等于；【找一找】如图，点M、N、P、。中的一点是数轴的原点，点力、8分别表示实数日-1、今+ 1,。是A8的中点，那么点是这个数轴的原点；【画一画】如图，点4 8分别表示实数c-小c+，在这个数轴上作出表示实数的点E （要求：尺规作图，不写作法，保存作图痕迹）；【用一用】学校设置了假设干个测温通道，学生进校都应测量体温，每个测温通道每分钟可检测。个学生.凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有2个学生，每分钟又有8个学 生到达校门口.如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开 放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下，、
28、加、b会有 怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图口，他将4分钟内需要进校的人数2+48记作+（什4幼 用点力表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8q 记作-8q,用点3表示.U用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+ （m+2b）、- 12q的点R G,并写出+（加+26） 的实际意义；口写出。、机的数量关系：.ABC-301图M A N P QB 、k22图幺B1c-n 0图BA今-8。0m-4b图【答案】（1）5, 8； （2） N； （3）图见解析；（4） 口+（加+26）的实际意义：2分钟后，校 门口需要进入学校的学生人数，图见解析加=4q.【解析】
29、【分析】（1）根据数轴上点/对应-3,点8对应1,求得的长，进而根据可求得4。的长以及点。表示的数；（2）可设原点为。，根据条件可求得48中点表示的数以及线段的长度，根据48=2,可得4。=8。=1,结合。的长度即可确定N为数轴的原点；m + 4Z? = 1 2q m + 2b = Sa（3）设48的中点为先求得的长度，得到根据线段垂直平分线 的作法作图即可；（4）根据每分钟进校人数为6,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组根据什26=。乩m+4b=12a9即可画出凡G点,其中加+2力表示两分钟后,校门口需试卷第22页，共103页要进入学校的学生人数;解中的方程组，即可得到2=4q.【详解】
30、解：（1）【算一算工记原点为。,DAB=l - （ - 3） =4,口AB=BC=4, OC=O3+8C=5, AC=2AB=S.所以点。表示的数为5, 4c长等于8.故答案为：5, 8；（2）【找一找工记原点为O,/8=受+1 -（且-1） =2, 22QAQ=BQ=U 00=08-80=走 + 1 - 1 =,一一 22 nN为原点.故答案为：N.（3）【画一画】：记原点为。,由 43 =。+ - （C-77）=2/7,作的中点, 得 AM=BM=n,以点。为圆心,AM=n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E,那么点E即为所求;EnA 0c-n 0图cn（4）【用一用工在数轴上画出点E G；
31、2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为: m=4a. 4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，2+46 = 3xqx4, gp m+4b= i2a （口）； 2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，加+2b=4xx2,即2+26=8。（ ）； 以。为圆心，。8长为半径作弧交数轴的正半轴于点凡 那么点歹即为所求.作03的中点区 那么OE=3E=4q,在数轴负半轴上用圆规截取OG=3OE=12q, 那么点G即为所求./G B E t、 1% 出 劣 0m.2b “4b图+ （加+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；方程（口）2-方程（口）得：2=4/故答案为：m=4a.【点睛】
32、此题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图.解决此题的关键是根据题意找 到等量关系.11 .：如图，在正方形ABCD中，对角线AC BD相交于点。，点瓦尸分别是边BC.CD 上的点，且NOb=90。.求证：CE = DF.【答案】见解析【解析】【分析】由正方形的性质得出0D=0C, ODF=DOCE=45,再证明COEnDDOF,从而得到COEnQDOF,即可i正明 CE=DF.【详解】解：四边形ABCD为正方形， OD=OC, ODF=DOCE=45, 0口=90。， EOF=90,即 COE+ 口 COF=90,试卷第24页，共103页 COE=nDOF,COEOODOF (ASA)
33、, CE=DF.【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质 得出条件证明全等.12.如图，矩形43CO中，点尸为对角线ZC所在直线上的一个动点，连接PQ,过点 。作PEDPD 交直线43于点E,过点。作仞VO48,交直线CO于点M,交直线 于点、N.AB = a6，AD =4.(1)如图1, 当点P在线段/C上时，尸DM和CIE/W的数关系为:QPOMUEPN；DP正的值是(2)如图2,当点。在C/延长线上时，(1)中的结论是否成立?假设成立，请证明;假设不成立，说明理由;(3)如图3,以线段PO ， PE为邻边作矩形PEFD设PA7的长为x,矩形PE
34、FZ)的面积为乂请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.积为乂请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.图3【答案】(1) =; 6; (2)成立，证明见解析；(3)=述。3)2+46,最小值【解析】【分析】(1) 根据 PEDPD, MNDAB 得到DPE=90。，PMD=nPNE=90,即可得到PDM=DEPN；根据 CD=A5 = 4jL AD =4, DADCO0,得到ACD=30。，设 MP=x,那么 NP=4-x,得到 MC=GMP=Gx, DM=4括-&x=G (4-x),证明PDMDDEPN,得到答案;(2)设NP=a,那么MP=4+a,证明PDMDDEPN,即可得到
35、结论成立;(3)利用勾股定理求出PE2 = pN2 + EN2=(4-x)2+(走工)2=&/一8 + 16,再根据矩 形的面积公式计算得到函数关系式.【详解】(1) 0DPE=90, DPM+DEPN=90,MN DAB, PMD=DPNE=90。，PDM+DDPM=90, PDM=DEPN；故答案为：=； CD=A8 = 4VL AD =4, 口ADC=90。，tanQACD= = = , CD 463 ACD=30,设 MP=x,那么 NP=4-x, MC=V3MP=V3x, DM=4V3-/3x=V3 (4-x),PDM=DEPN, 口PMD=DPNE=90。， PDMnnEPN,S
36、瓜4一,PE PN 4-x故答案为：6(2)成立,设 NP=a,那么 MP=4+a, ACD=30,MC=V3 (4+a),口 M D= 6 (4+a)-4 73 = 73 a,由(1)同理得PDM=DEPN, PMD=QPNE=90, PDMOnEPN,=皿=画=5PE NP a(3) DPM=x,试卷第26页，共103页PN=4-x, EN=x, 3口 PE = =(45+号:手F + 16 , PE = j|x2-8x + 16 , PD = a/3x /1x2-8x + 16, 矩形 PEFD 的面积为产 PE. P。=6x(di 一口 +16)=史(%-3)2+473 , 33匚 w
37、。, 当x=3时，y有最小值为4VL【点睛】此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积 公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.Q13.如图，正比例函数=依(以0)的图象与反比例函数-的图象交于点/(，2)和点反(1) n, k=；(2)点。在y轴正半轴上.口/二野。，求点。的坐标；(3)点P (加，0)在x轴上，口/PB为锐角,直接写出掰的取值范围.【答案】(1) -4, -(2) C(0, 2石)；(3) m - 2百或加2追【解析】【分析】(1)把力点坐标代入反比例函数解析式求得，再把求得的4点坐标代入正比例函数 解析式求得k;(2)可设点。
38、(0, b),只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此 题用相似，只需证明口力口口石即可；(3)在x轴上找到点B,尸2,使仍DP/B, AP2QBP2,那么点尸在尸/的左边,在2的 右边就符合要求了.【详解】Q解：(1)把/(77, 2)代入反比例函数= 中，得=-DA ( -4, 2),把/ ( - 4, 2)代入正比例函数歹=依(原0)中，得k=-二故答案为：-4； - g ；(2)如图1,过/作AD歹轴于。，过8作8E口歹轴于E,DA ( -4, 2),根据双曲线与正比例函数图象的对称性得3 (4, -2),设。(0, b), WlJ CD=b-2, AD=4, BEX C
39、E=b+2,匚/。+口。8 = 90。，nOCBJCBE=909J caco=ucbe9J 匚ADC=JCEB=90。,J CACDjnCBE9CD ADBECECD ADBECEb-2解得，b = 2逐,或b= - 2小(舍),C (0, 275 )；在x轴上原点的两旁取两(3)如图2,过4作/ATOx轴于，过8作身归不轴于M点、Pi, P2,使得 OP/ = OP2=O4 = OB, O = O5=OA = V?万=2折P/ ( -2逐，0),02 (26，0), OPi = OP2=OA = OB,四边形4P8P2为矩形，试卷第28页，共103页UAPiUPiB, AP2UBP2, 点P
40、 (m, 0)在x轴上，口“PB为锐角,P点必在Pl的左边或P2的右边， m26.图2【点睛】此题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角 形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键 是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算.14.如图，口/BC。中，口/5。的平分线80交边/。于点。，OD=4,以点。为圆心, 0。长为半径作口0,分别交边于点、N.点在边上，交口。于点G,G为的中点.(1)求证：四边形43E。为菱形;(2)cosD/8C=；,连接力,当4石与口。相切时，求45的长.【答案】(1)证明见解析；(
41、2) 26.【解析】【分析】(1)先由G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出口加06=口。2设 m1 2设 m1 21 9m + 4),那么 PE = 机 + 4 , BE = 2 m口当点。在X轴上方时:104-m + 4 i2:！2 m2解得町=-3,利=2 （不符题意，舍） 口当点P在x轴下方时:1 2 .-m- +m-412= 12-m2解得町=-5,=2 （不符题意，舍）57.f)或 Pg%)（3）作轴于点/，交BP于点、R,作于点N图2图21 9 1J y =x -x + 4 =(x + 4)(x 2)口 4-4,0), 8(2,0)设%p = + 4将P(3,3, (
42、2,0)代入得=3k + /7.1, 2解得 = -于=10 = 2k+b222I二 %P = _J%+11 0 1设 A/ (a,- a + 4),那么 R(a,a +1)再由平行四边形的性质得出40口5, MQN+M = 180。，进而判定四边形是平行四边形，然后证明/3=4。，那么可得结论；(2)过点。作。尸胡，交胡的延长线于点P,过点。作。口8。于点。，设43 =AO=OE=x,那么由cos043C=；,可用含x的式子分别表示出以、0P及0Q,由勾股 j *定理得关于X的方程，解得X的值即可.【详解】解：(1)证明：DG为MN的中点，UQMOGnMDN. 四边形ABCD是平行四边形.D
43、AODBE, MON+E = 180。,MOG+n = 180,UABDOE,四边形48O是平行四边形. 8。平分口/即，DQABO=QOBE,又。3=口/。3,nJABO=DAOB,口AB=AO,四边形48EO为菱形;(2)如图，过点。作。口84交氏4的延长线于点P,过点。作。口8。于点。，设AE交0B于点、F,那么 口以。=口/8。,设/8=/O=OE=x,那么cosDt45C=-， 3cosD/M(9=-, 3PA 1 =-AO 3试卷第30页，共103页UPA=-x, 30尸=00=孚当4E与口。相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知尸为切点，由勾股定理得：(3%)2+(半%)2=82,
44、解得：x=2y/6 . 43的长为2遥.【点睛】此题主要考查菱形的证明，切线的性质，三角函数以及勾股定理，巧妙的作出辅助线和列出勾股定理的方程是解决此题的关键.15.如图，/C是四边形N8C。的对角线，1 = 08,点E、尸分别在8。上，BE= CD, BF=CA,连接 EE(1)求证：口。=口2；(2) EFJAC, 口。=78。，求4/C 的度数.【答案】(1)证明见解析;(2) 78.【解析】【分析】(1)由“S49可证口3尸口口。力,可得口。=口2；(2)由(1)可得口。=口2 = 78。，由平行线的性质可得2=口。=78。.【详解】证明：(1)在匚和口。/中，BE = CD=2 = 78,JEFQAC. 2 = nC=78.【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质.证明匚归功口口。是解题的关 键16.我们知道，顶点坐标为(h, k)的抛物线的解析式为y=a (x-h) B JO x3【答案