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1、请填写其中的空格E(2)当BC;时，判断ABC与VAEC是否相似，并说明理由CD ACCD7- AT7BC历年中考几何解答题真题易错题题库（含答案）学校:姓名：班级：考号：一、解答题AT） A Df1.如图，在ABC和V49C中，D、必分别是AB、A上一点，AB ABD9 Bf丁时，求证：A3CA3C证明的途径可以用如框图表示, A B【答案】（1）cn AC AD所=汴=而,NA = N4；(2)相似，理由见解析 K-Z Z-X21. K.ZZX JLZ【解析】 【分析】 , 八旧 g CD AC AB AD证得4）。ADC,推出NA = NA再证明结证得4）。ADC,推出NA = NA再证
2、明结(1) 根据=CD AC AfBf AfDf论;作DEBC, UE / BC ,利用三边对应成比例证得。CEOCE,再推出NACB = NAcN，证得黑=会，即可证明ABCAEC.A C d C【详解】AZ)_A7) (1 ) , AB AfBf.AB AD.CD _ AC _ AB CD7 A7?.CD AC ADCD7 - A!C A!Dr由A3。且AC。知：BD = DC , 又 TO A 二OBOD为ABC的中位线 OD/ACDE A. AC：.OD DETOD为。O的半径，DE与。相切.【点睛】此题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键.6.如图，在平
3、面直角坐标系中，矩形ABCD的边长是方程3x-18 = 0的根，连 接30, ZDBC = 30 ,并过点。作CNJ,3,垂足为N,动点P从点3以每秒2个单 位长度的速度沿方向匀速运动到点O为止；点加沿线段D4以每秒百个单位长度的 速度由点。向点A匀速运动，到点A为止，点。与点M同时出发，设运动时间为/秒 (%)(1)线段CN=；(2)连接R0和MN,求APMN的面积与运动时间/的函数关系式；(3)在整个运动过程中，当APAW是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐 标.试卷第10页，共101页(3)过点N作NG_L3/于点G,可证得A/aGsABE4.再根据相似三角形的性质得出对应边成比
4、例及角平分线的性质即可得解.【详解】(1):矩形 A5CD,?. ZA = 90 , AD/BC由折叠的性质可知BF=BC=2AB, ZCBE = -ZCBF, 2ZAFB = 30,二 NFBC = ZAFB = 30。,：.ZCBE = 50(2)由题意可得44 = /。= 90。，ZAFB + NDFE = 90,ZFED+ZDFE = 90：.ZAFB = ZDEF：.FABNEDF.OE出变普=2.OE出变普=2AB EF = CE = 3,由勾股定理得=存二下=石,=2卮：.BC = AD = AF + FD = 3后；(3)过点N作NGL3月于点G./. ZNGF = ZA =
5、90又,: ZBFA = ZNFG：.ANFGABFA.NG FG NFV NF = AN+FD9NF = -AD = -BC = -BF222.NG _FG _ NF _ 1* E4 - BF -2 ?又BM平分NA3b，NGLBF, ZA = 90,试卷第100页，共101页，NG= AN,NG = AN = -AB, 2FG BF BG _ BC AB1AB 3整理得:BC 5【点睛】此题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三 角形的判定与性质的综合应用，是中考真题.a/3 2 9/3 9、-/+1 0z-24 I2)【答案】(1) 373;(2) s
6、= +ZACB = 180,试卷第2页，共101页EM 1 日 2 r-俞=针 EM=-y/5； jDZiJJ,，e SqiE1,且好BM 2 v - 2 BMC 一 乙，ME q =4S= 4 Lamb 一 ，*，* S aABC = S.BMC + SjBM =2 + 4 = 6,又 Zaqc = Sabc正方形ABCD的面积为：6+6=12.【点睛】 此题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的 判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质.12.在等腰MC中，= 点D, E在射线84上，BD=DE,过点E作及7ABC,交射线C4于点F.请解答以下
7、问题:图B图(1)当点E在线段A3上，8是ACS的角平分线时，如图，求证：AE + BC = CF；(提示：延长FE交于点M.)(2)当点E在线段84的延长线上，。是AC3的角平分线时，如图；当点E在线段胡的延长线上，是ACB的外角平分线时，如图，请直接写出线段AE, BC,C尸之间的数量关系，不需要证明;(3)在(1)、(2)的条件下，假设 DE = 2AE = 6,那么 6 =【答案】(1)见解析；(2) BC=AE+CF或AE=CF+BC； (3) 18或6.试卷第20页，共101页【解析】【分析】(1)延长CO,正交于点M.利用AAS证明MED二CBD,得至lj ME=BC,并利用 角
8、平分线加平行的模型证明CF=MF, AE=EF,从而得证；(2)延长CO, EF交于点M.类似于(1)的方法可证明当点E在线段刚的延长线上，CD是AC8的角平分线时，BOAE+CF,当点E在线段区4的延长线上，CD是AACB 的外角平分线时，AE=CF+BC；(3)先求出AE, AB,即可利用线段的和差求出答案.【详解】(1)如图，延长8, EE交于点M.二NA二NBCA=NEFA, AE=EF MF/BC：.ZMED=ZB, NM=NBCD又 YNFCM二 NBCM,AZM=ZFCM CF=MF又BDtDE MEO 二CBD(AAS)AME=BC，CF=MF=ME+EF=BC+AE即 AE+
9、BOCF；(2)当点E在线段刚的延长线上，CO是AC3的角平分线时，BOAE+CF, 如图，延长CO, EF交于点M.由同理可证MED=C3Z）（A4S）,ME=BC由证明过程同理可得出MF=CF, AE=EF,J BC=ME=EF+MF=AE+CF；当点E在线段84的延长线上，CQ是ACS的外角平分线时，AE=CF+BC.如图，延长交EF于点M,图3)由上述证明过程易得MD-C3D(A4S), BC=EM,CF=FM,又.AB=BC,: NACB=NCAB=NFAE*. EFUBCA ZF=ZFCB,AEF=AE, AE=FE=FM+ME=CF+BC(3) CF=18 或 6当 DE=2AE
10、=6 时，图中，由(1)得：AE=3, BC=AB=BD+DE+AE=15, CF=AE+BC=3+15=18；图中，由(2)得：AE=AD=3, BC=AB=BD+AD=9,ACF=BC-AE=9-3=6；图中，DE小于AE,故不存在.故答案为18或6.试卷第22页，共101页【点睛】此题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当 的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题.13.如图，直线A3与x轴交于点A,与y轴交于点B,线段。4的长是方程V7x 18 = 0的一个根，=.请解答下歹U问题：（1）求点A, B的坐标；（2）直线斯交x轴负半轴于点
11、E,交y轴正半轴于点F,交直线AB于点C.假设C是所 的中点，OE = 6,反比例函数y =图象的一支经过点C,求k的值；x（3）在（2）的条件下，过点C作石，垂足为D,点M在直线A5上，点N在 直线CD上.坐标平面内是否存在点P,使以D, M, N, P为顶点的四边形是正方形？ 假设存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；假设不存在，请说明理由.9【答案】（1） A （9, 0）, B （0, -）； （2） -18； （3）存在 5 个，（9, 12）或（9, -12） 2或（1, 0）或（-7, 4）或（-15, 0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，
12、再根据= 可得点B坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）线段Q4的长是方程f_7x-18 = 0的一个根，解得：x=9或-2 （舍），而点A在x轴正半轴，AA （9, 0）,OB = -OA, 29，B (0, 一)； 2(2) ： OE = 6,：.E (-6, 0),设直线AB的表达式为y=kx+b,将A和B代入，0 = 9k + b得：, 9,解得：=bI 219/AB的表达式为：y =,点C是EF的中点，点C的横坐标
13、为-3,代入AB中,y=6,那么 C (-3, 6),k反比例函数y = 经过点C, X那么 k=-3x6=-18；(3)存在点P,使以D, M, N, P为顶点的四边形是正方形,如图，共有5种情况，在四边形DMRNi中，Mi和点A重合，AMi (9, 0),此时 Pi (9, 12)；在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y=x+3上，y = x + 3联立：19,y =x + AM (1, 4),P3(1, 0),同理可得：P2 (9, -12), P4 (-7, 4), P5 (-15, 0).故存在点P使以D, M, N, P为顶点的四边形是正方形，点 P 的坐标为 Pi
14、(9, 12), P2 (9, -12), P3 (1, 0), P4 (-7, 4), P5 (-15, 0).试卷第24页，共101页【点睛】此题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难 度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.14.某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行平安巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患.该斜坡横断面示意图如下图，水平线点A、B 分别在4、4上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC _L 4于点C,且线段AC的长为2#米.（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险,该管理部门计划对
15、该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚。为60,过点M作于点N,求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米?【答案】（1）1（）百（2） 2米【解析】【分析】（1）运用勾股定理解题即可;(2)根据勾股定理列出方程，求出AM,问题得解.【详解】 解：(1)在放ABC 中，BC = y/AB2-AC2 = 7324-24 = 1073 ；(2)/。= 60。，ZAMN = 30 , AM = 2MN ,;在放ABC 中，AN? + MN? = AM?, AN2 -300 = 4AN2：.AN = 10,：.AM =20, A AM-AB = 20-8 = 2.综上所述，长度增加了 2米.【点睛】此
16、题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键.15.如下图，班厂的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交 于点G,连接AF、CF,满足ABFgACBE.(1)求证：ZEBF = 90.(2)假设正方形ABCD的边长为1, CE = 2,求tanZAFC的值.【答案】(1)见解析；(2)叵2【解析】【分析】(1)A4B/父(?海,根据全等三角形的对应角相等可得NABb = NCAE,再由 ZABF + ZCBF = 90,可得NC3b+ /C3石= 90。，即可证得NEBb = 90。； (2)由 AABFACBE,根据全等三角形的对应角相等可得NAFB
17、 = NCB,由对顶角相等可 得NFGA = /EGB,即可证得NE4C = NE5b = 90。；又因正方形边长为1, CE = 2,可 得AC =亚,AF = CE = 2.在RQ AFC中，即可求得tan乙4bC =立.试卷第26页，共101页【详解】(1)证明： AABF义LCBE,：.ZABF = ZCBE,/ ZABF + ZCBF = 90, /CBF + /CBE = 90,/. ZEBF = 90.(2) AABFACBE , ZAFB = /CEB, / NFGA = /EGB, /FAC = /EBF = 90。,;正方形边长为1, CE = 2. * AC = V2 ,
18、 4尸=CE = 2 .二 tan ZAFC =2【点睛】此题考查了全等三角形的性质、正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知 识是解决问题的关键.16.如图，AB是O。的直径，AM和BN是它的两条切线，过。上一点E作直线DC, 分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.(1)求证：直线CD是O。的切线；(2)求证：OA1 =DECE【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)连接 OD, OE,证明OADgAOED,得NOAD=NOED=90。，进而得 CD 是切线；(2)连接OC,得AMBN,得ADEOAOEC,再证明。炉=。石位.，进而得出结论。42=OECE.【详解
19、】解如图，连接。区0D, .D4是O。的切线，ZOAD = 90在 AAO。和石OD 中,OA =OE ,DA = DE ,OD = OD,.AAQDAEOD(SSS):,ZOAD = ZOED = 90OE CD,二.CD是OO的切线.(2)连接OCAM、BN、是OO的切线，. ZOAD = ZOBC = /DEO = ZOEC = 90：.AM/IBN,.NADE + NBCE=18O又.AM、BN、DC是OO的切线，:.CE = CB,OD平分ZADE.OC平分/BCE,. NODE + ZOCE = - (ZADE + /BCE) = -xl 80 = 90又./ODE + NDOE
20、= 90 . ZOCE = NDOE,又 /DEO = ZOEC = 90 .DEOAOEC,OE DE tCEOE，OE? = DECE.又 v OA = OE,.,OA2 =DECE.【点睛】试卷第28页，共101页 此题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判 定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形.17.如图，在ABC中，N4C3 = 90。，点E在AC的延长线上，于点D,假设 BC = ED,求证：CE = DB.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用AAS证明AAEQ二AABC,根据全等三角形的性质即可得到结论.【详解】证明：VEDAB,Z
21、ADE=90,/ /ACS = 90。，A ZACB=ZADE,在A/LED和AA5C中ZACB = ZADE ZA = ZA,BC = ED：.AED = ABC,：.AE=AB, AC=AD,AAE-AC=AB-AD, BP EC=BD.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.18.如图，在MC中，AB = AC,以A3为直径的。O与相交于点Q,过点。作 。的切线交AC于点同理：/CZy + /AC? = 180。， ZACB = NAO，AC BC乂而二记， ABC AFC .【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线
22、是 解答第2问的关键.2.如图，菱形A5C。的对角线AC, 5。相交于点O, E是的中点，点凡G在AB 上，EFAB, 0G/EF.(1)求证：四边形0EFG是矩形；(2)假设 AQ=10, EF=4,求 OE和 BG 的长.【答案】见解析；(2)OE=5, BG=2.【解析】【分析】(1)先证明。是D48的中位线，再结合条件OGEG得到四边形OEFG是平行 四边形，再由条件E/J_A5,得到四边形OMG是矩形；(2)先求出AE=59由勾股定理进而得到AF=39再由中位线定理得到OE= JA3= ；A)=5,得至lj/g=5,最后BG=A3-A广产G=2.【详解】解：(1)证明:四边形A3CO
23、为菱形， 点。为的中点，点E为AD中点, 0为?!&)的中位线，OE/FG,V OG/EF, 四边形OEFG为平行四边形(1)求证：DEA.AC；(2)假设。的半径为5, BC = 16,求的长.【答案】(1)见详解；(2) 4.8.【解析】【分析】(1)连接 0D,由 AB=AC, OB=OD,那么 NB=NODB=NC,那么 ODAC,由 DE 为切 线，即可得到结论成立；(2)连接AD,那么有ADJ_BC,得至lBD=CD=8,求出AD=6,利用三角形的面积公式， 即可求出DE的长度.【详解】解：连接0D,如图：VAB=AC,AZB=ZC,VOB=OD,AZB=ZODB,.NB=NODB
24、=NC,，ODAC,VDE是切线，AODDE,A AC DE；(2)连接AD,如(1)图，TAB 为直径，AB=AC,AD是等腰三角形ABC的高，也是中线,试卷第30页，共101页A CD=BD= - BC = - x 16 = 8 , NADC=90。， 22VAB=AC=2x5 = 10,由勾股定理，得：y4D = V102 -82 =6 .e-# 5mcd=1x8x6 = 1x10xDE , DE = 4.8；【点睛】此题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度.19.某兴趣小组为了测量大楼。的高度，先沿着斜
25、坡AB走了52米到达坡顶点3处，然后在点3处测得大楼顶点。的仰角为53。，斜坡A3的坡度为，= 1:2.4,点A到大43楼的距离A。为72米，求大楼的高度CD.（参考数据：sin53-, cos53-,4tan 53。b）3【答案】大楼的高度8为52米【解析】【分析】过点B作BELAD于点E,作BFJ_CD于点F,在R3 ABE中，根据坡度i = l:2.4及 勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF 是矩形，得到BF和FD的长，再在RtA BCF中，根据NCBF的正切函数解直角三角形， 得到CF的长，由CD=CF+FD得解.【详解】解：如以下图，过点B作
26、BEJLAD于点E,作BF1.CD于点E在 RS ABE 中，AB=52,i = : 2.412A12ABE/. tan Z B AE= = AEAAE=2.4BE,XVBE2+AE2=AB2,ABE2+(2.4BE)2=522,解得:BE=20,AAE=2.4BE=48；ZBED=ZD=ZBFD=90,四边形BEDF是矩形，J FD=BE=20, BF=ED=AD-AE=72-48=24；在 RtA BCF 中,CF tanZCBF=,BFCF 4 即：tan53=BF 34 ACF=-BF=32, 3CD=CF+FD=32+20=52.答：大楼的高度CD为52米.【点睛】 此题考查解直角三
27、角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形 并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键.20.如图1,四边形A5CO的对角线4C, 8。相交于点。，OA = OC, OB = OD+CD.（1）过点A作AE/Z）。交8D于点E,求证：AE = BE；（2）如图2,将ABO沿AB翻折得到AABD.求证：BDf/CD；假设 AO/BC,求证：CD2 = 2OD BD.【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析；见解析.【解析】试卷第32页，共101页【分析】(1)连接CE,根据全等证得AE=CD,进而AECD为平行四边形，由O3=OD+CD进行等边代换，即可得到A=3E；(2)过
28、 A 作 AECD 交 BD 于 E,交 BC 于 F,连接 CE, AE = BE ,得 ZABE = NBAE, 利用翻折的性质得到NDB4 = N84石，即可证明；证 BEF会ACDE,从而得ZBFE = ZCED9 进而得NCED=NBCD,且 /CDE = BDC ,得到 BCDs/CDE,得CD DEBDCD即可证明.【详解】解:(1)连接CE, / AE/DC,：.ZOAE = ZOCD, ? ZOAE = ZOCD, OA = OC, ZAOE = /COD,AAOAEAOCD,AAE=CD,四边形AECD为平行四边形， AE=CD, OE=OD,OB=OD+CD=OE+BE,，CD=BE,J AE = BE；(2)过A作AECD交BD于E,交BC于F,连接CE,由(1)得，AE = BE,由(1)得，AE = BE,二 ZABE = ZBAE,由翻折的性质得/DBA = ZABE, /DBA = /BAE，：.BDr /AF, BD / /CD；： Aiy I IBC, BDf/AF,四边形AFBDf为平行四边形，：, /D=Z