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1、中考几何真题易错题题库(含答案)学校:姓名：班级：考号：一、解答题1.如图，AC是。的直径，BC, 8。是。的弦，M为的中点，。“与交于点F,过点。作交3c的延长线于点E,且CD平分NACE(1)求证：。石是。的切线；(2)求证：ZCDE = ZDBE；2(3)假设 DE=6 , tanZ.CDE =,求 B/7 的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) %叵6【分析】(1)连接。，A。，根据直径所对的圆周角为直角得出NADC=90。，再综合角平分线 的定义以及圆的基本性质，推出NCOE=NA。，从而推出NAQC=NOOE,即可得证；(2)在(1)的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，
2、即可得证；2(3)由tan/CDE1,求出C=4, BE=9,即可得BC=5,由加为8C的中点，可得525OMLBC, BM=RdBFM中,根据tan/D8E = ,求出/M二,再用勾股定理即 233得答案，BF = Jbm2 + FM?=豆亘6【详解】(1)如图，连接。，AD,AC为直径，ZAZ)C=90,。平分NACE,，ZACD=ZECD,VDEBC,四边形OCEG为矩形.V ZfiAC = 15, 04 = 2, ZBAE = 2ZOAC = 30 ,J OG = -OA = i , 2 AG = S曾-OG =5。6_1_4后于点6, 0A=0F=2,: GF = AG = 6 ZF
3、AO=ZAFO=30, ? OC/AE,：.ZCOF=ZAFO=30,：.矩形 OCEG 面积为 OC.OG = 2x1 = 2, OG厂面积为，ogGb= xlx6 =走，222扇形CO/面积为迎它二工3603阴影局部面积=矩形OCEG面积- OG尸面积-扇形。/面积=2-走-2 3【点睛】此题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强, 熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键.7.在ACO中，。是的中点，B是4。延长线上的一点，连结(1)如图 1,ZACB = 90,ZCAD = 60, BD = AC, AP = 73 ,求 5c 的长.(2)过点。
4、作。石AC,交AP延长线于点E,如图2所示.假设/。= 60。,3。= 4。, 求证：BC = 2AP.(3)如图3,假设NCW = 45。，是否存在实数2,当加4。时，BC = 2AP ?假设存在,试卷第10页，共102页? ZCOM=ZCOD,:.丛COMs XDOC,.DC _ PCCMOM . DC V5 =，21，cd = ?5(3)过点E作上N_LAB于点N,连接OE,/ CM LAB, EN LAB,.MFCMsFEN, EN FE NF ICM- CF - A/F - 2 由(2)得 CM=2, 0M=,：.EN=OM=,9： OC=OE,：.RtA COMRtA OEN,：.
5、0N=CM=2,:MN=3,. NF _ 1 MF2：FM=2,? OM=1,，OF=1,: BF=OB+OF,，BF = 1+ 布.【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解答 此题需要我们熟练掌握各局部的内容，要注意将所学知识贯穿起来.50.如图，在ABC中，AB = AC,以A3为直径的交5C于点。，交84 的延长线于点,交AC于点?试卷第100页，共102页(1)求证：。石是的切线；(2)假设 AC = 6,tanE = m ,求 AF 的长.4【答案】(1)证明见解析；(2) AF = 【分析】(1)要证明。E是。的切线，只要证明NODE =
6、90。即可.连接。根据条件证明OD/AC,那么可推导出NODE = 90、(2)根据条件，在RtODE中,求出。石的长，然后证明AEODE,从而根据 相似比求解即可.【详解】(1)证明：如以下图，连接0。AB = AC,OB = OD,：.ZB = /C,ZB = /ODB,：.ZODB = ZC,，OD/AC,ZODE = ZCFD,又DEJ_AC,，ZCFD = 90,工 ZODE = 90, JOE是O。的切线.(2)解：VAC=6, OD = OB = -AB = -AC = 3 9 22在 Rt/ODE 中，tan =,ED 4#- ED = 4, OE = yOD2+ED2 =73
7、2+42 =5，AE = OEOB = 5 3 = 2,又 /AEF = /OED, NAFE = ZODE = 90,J 4AFE ODE,.【点睛】 此题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的相似，勾股定理等相关知识点, 根据题意数形结合是解题的关键.试卷第102页，共102页 请直接写出机的值；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) 2a/3; (2)见解析；(3)存在，m = V2【分析】(1)先解直角三角形ABC得出A5 = 2AC,从而得出AOC是等边三角形，再解直角三 角形AC尸即可求出AC的长，进而得出3c的长；(2)连结砥，先利用A4s证出404。匹,得出AE=2PE
8、, AC=DE,再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS得出CMgziEBA,得出AE=8C即可得出结论；(3)过点。作。E/AC,交AP延长线于点E,连接BE,过。作CGJ_AB于G,过E 作 ENJ_A8 于 N,由(2) W AE=2AP, DE=AC9 再证明AEN会4BCG,从而得出 C452得出DE=BE,然后利用勾股定理即可得出m的值.【详解】(1)解 / ZACB = 90, ZCAD = 60 ,ArAB= =2ACfcos60轴交于点C,连接3C.图2图3(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2,直线/： =依+ 3经过点A,点P为直线/上的一个动点，且位于x轴的上 方，
9、点。为抛物线上的一个动点，当PQ/)轴时，作QMLPQ,交抛物线于点M (点 M在点。的右侧)，以R2, QM为邻边构造矩形PQMN ,求该矩形周长的最小值；(3)如图3,设抛物线的顶点为。，在(2)的条件下，当矩形尸QMN的周长取最小值/DEC=90。, ：./CAD=/CDE,ZCAD=ZADO,：.NADO=/CDE,：.ZADO+ Z ODC= Z ODC+ Z CDE,即：/ADC=NODE,：.ZOZ)E=90,。为半径，OE是。的切线；(2)如(1)图，可得NCQ=NC4O,根据同弧所对的圆周角相等，可得/CAD=NDBE,ZCDE=ZDBE；2(3)解：RsCDE 中,DE=6
10、, tanZCDE=-,.CE 2=，63J C=4,由(2)知/CDE=/DBE, 2RtBDE 中,DE=6, tan Z DBE-,6 _2 一 ， BE 3：.BE=9,：.BC=BE-CE=5,M为8C的中点，：.OMBC, BM=-BC = , 2252RtBFM 中,BM , tan /DBE =, 23试卷第2页，共102页 时，抛物线上是否存在点b，使得NC3b=/OQM?假设存在，请求出点尸的坐标；假设 不存在，请说明理由.I oq / c 28、【答案】y =彳12+工+2； （2） ； （3）存在，/（一1,0）或尸.2241 J ，J【分析】（1）直接将A（-1,0）
11、, 3（4,0）两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P的坐标，接着表示出。点和M 点的坐标后，求出线段PQ和。加的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求 出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出ncba=/QQM,进而得到尸点的其中一个位置，在8c另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出8尸与y轴的交 点，进而求出3尸的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定厂点的坐标.【详解】 解：（1） ;抛物线广+法+ 2经过A（-1,0）, 3（4,0）两点,。一人 + 2 = 016 + 42 = 0解得：，b =
12、- 213该抛物线的函数表达式为：），=-5/+2；（2）y = Ax+3经过点4,，一攵+ 3 = 0, :k = 3,直线/： y = 3x+3；(13、设尸(。3，+ 3),那么。t9t2 +t + 2 ,V 227323;抛物线对称轴为： =1K = 5，且。点和点关于对称轴对称,2x -乙I 2J3 点横坐标为2x-f = 3-/,QM - 3 t t = 3 2z ；(13 3又 PQ = 3/ + 3r2+-z + 2 = -t2+-t + 1,22J 22试卷第20页，共102页2(PQ + QM)= 213(t H1 + 1 + 3 2/ 二产-1 + 8= t1)2;31+
13、十i31当，=n寸，2（尸Q + QM）的值最小，为了;31该矩形周长的最小值为T5（3）存在，尸（1,0）或尸5 y1 21、由（2）可知，Q彳丘 k 2 o13;抛物线的函数表达式为：y = -5/+5X + 2；4x且一x2-4xIV 225=一,f 3 25顶点。坐标为彳，/、2 o如图4,作。E_LQM,图425 21 13 1因为。石=-,QE =1,8 8 2 22 2/. tan Z.DQE =；又：抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,：.C（0,2）3令 +x+2 = 0 ,解得：=_,工2=4： OC = 2,OB = 4,当/点在点A处时，能使得/。5/=/。加，此
14、时尸（1,0）;如图 5,在 BC 另一侧，当时，ZCBH = ZCBA ,过C点作CNLBH,垂足为点M图5由角平分线的性质可得：CN=C0=2,:BN=B0=4,由勾股定理可得：CH? = CN? + NH?且OH? + OB? = BH?,即 C”2=22 + N2,且(C + 2)2+42=(N” + 4)2；1 AQ解得：ch = - 9 nh = c；,H U,I 3 J设直线3”的函数解析式为:设直线3”的函数解析式为:y = px+q,16 q=s ,4p + q = 04p = 一一 316 q = 一3直线3H的函数解析式为:416y = 一x+一，33联立抛物线解析式与直
15、线BH的函数解析式，得:416y =x + 331 2 30y =x + x+222解得:x = 4尸。（与B点重合，故舍去），或5 x =328，y =9（5 28、 3可试卷第22页，共102页(、28 )综上可得，抛物线上存在点尸，使得NCBF=/DQM ,尸(-1,0)或尸.【点睛】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数 的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容,解决此题的关键是能结合图形理解题意， 能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，此题计算量较大，对学生的综合分析思维能力 要求也较高，属于压轴题类型，此题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思
16、想等.14.：在圆。内，弦与弦8c交于点GA。= C氏M,N分别是C3和A。的中点， 联结MN,OG.(1)求证：OG1MN；(2)联结AC,AM,CN,当CN/OG时，求证：四边形AC/VM为矩形.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)连结OM,ON,由M、N分别是和A。的中点，可得。M_L3C, ONLAD,由AB = CD,可得 OM = ON ,可证 RtEOPRtAFOP(HL), MG = NG, ZMGO = ZNGO, 根据等腰三角形三线合一性质OG1MN ;(2)设 OG 交 于 E,由 RtEOPRt/FOP ,可得 MG = NG ,可得 4CMN = ZANM
17、 ,CM =-CB = -AD = AN ,可证CMN会4VM可得 AW = OV,由 CNOG,可得 22ZAMN = ZCNM =90 ,由 NAMN+NCNM=180。可得 AMCN,可证 ACNM 是平行四边形，再由/4MN = 900可证四边形ACNM是矩形.【详解】证明：(1)连结OM,QN, /A/、N分别是C3和AZ)的中点，/. OM, ON为弦心品巨，A OMLBC, ON LAD,. ZGMO = ZGNO = 90 ,在 OO 中，AB = CD,:.OM = ON,在 RtOMG 和 RtONG 中,OM= ONOG = OG RtAGOMRtGON ( HL),:M
18、G = NG, ZMGO = ZNGO, :.OGA.MN(2)设OG交MN于E,., RtAGOMRtAGON( HL),:.MG = NG,：.ZGMN = ZGNM ,即 = CM =-CB = -AD = AN, 22在a CMN和 AMW中CM = ANZCMN = /ANM ,MN = NM.,.CMN冬MNM , . AM = CN, /AMN = ZCNM ,: CNOG, . ZCNM = ZGEM = 90 ,. ZAMN = ZCNM =90 , NAMNCNM = 900+90=180 , :.AMCN,试卷第24页，共102页ACNU是平行四边形,.ZAMN = 90
19、,四边形ACNM是矩形.【点睛】此题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性 质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平 行线判定与性质，矩形的判定是解题关键.15 .如图，在梯形A3CO中，是对角线AC的中点， 联结8。并延长交边CD或边AZ)于E.ADBC(1)当点E在边C。上时，求证：aDACsaOBC ；An假设8E_LCD,求0的值；(2)假设 DE = 2,OE = 3,求 8的长.【答案】(1)见解析；;；(2) 1 +后或3 + M【分析】(1)根据条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推 导
20、，/DAC = /DCA = NOBC = NOCB,由此可得Z)ACsZiOBC；假设比 J_CD,那么在中，由 N2 = N3 = N4.可得 N2 =/3 =/4 = 30。，作DHLBC于H.设那么BH = AD = 2m.根据30。所对直角边是斜边的An一半可知C = 2,由此可得0的值. jdC(2)当点E在AD上时，可得四边形A8CE是矩形，设AO = CD = x,在R3ACE和RtVOCE中，根据废2=废2,列方程62-(x-2尸=f22求解即可.当点E在C0上时，设AD = CD = x，由ZMCsoC,得空，所以 二 等， OC BC m BCrrru OC x2日 EO
21、 EC OC J 3x-2 OC所以 万二工一;由aEOCs石。5付不不=, 所以 解出xBC 2mEC EB CB x-2 m + 3 CB的值即可.【详解】(1)由 AD = CD,得 N1 = N2.由 AO/8C,得N1 = N3.因为8。是。斜边上的中线，所以03 = 00.所以/3 = N4.所以 N1 = N2 = N3 = N4.所以 aDACsQBC .图2假设BE_LCD,那么在R35CE中，由N2 = N3 = N4.可得N2 = N3 = N4 = 30。.作。HJ_3C 于.设 4D = CD = 2m,那么 3” = AD = 22.在 RtZXDC中，ZDCH =
22、 60, DC = 2m,所以 C = m.所以 BC=BH + CH = 3m.AD 2m 2所以正，:3（2）如图5,当点在AD上时，由A。/3co是AC的中点，可得OB = OE,所以四边形ABC石是平行四边形.又因为NABC = 90。，所以四边形A3CE是矩形,设A/) = CD = x,DE = 2,所以钻=x-2.OE = 3,所以AC = 6.在 RtACE和 RtVOCE 中，MJg CE2 = CE2,列方程62-2产 =加 一22.解得x = i + Ji,或 =（舍去负值）.如图6,当点E在CD上时，设AD = CD = x,OE = 2,所以C = x2.x 20C
23、二匚 a OC x 所以力下所以蔽二五设 OB = OC = m , OE = 3,那么 E3 = m+3.nr at一方面，由 zkD4cs意用。，W =, OC dC另一方面，由N2 = /4, ZBEC是公共角，得aEOCsECB.EO EC OC 3x-2 OC所以二二百二百所以-r布r百等量代换，得j = = =由二7 二六x 2 m + 3 2mx 2 2mv2 _9Qr - 9将2 = =A代入展,整理，得V6x 10 = 0.6x-2 m + 3解得x = 3 +a/用，或x = 3-J历（舍去负值）.试卷第26页，共102页2 D2 D【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与
24、性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三 角形边的关系列方程是解题的关键.16 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-/+云+。的图象与坐标轴相交于a、B、C三点，其中A点坐标为(3,0), 8点坐标为(TO),连接AC、BC.动点p从点A出 发,在线段AC上以每秒0个单位长度向点。做匀速运动；同时，动点Q从点笈出发， 在线段S4上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点 随之停止运动，连接PQ,设运动时间为/秒.(1)求、。的值；(2)在Q运动的过程中，当/为何值时，四边形8CPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点使aMPQ是
25、以点P为直角顶点的等腰直角三角形？假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) b=2, c=3； (2)仁2,最小值为4； (3)(三姮，生姮)48【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P作轴，垂足为E,利用形表示出四边形8CPQ的面积，求出，的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于区过M作轴的垂线，与“交于凡证明尸M也得至MF=PE=3 PF=QE=42,得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出1值，即可算出M的坐标.【详解】解：(1) ;抛物线产-/+区+。经过点A (3, 0), B (-1, 0),0 = 9
26、 + 3b + c0 = -l-/7 + c解得:(2)由(1)得：抛物线表达式为产-/+2x+3, C (0, 3), A (3, 0), .OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知:AP=4 ,过点。作轴，垂足为：.AE=PE=：.AE=PE=3 即 E (3-6 0), S 四边形BCPQS4ABC-SaAPQ=x4x3 x 3-(-1 + /)/=-r-2t + 62当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动,AC=132 + 寸=36,A5=4,/. 0/3,-2当仁2x=2时,2四边形3cPQ的面积最小，即为Jx222x2 + 6=4；(3) 点M是线段AC上方的抛物线上的点, 如图
27、，过点尸作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,.,PM。是等腰直角三角形，PM=PQ, NMPQ=90。,试卷第28页，共102页A ZMPF+ZQPE=90,又/MPF+NPMF=90,：./PMF=/QPE,在4以力/和 QE尸中，ZF = ZQEP NPMF = ZQPE , PM = PQ工PFMQAQEP (A4S),工 MF=PE=t, PF=QE=42,. EQ4-2什仁4,又 0E=3,点M的坐标为（32, 4-力,丁点M在抛物线）=-f+2x+3上,解得：仁吃姮或巴姮解得：仁吃姮或巴姮4-U- (3-20 2+2 (32) +3,8点的坐标为（3 + V1
28、723 + V17 xZ 8此题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解此题的关键.17 .如图，四边形ABCZ）是菱形，点、尸分别在边AB、AD的延长线上，且防=。9.连 接CE、 CF.求证：CE = CF.FM 2,丁 二 3， 2 FM3 BF = dBM? + FM? =.6【点睛】此题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识， 解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段.22.将一物体（视为边长为一米的正方形ABC。）从地面R2上挪到货车车厢内.如图所71示，刚开始点B与斜面所上
29、的点E重合，先将该物体绕点3（号按逆时针方向旋转至正 方形43和2的位置，再将其沿斯方向平移至正方形482c2。2的位置（此时点当与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.MG/PQ, /FBP = 30。,过点尸作产于点，米，尸=4米.6史（1）求线段尸G的长度;（2）求在此过程中点A运动至点A?所经过的路程.2【答案】（1） q米；（2） 4米. *【分析】（1）利用直角三角形RS”即可求解;（2）连接A/A2,那么必过点。/,分别求出A/2和4A的长，即可求出点A经过的路程.【详解】解：（1） 9：MG/PQ,：./FGM=/FBP=300.：.在 Rt/FGH 中,FG = 2FH
30、 = 2x- = -（米）.3 3【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到8C=CO, ZADC=ZABC,根据SAS证明 5EC也。bC,可得 CE=CF.【详解】解：四边形ABCD是菱形，：BC=CD, /ADC=/ABC,：.ZCDF=ZCBE,在 BECA。尸。中，BE = DFZCBE = ZCDF, BC = CD:BECQADFC (SAS), CE=CF.【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全 等的条件.18.如图，是O。的直径，点尸在上，NE4尸的平分线AE交于点E,过点 作EDJ_A尸，交AF的延长线于点。，延长。、A3相交于点
31、C.(1)求证：是的切线;试卷第30页，共102页（2）假设OO的半径为5, tan ZEAD = 1,求BC的长.【答案】（1）见解析；（2） y【分析】（1）连接OE,由题意可证OEH,且DEAF,即OE上DE,那么可证CD是。的切线；ATy AE DEi（2）连接 BE,证明 ADEs/AEB,得到=，根据 tanZEAD=,在 ABEAE AB BE2中，利用勾股定理求出B石和AE,可得AO和。区再证明 COEs/xcAO,得到孚二包, CA AD设BC=x,解方程即可求出【详解】解：（1）连接。区*. OA=OE,：.ZOAE=ZOEA,TAE平分/朋/，：/OAE=/DAE,：/O
32、EA=/EAD,：.OE/AD,9：EDAF,：.OELDE,CO是。的切线；(2)连接.A3为直径，A ZAEB=90=ZD,又/DAE=/BAE,：.AADEsAAEB, AD AE DE标一布一法又 tan ZEAZ)=,乙.DE BE 1 rl,.7H = 彳F = 3，那么 A=23E,又 A8=10,ZJlJL-Z ZlJLj /在 ABE 中，AE2+BE2=AB2, BP QBE) 2+BE2=102,解得：BE=2逐,那么AE=46,.AD 445 _ DE9 475 10 - 2近解得：AO=8, DE=4,? OE/AD,:.XCOEs XCAD,.CO OE9caad设 BC=x,解得:10x 二一经检验：户与是原方程的解, 故8c的长为号.【点睛】 此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义, 作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是此题的关键.19.在平面直角坐标系中，。为原点，043是等腰直角三角形，ZOBA =