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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 1-必修 5 学问点总结高中数学 必修 1 学问点第一章 集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 . （ 4）集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x|
2、 x 具有的性质 ,其中 x为集合的代表元素 . . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 . 【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名师归纳总结 名称记号意义性质n示意图A第 1 页,共 40 页子集AB1AA ABB（或A 中的任一元素都属2ABA于 B 3如AB且 BC ,就 AC真子集4如AB且 BA ,就 AB或AB AB,且 B 中至（1）A （ A 为非空子集）BA（或 BA ）少有一元素不属于A 2如 AB且BC,就AC集合ABA 中的任一元素都
3、属1AB AB于 B,B 中的任一元素相等2BA 都属于 A 1个非空子集,（ 7）已知集合 A 有n n1个元素,就它有 2n 个子集,它有 2n1个真子集,它有 2它有 2n2非空真子集 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号B意义A （1） AA AUA性质 e UA UA示意图Bx xA 且A交集（2） ABAxB （3） AABB并集ABx xA 或（1） AAA2AAB（2） AABxB （3） AAABB1A e U补集e UAx xU,且x痧 ABA . UB痧ABUA .
4、UB【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法|axb|不等式b0c c0把 ax解集x|a ,x|a ax|axa |x|a a0x xa 或xa b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 |c ax|x|a a0型不等式来求解（ 2）一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数名师归纳总结 y2 axbxc a0x 1,2bb24acx 1|x2bO第 2 页,共 40 页的图象一元二次方程2 axbxc0a02 a无实根2a2 ax的根0（其中x 1x 2xxRbbxc0ax xx 或xx 2的解集2a- - - - - - -精选学习资料 -
5、- - - - - - - - 2 axbxc0a0x x 1xx 2的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法就f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯独确定的数 f x和它对应, 那么这样的对应 （包括集合A,B以及A到B的对应法就f）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a b是两个实数,且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 , a
6、 b；满意a x b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , a b , , a b ；满意 x a x a x b x b 的实数 x 的集合分别记做 , , a , , , , , 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于b,而后者必需a b （ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就：f x 是整式时,定义域是全体实数1f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,
7、当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于ytanx 中,xk2kZ零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集名师归纳总结 对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 , a b,其复合函数f g x 第 3 页,共 40 页的定义域应由不等式ag x b 解出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实
8、际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数 y f x可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程2a y x b y x c y 0,就在 a y 0 时,由于 x y 为实数,故必需有b 2 4 c y 0,从而确
9、定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合, 假
10、如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素, 在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到B 的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a的象,元素 a叫做元素 b 的原象 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性定义及判定方法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的定义图象判定方
11、法性 质函数的假如对于属于定义域I内某yy=fXfx xx（ 1）利用定义个区间上的任意两个自变量（ 2）利用已知函数的的值 x1、x2, 当 x1 x2时,都单调性o（ 3）利用函数图象 （在有 fx1fx2, 那 么 就 说fx fx 在这个区间上是 增函数某个区间图x1x2象上升为增）（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I内某yy=fX（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量ofx 单调性的值 x1、 x2,当 x1fx2, 那 么 就 说某个区间图fx 在这个区间上是 减函数x1x 2象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,
12、两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数yf g x , 令ug x , 如yf u 为 增 ,ug x 为 增 , 就xyf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u 为增 ,ug x 为 减 , 就yf g x 为 减； 如yf u 为 减,ug x 为 增, 就yyf g x 为减（ 2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xf x 分别在 ,a 、 a,上为增函数,分别在oa,0、 0,a上为减函数（ 3）最大（小）值定义名师归纳总结 一般地,设函数yf x 的定义域为 I
13、,假如存在实数M 满意：（1）第 5 页,共 40 页对于任意的 xI ,都有f x M；（ 2）存在0xI ,使得f x 0M 那么,我们称M是函数f x 的最大值,记作fmax M 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的xI ,都有f x m ；（ 2）存在0xI ,使得f x 0m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fmax m 【1.3.2 】奇偶性（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要
14、先任意一个x,都有fx=判肯定义域是否关于fx,那么函数fx 叫做 奇函原点对称）数（ 2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x,都有 fx=fx,判肯定义域是否关于那么函数 fx 叫做 偶函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在x0处有定义,就f00奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇
15、函数补充学问函数的图象（ 1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xhhyf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf x kk伸缩变换yf 01, 伸1, 缩yfxyf x 0A A1, 缩1, 伸yAf 对称变换名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 40 页精选学习资料 - -
16、- - - - - - - yf x x 轴yf x yf x y 轴yfx yf x 原点yfx yf x 直线yxyf1 yf x 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy轴对称图象yf|x|yf x 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f |（ 2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章 基
17、本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念假如 x na a R x R n 1,且 n N,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a没有 n 次方根式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数；当n为偶数时,a 0 根 式 的 性 质 ： n a n a ； 当 n 为 奇 数 时 ,na na； 当 n 为 偶
18、 数 时 ,na n| a | a a 0a a 0 （ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：amnama0,m nN,且n10 的正分数指数n幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：am1mn1m a0,m nN,且n1 0nnaa的负分数指数幂没有意义（ 3）分数指数幂的运算性质留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数名师归纳总结 arasr as a0, , r sR R arsrs aa0, , r sR 第 7 页,共 40 页 ab rr ra b a0,b0,r- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【2.1.2 】指数函数及其性质（ 4
19、）指数函数函数名称定义a函数yaaxa指数函数1叫做指数函数a10且a10yyxyaxy图象y1y10,10,1定义域OxOxR值域0,0时,y1图象过定点 0,1 ,即当x过定点奇偶性非奇非偶在 R 上是减函数单调性在 R 上是增函数函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形a 变化对图象的影响ax1 x0ax1 x0在第一象限内, a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义如axN a0,且a1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlogaN ,其中 a 叫做底数,N 叫做真数负数和零没有对
20、数对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（ 2）几个重要的对数恒等式log 10, logaa1, logaabb （ 3）常用对数与自然对数名师归纳总结 常用对数： lg N ,即log 10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中e2.71828 ）第 8 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么加法： logaMalogaNlog aMN减法： logaMlogaNlogaM Nb1数乘：nlogMlogaMnnRalog a NNNlogbNb0
21、,且n blog logabMnaM b0,nR换底公式：logalogba【2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数y函数y对数函数1叫做对数函数11log ax名称定义logax a0且aa10ax1ylog axyxy图象1,0定义域O1,0x0,Ox值域R1时,y0过定点图象过定点 1,0 ,即当x奇偶性非奇非偶在 0,上是减函数在 0,上是增函数单调性函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形a 变化对图象的影响logax0 0x1logax0 0x1在第一象限内, a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高6 反函数
22、的概念名师归纳总结 设函数yf x 的定义域为A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子x 如第 9 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子x , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子x 表示 x 是 y 的函数,函数x 叫做函数yf x的反函数,记作xf1 y ,习惯上改写成yf1 x （7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式yf x 中反解出xf1 y ；将xf1 y 改写成yf1 x ,并注明反函数的定义域（ 8）反函数的性质原函数 y f
23、x 与反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称函数 y f x的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 x 的值域、定义域如 P a b , 在原函数 y f x 的图象上,就 P b a 在反函数 , y f 1 x 的图象上一般地,函数 y f x 要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般地,函数 yx叫做幂函数,其中x为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质名师归纳总结 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象 幂函数是偶函数时,图象分布在第第 10 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - -
24、 - - - - - - 一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1单调性：假如 0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数假如 0 ,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴奇偶性：当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数当 q（其中 p q 互pq q质, p 和 q Z）,如p为奇数q为奇数时, 就 y x p是奇函数, 如 p 为奇数 q 为偶数时, 就 y x pq是偶函
25、数,如p 为偶数 q 为奇数时,就yxp是非奇非偶函数图象特点：幂函数yx,x0,当1 时,如 0x1,其图象在直线yx 下方,如x1,其图象在直线yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 上方,如x1,其图象在直线yx 下方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f x ax2x 2bxc a0顶点式：f x a xh2 k a0两根式：f x a xx 1xa0（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（ 3
26、）二次函数图象的性质名师归纳总结 二次函数f x ax2bxc a0的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb 2 a,顶点坐标是第 11 页,共 40 页b,4acb22a4 a上递增, 当xb时,当a0时,抛物线开口向上,函数在 ,b上递减,在 b,2 a2a2afmin 4aca2 b；当a0时,抛物线开口向下,函数在,b上递增,在 b,上2 a2a4递减,当xb时,fmax 4acab22a4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数f x ax2bxc a0当b24ac0时,图象与 x 轴有两个交点M x ,0, M x ,0,| M M 2| |
27、x 1x 2| |（ 4）一元二次方程2 axbxc0 a0根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不 够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程2 axbxc0 a0的两实根为x x ,且x 1x 令xbf x ax 2bxc ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： a 对称轴位置：2a判别式：端点函数值符号 kx1x2fk0yxa0fkx 10Oyxbx2akx 1Ox2xx2bka02 a x1 x2 k名师归纳总
28、结 a0yxfk0ax 1ybx0第 12 页,共 40 页x2aOx2kxOkx 1x 2b0fk2 a x1 kx2Oykaf k 0 x 1yfk0a0x 1O kx2xx2xf k0a0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k1 x1 x2k2ya0y00xb00,并同时考虑fk1=0fk 12a0fk20Ok 1x 1x2k2xOk 1x 1x2k 2x有且仅有一个根xbfk 1fk2a2 af k1 f k2x1（或 x2）满意 k1 x1（或 x2） k2或 f k2=0 这两种情形是否也符合yk 1fk 10a0Oyf 102k 20Ox
29、1k 2x2x1xk 1xxfk20a0fk2 k1 x1 k2p1x2p2此结论可直接由推出（ 5）二次函数f x 2 axbxc a0在闭区间 p q 上的最值1 2pq bq,就bx设f x 在区间 p q 上的 最大值为 M ,最小值为 m ,令x0（）当a0时（开口向上）b如如bp,就mf p 如pbq,就mf2a2 a2a2amf q fp如bqff q xpfO0qfOxOfbfb 2 a,就Mfpqffx0f p b,就 2 M a2 ax2 a2a名师归纳总结 O0x qfxp 0xffObx第 13 页,共 40 页fqf2 a- - - - - - -p b精选学习资料
30、- - - - - - - - - 当a0时 开口向下 如bp,就Mfp如pbq,就Mfb如bq,就ff bx2a2a2a2aMf q ffbxpqfbf2a2a2appOOOxfffqq如 xbx0,就mf q bx 0,就mf2a2 abffbff 2a2aqp0x0xOxOffq第三章函数的应用 p一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0 成立的实数 x 叫做函数y f x x D 的零点；2、函数零点的意义： 函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根, 亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x
31、0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：求函数 y f x 的零点：1（代数法）求方程 f x 0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y f x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：名师归纳总结 二次函数yax2bxc a0 第 14 页,共 40 页） ,方程ax2bxc0有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点） ,方程ax2bxc0有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学 必修 2 学问点第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特点 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前