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1、2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编专题9：四边形锦元数学工作室 编辑一、 选择题1.（上海市2006年4分）在下列命题中，真命题是【 】（A） 两条对角线相等的四边形是矩形；（B） 两条对角线互相垂直的四边形是菱形；（C） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（D） 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。【答案】D。【考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【分析】A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形既是矩形又
2、是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确。故选D。2.（上海市2007年4分）已知四边形中，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是【 】ABCD【答案】D。【考点】正方形的判定。【分析】由A=B=C=90可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形。故选D。3.（上海市2011年4分）矩形ABCD中，AB8，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【 】(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、
3、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内【答案】 C。【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=。点B、C到P点的距离分别为：PB=6，PC=。由PB半径PD，PC半径PD，得点B在圆P内、点C在外。故选C。二、填空题1. 上海市2002年2分）已知AD是ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 【答案】AB=AC或B=C或AE=AF。【考点】菱形的判定
4、，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC或B=C或AE=AF。2.（上海市2003年2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是4和2，那么，阴影部分的面积为 。【答案】22。【考点】正方形的性质。【分析】根据已知可求得两个正方形的边长，从而得到矩形的长与宽，根据面积公式可求得矩形的面积，从而不难求得阴影部分的面积：两个相邻的正方形面积分别为4和2，两个正方形的边长为2和。矩形的长为2，宽为2。矩形的面积=42。阴影部分的面积为4242=22。3.（上海市2003年2分）正方形ABCD的边长为1。如果
5、将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D处，那么tgBAD 。【答案】。【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数的定义。【分析】根据题意画出图形根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD的长，再运用三角函数的定义解答即可：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD=。BD=BD=。tanBAD=。4,（上海市2004年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为 。【答案】。【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】连接CH，得：CFHCDH（HL）。DCH=DCF=（9030
6、）=30。在RtCDH中，CD=3，DH= CD tanDCH=。5.（上海市2005年3分）一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为 【答案】7。【考点】梯形中位线定理。 【分析】根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算：梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为。6.（上海市2007年3分）如图，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： 【答案】AFDEFC（或EFCEAB，或EABAFD）。【考点】相似三角形的判定，平行四边形的性质。【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可： 四边形ABCD是平
7、行四边形，ADBC，ABCD，AFDEFCEAB。7.（上海市2008年4分）如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 【答案】。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形是平行四边形，。 。8.（上海市2009年4分）在四边形中，对角线与互相平分，交点为在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 【答案】AC=BD或有个内角等于900。【考点】矩形的判定。【分析】因为在四边形中，对角线与互相平分，所以四边形是平行四边形。根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是
8、一个角是直角或者对角线相等。三、解答题1.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q图1图2图3探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图
9、1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQPB。证明如下： 过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形（如图1）。NPNCMB。 BPQ90，QPNBPM90。而BPMPBM90，QPNPBM。又QNPPMB90，QNPPMB（AAS）。PQPB。 （2）作PTBC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。 PTCBPN 又PNQPTB90，PBPQ，PBTPQN（HL）。S四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN
10、 CN2（1）2x21yx21（0x）。（3）PCQ可能成为等腰三角形。 当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0。 当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）此时，QNPMx，CPx，CNCP1x。 CQQNCNx（1x）x1。当xx1时，得x1。【考点】二次函数综合题，正方形的性质。【分析】（1）过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得QNPPMB，故PQ=PB。（2）由（1）的结论，根据图形可得关系
11、S四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN，代入数据可得解析式。（3）分当点P与点A重合，与当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。2.（上海市2003年12分）如图，在正方形ABCD中，AB1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点： （1）当DEF45时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AEx，FCy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得DEF，如图，当EF时，讨论ADD与EDF是否
12、相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。【答案】解：（1）证明：DEF=45，DFE=90DEF=45。DFE=DEF。DE=DF。又AD=DC，AE=FC。AB是圆B的半径，ADAB，AD切圆B于点A。同理：CD切圆B于点C。又EF切圆B于点G，AE=EG，FC=FG。EG=FG，即G为线段EF的中点。（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1y，根据勾股定理，得（x+y）2=（1x）2+（1y）2，y=（0x1）。（3）当EF=时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x=，解得x1=或x2=。当AE=时，AD1DED1F
13、，证明如下：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：EDFED1F，EFDD1且DH=D1H。AE=，AD=1，AE=ED。EHAD1，AD1D=EHD=90。又ED1F=EDF=90，ED1F=AD1D。ED1FAD1D。当AE=时，ED1F与AD1D不相似。【考点】切线的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定。【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点。（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式。（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值分两种情况分
14、别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似。3.（上海市2004年7分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD/BC，翻折梯形ABCD，使 B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E。若AD=2，BC=8，求： （1）BE的长； （2）的正切值。【答案】解：（1）设 ，B点折后与点D重合 ， 。 ，。 （2）， ， 即的正切值为。【考点】等腰梯形的性质，翻折对称的性质，解直角三角形。【分析】（1）由翻折对称的性质得到DE=BE，由已知可求得EC的值，从而可得到BE的长。（2）已知DE=BE，则根据正切公式即可求得其值。4.（上
15、海市2005年10分）已知：如图，圆O是ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.【答案】证明：AB为弦，CD为直径所在的直线且ABCD， AD=BD，即CD是AB的垂直平分线。 AC=BC。 又E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点， DF=CE=AC，DE=CF=BC。DE=DF=CE=CF。 四边形CEDF为菱形。【考点】菱形的判定，三角形中位线定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质。【分析】由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，由线段垂直平分线的性质，可得AC=BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，
16、得DF=CE=AC，DE=CF=BC，即DE=DF=CE=CF，从而可得四边形CEDF为菱形。5.（上海市2006年12分）已知：如图，在梯形中，点，分别在边，上，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形。【答案】证明：（1）在梯形中，。 ，。 ，即。 ，四边形是平行四边形。 （2）， 。 四边形是平行四边形，四边形是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定。【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，由于，只需证明即可。根据对边对等角，和等腰梯形的性质得到则，得到，从而得证。 （2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角根据的内角和是1
17、80，结合和，得到，由平角定义得EFG=90。6.（上海市2007年12分）如图，在梯形中，平分，交的延长线于点，（1）求证：；（2）若，求边的长【答案】解：（1）证明：，。 平分，。 又，。 梯形是等腰梯形，即。 （2）如图，作，垂足分别为，则。 在中，。 又，且， ，得。 同理可知，在中，。 ，。 又，。 ，。 ，四边形是平行四边形。 。【考点】等腰梯形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）要求证，即证明梯形是等腰梯形，只要证明即可。 （2）作，垂足分别为，则，因而本题就可以转化为求的长度的问题，根据勾股定理即可求出。7.（上海市2008年12分）
18、如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，。 又是等边三角形，即。 平行四边形是菱形。 （2）是等边三角形，。 ，。 ，。 四边形是菱形，。 四边形是正方形。【考点】平行四边形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定。【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定证明即可。 （2）根据一个角是直角的菱形是正方形的判定证明即可。8.（上海市2008年14分）已知，（如图）是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数解析
19、式，并写出函数的定义域（5分）；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长（4分）；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长（5分）【答案】解：（1）取中点，联结， 为的中点， ，。 又，。 ，得。 （2）由已知得。 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， ，即。 解得，即线段的长为。 （3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得。 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；。 当时，。 ，易得得 当时，。 又，。 ，即，得， 解得，（舍去）即线段的长为2。 综上所述，所求线段的长为8或2。【考点】梯形的中位线性质，勾股定理，两圆外切的性质，相似三角形
20、的判定和性质。【分析】（1）根据梯形的中位线性质，可得，由可知是边上的高。因此，。由于是射线上的动点（点与点不重合），从而。 （2）根据两圆外切，圆心距等于两半径之和，列方程解之即可。 （3）根据相似三角形的判定和性质，由于。从而只要或即可。因此分此两情况讨论即可。 9.（上海市2009年10分）如图，在梯形中，联结（1）求的值；（2）若分别是的中点，联结，求线段的长【答案】解：（1）过点作，垂足为点。 ， 。 又，。 。 （2）， 。 又分别是的中点， 。【考点】等腰梯形的性质，锐角三角函数定义，梯形的中位线。【分析】（1）过点作，垂足为点，在中应用锐角三角函数定义可求，从而求出。在中应用锐
21、角三角函数定义可求的值。 （2）根据等腰梯形的性质，可求出，从而根据梯形的中位线定理求出线段的长。10（上海市2010年12分）已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=AD（如图所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）ABC60，EC=2BE，求证：EDDC.【答案】解：（1）作图如下： 证明：AB=AD，BAO=DAO，AO=AO，ABOAOD（SAS）。 BO=DO。 AD/BC, OBE=ODA, OAD=OEB，BOEDOA（AAS）。BE=AD。 BEAD。四边形ABDE为平
22、行四边形。 又AB=AD，四边形ADBE为菱形。 （2）设DE=2a，则CE=4a，过点D作DFBC。 ABC60，DEF=60。EDF=30。 EF=DE=a，则DF=，CF=CEEF=4aa=3a。 DE=2a，EC=4a，CD=构成一组勾股数。 EDC为直角三角形。EDDC。【考点】梯形的性质，角平分线的性质，菱形的判定，勾股定理和逆定理。【分析】（1）分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，连接AP，则AP即为BAD的平分线，且AP交BC于点E。通过证BOEBOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，
23、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得所求的结论。 （2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DFBC于F，在RtDEF中，易知DEF=ABC=60，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，从而表示出FC的长；在RtCFD中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，从而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理逆定理证得DEDC。11.（上海市2011年12分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EFDE联结BF、CD、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形； （2）如果DE2BECE，求证四边形A
24、BFC是矩形 【答案】解：（1）证明：连接BD。梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。ACBF。四边形ABFC是平行四边形；（2）DE2BECE，。DEB=DEC=90，BDEDEC。CDE=DBE，BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90。四边形ABFC是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。