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1、【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题10 四边形选择题1.（上海市2006年4分）在下列命题中，真命题是【 】一、 两条对角线相等的四边形是矩形；二、 两条对角线互相垂直的四边形是菱形；三、 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；四、 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。【答案】D。【考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【分析】A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形既是矩形又是菱形的四边
2、形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确。故选D。2.（上海市2007年4分）已知四边形中，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是【 】ABCD【答案】D。【考点】正方形的判定。【分析】由A=B=C=90可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形。故选D。3.（上海市2011年4分）矩形ABCD中，AB8，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【 】(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内
3、；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内【答案】 C。【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=。点B、C到P点的距离分别为：PB=6，PC=。由PB半径PD，PC半径PD，得点B在圆P内、点C在外。故选C。4.（2013年上海市4分）在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【 】（A）BDC =BCD （B）ABC =DAB （C）ADB =DAC （D）AOB =BOC 【答案】C。【考点】等腰梯形的判定，平行的性质
4、，等腰三角形的判定。【分析】根据等腰梯形的判定，逐一作出判断： A.由BDC =BCD只能判断BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形； B.由ABC =DAB和ADBC，可得ABC =DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；二、填空题1.（ 上海市2002年2分）已知AD是ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 【答案】AB=AC或B=C或AE=AF。【考点】菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰
5、三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC或B=C或AE=AF。2.（上海市2003年2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是4和2，那么，阴影部分的面积为 。【答案】22。【考点】正方形的性质。【答案】7。【考点】梯形中位线定理。 【分析】根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算：梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为。4.（上海市2007年3分）如图，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： 【答案】AFDEFC（或EFCEAB，或EABAFD）。【考点】相似三角形的判定，平行四边形的性质。【分析】根据平
6、行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可： 四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AFDEFCEAB。5.（上海市2008年4分）如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 【答案】。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形是平行四边形，。 。为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等。三、解答题1.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段
7、PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQPB。证明如下： 过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形（如图1）。NPNCMB。 BPQ90，QPN
8、BPM90。而BPMPBM90，QPNPBM。又QNPPMB90，QNPPMB（AAS）。PQPB。 （2）作PTBC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。 PTCBPN 又PNQPTB90，PBPQ，PBTPQN（HL）。S四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN CN2（1）2x21yx21（0x）。（3）PCQ可能成为等腰三角形。 当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0。 当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）此时，QNPMx，CPx，CNCP1x。 CQQNCNx
9、（1x）x1。当xx1时，得x1。【考点】二次函数综合题，正方形的性质。【分析】（1）过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得QNPPMB，故PQ=PB。（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN，代入数据可得解析式。（3）分当点P与点A重合，与当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。【答案】解：
10、（1）证明：DEF=45，DFE=90DEF=45。DFE=DEF。DE=DF。又AD=DC，AE=FC。AB是圆B的半径，ADAB，AD切圆B于点A。同理：CD切圆B于点C。又EF切圆B于点G，AE=EG，FC=FG。EG=FG，即G为线段EF的中点。（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1y，根据勾股定理，得（x+y）2=（1x）2+（1y）2，y=（0x1）。（3）当EF=时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x=，解得x1=或x2=。当AE=时，AD1DED1F，证明如下：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：EDFED1F，EFDD1且D
11、H=D1H。AE=，AD=1，AE=ED。EHAD1，AD1D=EHD=90。又ED1F=EDF=90，ED1F=AD1D。ED1FAD1D。当AE=时，ED1F与AD1D不相似。 （1）BE的长；（2）的正切值。【答案】解：（1）设 ，B点折后与点D重合 ， 。 ，。 （2）， ， 即的正切值为。【考点】等腰梯形的性质，翻折对称的性质，解直角三角形。【分析】（1）由翻折对称的性质得到DE=BE，由已知可求得EC的值，从而可得到BE的长。（2）已知DE=BE，则根据正切公式即可求得其值。4.（上海市2005年10分）已知：如图，圆O是ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边
12、AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.【答案】证明：AB为弦，CD为直径所在的直线且ABCD， AD=BD，即CD是AB的垂直平分线。 AC=BC。 又E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点， DF=CE=AC，DE=CF=BC。DE=DF=CE=CF。 四边形CEDF为菱形。【考点】菱形的判定，三角形中位线定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质。【分析】由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，由线段垂直平分线的性质，可得AC=BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，得DF=CE=AC，DE=CF=BC，即DE=DF=CE=CF，从而可得四边形CEDF为菱形。5.（
13、上海市2006年12分）已知：如图，在梯形中，点，分别在边，上，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形。【答案】证明：（1）在梯形中，。 ，。 ，即。 ，四边形是平行四边形。 （2）， 。 四边形是平行四边形，四边形是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定。【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，由于，只需证明即可。根据对边对等角，和等腰梯形的性质得到则，得到，从而得证。 （2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角根据的内角和是180，结合和，得到，由平角定义得EFG=90。6.（上海市2007年12分）如图，在梯形中，平分，交
14、的延长线于点，（1）求证：；（2）若，求边的长【答案】解：（1）证明：，。 平分，。 又，。 梯形是等腰梯形，即。 （2）如图，作，垂足分别为，则。 在中，。 又，且， ，得。 同理可知，在中，。 ，。 又，。 ，。 ，四边形是平行四边形。 。【考点】等腰梯形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）要求证，即证明梯形是等腰梯形，只要证明即可。 （2）作，垂足分别为，则，因而本题就可以转化为求的长度的问题，根据勾股定理即可求出。7.（上海市2008年12分）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）
15、若，求证：四边形是正方形【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，。 又是等边三角形，即。 平行四边形是菱形。 （2）是等边三角形，。 ，。 ，。 四边形是菱形，。 四边形是正方形。（5分）；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长（4分）；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长（5分）【答案】解：（1）取中点，联结， 为的中点， ，。 又，。 ，得。 （2）由已知得。 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， ，即。 解得，即线段的长为。 （3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得。 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；。 当时，。 ，易得得
16、 当时，。 又，。 ，即，得， 解得，（舍去）即线段的长为2。 综上所述，所求线段的长为8或2。解之即可。 （3）根据相似三角形的判定和性质，由于。从而只要或即可。因此分此两情况讨论即可。 9.（上海市2009年10分）如图，在梯形中，联结（1）求的值；（2）若分别是的中点，联结，求线段的长【答案】解：（1）过点作，垂足为点。 ， 。 又，。 。 （2）， 。 又分别是的中点， 。【考点】等腰梯形的性质，锐角三角函数定义，梯形的中位线。【分析】（1）过点作，垂足为点，在中应用锐角三角函数定义可求，从而求出。在中应用锐角三角函数定义可求的值。 （2）根据等腰梯形的性质，可求出，从而根据梯形的中位
17、线定理求出线段的长。10（上海市2010年12分）已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=AD（如图所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）ABC60，EC=2BE，求证：EDDC.【答案】解：（1）作图如下： 证明：AB=AD，BAO=DAO，AO=AO，ABOAOD（SAS）。 BO=DO。 AD/BC, OBE=ODA, OAD=OEB，BOEDOA（AAS）。BE=AD。 BEAD。四边形ABDE为平行四边形。 又AB=AD，四边形ADBE为菱形。 （2）设DE=2a，则CE=
18、4a，过点D作DFBC。 ABC60，DEF=60。EDF=30。 EF=DE=a，则DF=，CF=CEEF=4aa=3a。 DE=2a，EC=4a，CD=构成一组勾股数。 EDC为直角三角形。EDDC。【考点】梯形的性质，角平分线的性质，菱形的判定，勾股定理和逆定理。而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理逆定理证得DEDC。11.（上海市2011年12分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EFDE联结BF、CD、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形； （2）如果DE2BECE，求证四边形ABFC是矩形【答案】解：（1）证明：连接
19、BD。梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。ACBF。四边形ABFC是平行四边形；（2）DE2BECE，。DEB=DEC=90，BDEDEC。CDE=DBE，BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90。四边形ABFC是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。
20、（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。12.（2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE与BD交于点G（1）求证：BE=DF；（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形【答案】证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，ABC=ADF，BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即：BAE=DAF。BAEDAF（ASA）。BE=DF。（2）四边形ABCD是菱形，ADBC。ADGEBG。又BE=DF ，。GFBC。DGF=DBC=BDC。DF=GF。又BE=DF ，BE=GF。四边形BEFG是平行四边形。16