《2022年高等数学教案重积分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学教案重积分.docx（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第九章重积分教学目的：1、懂得二重积分、三重积分的概念,明白重积分的性质,知道二重积分的中值定理.2、把握二重积分的（直角坐标、极坐标）运算方法.3、把握运算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）运算方法.4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）.教学重点：1、二重积分的运算（直角坐标、极坐标）.2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）运算.3、二、三重积分的几何应用及物理应用.教学难点：1、 利用极坐标运算二重积分.2、 利用球坐标运算三重积分.3、
2、物理应用中的引力问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -9 1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z fx y 这里 fx y 0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来争论如何运算曲顶
3、柱体的体积第一 用一组曲线网把D 分成 n 个小区域：12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面 这些柱面把原先的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体 在每个i 中任取一点 ii 以 f ii 为高而底为i 的平顶柱体的体积为： f iii i1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个平顶柱体体积之和：Vnf i ,i ii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_密 只需取极限 即 Vnlimf i ,i i 0 i 1可编辑资料 -
4、- - 欢迎下载精品_精品资料_其中是个小区域的直径中的最大值2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域 D 它在点 x y处的面密度为x y 这里x y0 且在 D 上连续现在要运算该薄片的质量M用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n把各小块的质量近似的看作匀称薄片的质量ii i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值nM i ,i i i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将分割加细 取极限得到平面薄片的质量Mnlim0 i 1 i ,i i可编辑资料 - -
5、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其中是个小区域的直径中的最大值定义设 fx y是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域12n其中i 表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个i 上任取一点 ii 作和nf i ,i ii 1假如当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存
6、在就称此极限为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx y在闭区域 D 上的二重积分 记作Df x, yd即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydDnlimf i , i i 0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx y被积函数 fx yd被积表达式 d 面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和直角坐标系中的面积元素假如在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i 的边长为xi 和 yi 就ixiy
7、i 因此在直角坐标系中有时也把面积元素d 记作 dxdy 而把二重积分记作f x, ydxdyD其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性 当 fx y在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数 fx y在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 fx y在闭区域 D 上连续 所以 fx y在 D 上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义假如 fx y0 被积函数 fx y可说明为曲顶柱体的在点x y处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积假如 fx y是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的肯定值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的可编辑资料 -
8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二二重积分的性质性质 1设 c1、c2 为常数就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1 f x, yDc2 gx, ydc1f x, ydDc2gx, ydD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2 假如闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域就在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的
9、二重积分的和例如 D 分为两个闭区域D1 与 D2 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydDf x, ydD1f x, ydD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 31 ddDD为 D 的面积 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 4 假如在 D 上 fx ygx y 就有不等式f x, ydg x, yd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DD特别的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|f x, yd|D| f x, y|dD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
10、_精品资料_性质 5 设 M、m 分别是 fx y在闭区域 D 上的最大值和最小值为 D 的面积 就有mf x, ydMD性质 6二重积分的中值定理 设函数 fx y在闭区域 D 上连续为 D 的面积 就在 D上至少存在一点 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydDf ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_92二重积分的运算法一、利用直角坐标运算二重积分X型区域D1xy2x a xbY型区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 25 页 - - - - - - - - -
11、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -D1xy2x c yd混合型区域设 fx y0 D x y|1xy2x a xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时二重积分体的体积f x, ydD在几何上表示以曲面z fx y为顶 以区域 D 为底的曲顶柱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于x0a b曲顶柱体在xx0 的截面面积为以区间1x02x0 为底、以曲线z fx0 y为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为2 x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax01 x0f x
12、0, ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bVA xdxab2 xa1xf x, ydydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即Vf x, ydDb2 xa1xf x, ydydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydDb2 xdxa1xf x, ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 假如区域 D 为 Y型区域D1
13、xy2x c yd就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydDd2 ydyc1 yf x, ydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1运算xydD其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 画出区域 D解法 1 可把 D 看成是 X型区域1 x2 1 yx 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2y2 x1231 x4x2 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xydDxydydx111 x2 1 dx2 1
14、xxdx2 42 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注积分仍可以写成xyd2 xdxxydy2xdxxydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111Dy解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域1 y2 yx2 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3xydD22
15、xydxdy1y2x21 y22 dy22 y1y dy 22y4 29 y818可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 运算y1x2Dy2 d其中 D 是由直线 y 1、x1 及 yx 所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解画出区域 D 可把 D 看成是 X型区域1 x 1 xy1 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2211221 13221113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1xy dDdxy1x1xydy1x31y 2 xdx31| x|1dx可编辑资料 -
16、- - 欢迎下载精品_精品资料_231x1dx13 02也可 D 看成是 Y型区域：1y 11 xy 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1x2y2 d1yydy1x2y2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 运算xydD其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解积分区域可以表示为DD1+D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 D1 : 0x1,xyxD2 : 1x4, 2yx 于是可编辑资料 - - - 欢迎下
17、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xydD1xdxxydy0x4xdx1x 2xydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分区域也可以表示为D1y2 y2xy2 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyd2y1dy y22xydx2x2y 2ydyy212 y y2 2y5dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D14y43y2432y212216y256 15 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论积分次序的挑选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -
18、- - - -第 6 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22 及 x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8 就行了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一卦限部分是以D x y| 0yR2x2, 0 x 为底 以 zR2x2顶的曲顶柱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
19、欢迎下载精品_精品资料_体 于是22RR 2x222R22R2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V8RDR2x d8dx002163Rx dy8R0xy0dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8R0x dxR 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 利用极坐标运算二重积分有些二重积分 积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较便利且被积函数用极坐标变量、 表达比较简洁这时我们就可以考虑利用极坐标来运算二重积分f x, ydD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按二重积分的定义f x, ydDnlimf i ,i i 0 i 1可编辑
20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面我们来争论这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点 O 动身的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域 小闭区域的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1 i2i 212i2ii1 2i2i ii可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii2i iiiii可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中i 表示相邻两圆弧的半径的平均值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在i 内取点 i ,i 设其直角坐标为 ii 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
21、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有ii cos iii sini可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n于是 limf i , i 0 i 1nilimf 0 i 1i cos i ,i sin i iii可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
22、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f x, ydDf cos ,Dsindd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如积分区域 D 可表示为12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就f Dcos,sindd2 d f 1 cos ,sind可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论 如何确定积分限 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Df cos,sinddDf cos,sindd df 0cos,sind可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 df 00cos,sind
23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5运算e x2Dy2 dxdy其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解在极坐标系中闭区域 D 可表示为20a 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2于是e xy2 dxdy2e dd2a2edd2 1 ea d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D1 1e2a2 d20D1e00a2 020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注此处积分e x
24、2y2 dxdy 也常写成e x2y 2dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Dx2y2 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2利用e xy2 dxdy1ea2 运算广义积分e x dx20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2 a 2设 D1 x y|
25、x2y2R2 x0 y0 D2 x y|x2y22R2 x 0 y0S x y|0 xR 0 yR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显 D1SD2 由于e x 2y20 从就在这些闭区域上的二重积分之间有不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x 2D1y2 dxdye x 2Sy2 dxdye x2D2y2 dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于e x Sy2 dxdyR e x2 dx0R e y 2 dy0 Re x2 dx20可编辑资
26、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又应用上面已得的结果有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x2D1y2 dxdy4 1e R2 e x2D 2y2 dxdy4 1e 2R2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是上面的不等式可写成1e R 24 Re x2 dx201e42R 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 R上式两端趋于同一极限从而4e x2 dx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 求球体 x2y2z24a2 被
27、圆柱面 x2y22ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V44a 2x2 Dy2 dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 D 为半圆周 y2axx2 及 x 轴所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极坐标系中 D 可表示为02a cos02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 25 页 - - - - - - - - - -
28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是V44a2D2dd4 2 d02acos 04a22d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 a232 10sin3d32 a22 323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、三重积分的概念9 3三重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义设 fx y z是空间有界闭区域上的有界函数
29、将任意分成 n 个小闭区域 v1v2vn其中vi 表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积在每个vi 上任取一点 iii 作乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf iiivi i12n并作和f i ,i ,i i 1vi 假如当各小闭区域的直径中的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
30、_精品资料_趋于零时这和的极限总存在就称此极限为函数 fx y z在闭区域上的三重积分记作f x, y, zdv 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zdvnlimf i , i , i vi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三重积分中的有关术语积分号fx y z被积函数fx y zdv被积表达式 dv 体积元素 x y z积分变量积分区域在直角坐标系中假如用平行于坐标面的平面来划分就 vixiyizi因此也把体积元素记为 dv dxdydz三重积分记作f x, y, zdvf x, y, zdxdydz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
31、_精品资料_当函数 f x y z在闭区域上连续时 极限nlimf i ,i ,i 0i 1vi 是存在的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 fx y z在上的三重积分是存在的以后也总假定 fx y z在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1 fx, y,zc2g x, y,z dvc1f x, y,zdvc2gx, y, zdv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zdvf x, y, zdvf x, y,zdv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212dvV其中 V 为区域的体积二、三重积分的运算1利用直角坐标运算三重积分三重积分的运算三重积分也可化为三次积分来运算设空间闭区域可表为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -z1x yz z2x y y1xy y2x a