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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 5 章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 懂得曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 懂得定积分的概念及其性质；3. 把握定积分的几何意义；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2 学时【教学过程】：案例讨论 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题y所谓 曲边梯形 是指由连续曲线yf x 设f x 0 ,直线xa,xb和0 即 x 轴 所围成的此类型的平面图形如图5-1 所示下面来求该曲边梯形的面积图 5-1 图 5-2 分析 由于“ 矩形面积 =底 高” ,而曲边
2、梯形在底边上各点处的高 f x 在区间 , b 上是变动的,故它的面积不能按矩形面积公式运算 . 另一方面,由于曲线 y f x 在 , b 上是连续变化的,所以当点 x 在区间 , b 上某处变化很小时, 相应的 f x 也就变化不大 . 于是,考虑用一组平行于 y轴的直线把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形,当分割得较细, 每个小曲边梯形很窄时,其高 f x 的变化就很小 . 这样,可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,进而用全部小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积如图 5-2 所示 . 明显,分割越细,近似程度
3、越高,当无限细分时,全部小矩形面积名师归纳总结 之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. A . 第 1 页,共 5 页依据以上分析,可按以下四步运算曲边梯形的面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1分割 在闭区间a,b 上任意插入n1个分点,将闭区间 ,ax 0x 1x2.,x i1,x ii1.xix n1,xnx nb ,n,b 分成 n 个小区间x 2x,1,xx 0,x 1,x 1它们的长度依次为x 1x 1x 0,x2x 2x 1, .,x ix ix i1, .,x nxnxn1ii,过每一个分点作平行于y 轴的直线,把曲边梯形分成n个小曲边
4、梯形；ix i,2取近似在每个小区间xi1,xii1,2,.,n 上任取一点ixi1以小区间x ix ix i1为底,fi为高作小矩形,用小矩形的面积fx 近似代替相应的小曲边梯形的面积A ,即xi,将Afix ii1,2,.,n ,3求和 把这样得到的 n 个小矩形的面积加起来,得和式nfi1其作为曲边梯形面积的近似值,即n nA A i f i x ；i 1 i 1 4 取 极 限 当 分 点 个 数 n 无 限 增 加 , 且 小 区 间 长 度 的 最 大 值max ix 趋于零时,上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值,即nA lim 0 f i x . ii 15.1.1 定积分
5、的定义定义 1 设函数 y f x 在闭区间 , b 上有界,在闭区间 , b 中任意插入n 1 个分点a x 0 x 1 x 2 . x i 1 x i . x n 1 x n b ,将区间 , b 分成 n个小区间 x 0 , x 1 , x 1 , x 2 , ., x i 1 , x i , ., x n 1 , x n ,各小区间的长度依次为名师归纳总结 x 1x 1x0,x2x 2x 1, .,x ix ixi1, .,xnx nxn1,第 2 页,共 5 页在每个小区间上任取一点ix i1ixi,作函数值fi与小区间长度ix 的n乘积fix ii,12 ,n ,并作和fixi,记
6、i1maxix ,i,12,n,当 n 无限增大且0 时,假设上述和式的极限存在,就称函数yf x 在区间 ,b 上可积,并将此极限值称为函数yf x 在 ,b 上的定积分 ,记为bfxdx. a即bfxdxlim 0infixi,a1其中 x 称为 积分变量 ,f x 称为 被积函数 ,f x dx 称为被积表达式 , a 称为积分下限 ,b 称为积分上限 , ,b 称为 积分区间 ,符号bfx dx读作函数f x 从a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 到 b 的定积分 . 按定积分的定义,两个引例的结果可以分别表示为：Abfxdx,QbPtdt
7、,aa关于定积分的定义作以下几点说明：1和式的极限 lim 0 f i x i 存在即函数 f x 在 , a b 上可积是指不i 1管对区间 , b 怎样分法,也不管对点 i x i 1 i x i 怎样取法,极限都存在 . 2和式的极限仅与被积函数 f x 的表达式及积分区间 , b 有关,与积分变量使用什么字母无关,即b b ba f x dx a f t dt a f u du . 3定义中要求积分限 a b,我们补充如下规定：b当 a b 时,af x dx 0b a当 a b 时,a f x dx b f x dx4函数可积的两个充分条件：假设fx在 a,b上连续,就fx在 a,b
8、上可积；fx 在a,b 上可假设fx在a,b上有界,且只有有限个第一类间断点,就积；b定积分的几何意义 当 f x 0 时,由前述可知,定积分a f x dx 在几何上表示由曲线 y f x ,两直线 x a , x b 与 x轴所围成的曲边梯形的面积；b假如 f x 0,这时曲边梯形位于 x 轴下方,定积分a f x dx 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值,如图 53；b当 f x 在 , b 上有正有负时,定积分a f x dx 在几何上表示 x 轴,曲线yfx及两直线x 图 5-3 a , xb所围成的各个曲边梯形面积的代数和 见图 54,即b af x dxA 1A 2A . 5.1
9、.2 定积分的性质名师归纳总结 即以下性质中函数均为可积函数., 第 3 页,共 5 页性质 1 函数和差的定积分等于它们定积分的和差bfx）gxdxbfx dxbgx dx. aaa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情形 . 性质 2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面,b b即a kf x dx k a f x dx, k 为常数 . 性质 3 假如在区间 , b 上 f C ,就b bf x dx Cdx C b a ,a ab特殊地,C 1 时,a dx b a . 性质 3 的几何意义如图 57
10、所示. 性质 4积分区间的可加性假如积分区间 , b 被点 c分成两个区间 , c 和 , b , 就在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和,即b c ba f x dx a f x dx c f x dx . 留意： 无论 a b c 的相对位置如何,总有上述等式成立；b性质 5 假如在区间 , b 上,f 0,就a f x dx 0 a b .性质 6定积分的单调性假如在区间 a , b 上,有 f x g x , b b就a f x dx a g x dx a b . 例 2 比较以下各对积分值的大小10 13 xdx 与 0x dx 1 320xdx与 0sin xdx解 1由
11、幂函数的性质,在 0,1 上,有3 x x 3由定积分性质,得0 13xdx 0 1x dx 32在 0,2 内有 x sin x,得0 2 xdx 0sin xdx性质 7估值定理假如函数 f x 在闭区间 a , b 上的最大值为 M ,最小b值为 m ,就 m b a f x dx M b a a b . a性质 7 说明,由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估量积分值的大致范畴 . f例3 估量定积分f1 1 ex2dx的值. 解先 求fxex2在 区 间 1, 1 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 为 此 求 得x 2xex 2, 令x0,得驻点x0,比较驻点x0处与区间
12、端点x1处的函数值：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - f 0 e得最小值 m 1,最大值 Me性质 8积分中值定理存在一点 , b ,使得0 1,f 1 e 1 1,e1,再依据估值定理,得 2e 11 e x 2dx 2 . 假如函数 y f x 在闭区间 , a b 上连续,就至少bfxdxfbaaba这个公式称为 积分中值公式 . 【教学小节】：通过本节的学习, 懂得曲边梯形面积求法的思维过程,懂得定积分的概念及 其几何意义,娴熟把握定积分的性质,并学会应用其解打算积分的简洁问题；【课后作业】：无名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页