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1、第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点 ：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。 5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数 y f(x)在区间 a b上非负、连续由直线 x a、 x b、y 0及曲线 y f (
2、x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间 a b中任意插入若干个分点a x0 x1x2xn 1xnb把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 x2x3 xn 1xn它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1xn xnxn 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区间xi 1xi上任取一点i以xi 1xi为底、 f (i)为高的窄矩形近似替代第i 个
3、窄曲边梯形 (i 1 2n) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值即A f (1) x1 f (2) x2 f (n) xnniiixf1)(求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值因此要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页maxx1x2xn于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0 所以曲边梯形的面积为niiixfA10)
4、(lim2变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度 v v(t)是时间间隔 T 1T 2上 t 的连续函数且 v(t) 0计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1T 2分成 n 个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度 v(i)物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Siv(i)ti把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔 T 1T 2内所经过的路程S 的近似值具体做法是在时间间隔 T 1T 2内任意插入若干个分点T 1t0t 1t2tn 1tnT 2把T 1T 2分成 n 个小
5、段t 0t 1 t 1t 2 tn 1t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0t 2t 2t 1tntntn 1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为S 1S 2S n在时间间隔 ti 1t i上任取一个时刻i (ti 1iti)以i时刻的速度v(i)来代替 ti 1t i上各个时刻的速度得到部分路程Si的近似值即Si v(i)ti(i 1 2n)于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值即niiitvS1)(求精确值记 maxt 1t 2tn当0 时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程niiitvS10)(lim设函数 y f(x)在区间 a b上非负、连
6、续求直线 x a、x b、y 0 及曲线 y f (x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点 a x0 x1x2xn 1xnb 把区间 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 x2x3 xn 1xn记xixixi 1 (i 1 2n)(2)任取ixi 1xi以xi 1xi为底的小曲边梯形的面积可近似为iixf)(i 1 2n)所求曲边梯形面积A 的近似值为niiixfA1)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页(3)记maxx1x2xn所以曲边梯形面积的精确值为niiixfA10)(lim设物体作直线运动已知速度
7、 v v(t)是时间间隔 T 1T 2上 t 的连续函数且 v(t) 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点 T1t0t1t2tn 1tnT2把时间间隔 T 1T 2分成 n 个小时间段 t0t1 t1t2 tn 1tn 记tititi 1(i 1 2n)(2)任取iti 1ti在时间段 ti 1ti内物体所经过的路程可近似为v(i) ti(i 1 2n)所求路程S 的近似值为niiitvS1)(3)记maxt1t2tn所求路程的精确值为niiitvS10)(lim二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数 f
8、(x)在a b上有界在a b中任意插入若干个分点a x0 x1x2xn 1xnb把区间 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 xn 1xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1xnxnxn 1在每个小区间xi 1xi上任取一个点i (xi 1ixi)作函数值f (i)与小区间长度xi的乘积f (i)xi (i 1 2n) 并作出和niiixfS1)(记 maxx1x2xn如果不论对 a b怎样分法也不论在小区间xi1xi上点i怎样取法只要当0 时和 S 总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I 为函数 f (x)在区间 ab上的定积分记作badxxf)(精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页即niiibaxfdxxf10)(lim)(其中 f (x)叫做被积函数f (x)dx 叫做被积表达式x 叫做积分变量a 叫做积分下限b 叫做积分上限 a b叫做积分区间定义设函数 f(x)在a b上有界用分点 a x0 x1x2xn 1xnb 把a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1x2 xn 1xn 记xixixi 1(i 1 2n)任ixi 1xi (i 1 2n)作和niiixfS1)(记maxx1x2xn如果当0 时上述和式的极限存在且极限值与区间a b的分法和i的取法无关则称这个极限为函数
10、f(x)在区间 a b上的定积分记作badxxf)(即niiibaxfdxxf10)(lim)(根据定积分的定义曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即bababaduufdttfdxxf)()()(2)和niiixf1)(通常称为f (x)的积分和(3)如果函数f (x)在 a b上的定积分存在我们就说f (x)在区间 a b上可积函数 f(x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理 1设 f (x)在区间 a b上连续则 f (x) 在a b上可积定理 2设 f (x
11、)在区间 a b上有界且只有有限个间断点则 f (x) 在a b上可积定积分的几何意义在区间 a b上当 f(x) 0时积分badxxf)(在几何上表示由曲线y f (x)、 两条直线 x a、 x b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积当 f(x) 0 时由曲线 yf (x)、两条直线 x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010当 f (x)既取得正值又取得负值时函数 f(x)的图形某些部分在x轴的上方而其它部分在x 轴精选学习资料 - - - - - -
12、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页的下方如果我们对面积赋以正负号在 x 轴上方的图形面积赋以正号在 x 轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分badxxf)(的几何意义为它是介于x 轴、 函数 f(x)的图形及两条直线 x a、x b 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例 1. 利用定义计算定积分dxx210解把区间 0 1分成 n 等份分点为和小区间长度为nixi(i 1 2n 1)nxi1(i 1 2n) 取nii(i 1 2n) 作积分和niiniiiniinnixxf121211)()()12)(1(61113123nnnn
13、inni)12)(11(61nn因为n1当0 时 n所以31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的几何意义求10)1(dxx解 :函数 y 1 x在区间 0 1上的定积分是以y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形的面积因为以 y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以211121)1 (10dxx三、定积分的性质两点规定(1)当 a b 时0)(badxxf(2)当 a b 时abbadxxfdxxf)()(性质 1函数的和 (差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
14、bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页证明 :badxxgxf)()(niiiixgf10)()(limniiiniiixgxf1010)(lim)(limbabadxxgdxxf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即babadxxfkdxxkf)()(这是因为niiibaxkfdxxkf10)(lim)(baniiidxxfkxfk)()(lim10性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即bccabad
15、xxfdxxfdxxf)()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式bccabadxxfdxxfdxxf)()()(成立例如当 abc 时由于cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()(性质 4如果在区间 a b上 f (x) 1 则abdxdxbaba1性质 5如果在区间 a b上 f (x) 0则badxxf0)(a b)推论 1如果在区间 a b上 f (x)g(x) 则babadxxgdxxf)()(a b)这是因为g (x) f (x) 0
16、从而bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页所以babadxxgdxxf)()(推论 2 babadxxfdxxf| )(|)(|(a b)这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|即babadxxfdxxf| )(|)(|性质 6 设 M 及 m 分别是函数f(x)在区间 a b上的最大值及最小值则baabMdxxfabm)()()(a b)证明因为mf (x)M所以bababaMdxdxx
17、fmdx)(从而baabMdxxfabm)()()(性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间 a b上连续则在积分区间a b上至少存在一个点使下式成立baabfdxxf)()(这个公式叫做积分中值公式证明由性质 6 baabMdxxfabm)()()(各项除以b a得baMdxxfabm)(1再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点使badxxfabf)(1)(于是两端乘以b a 得中值公式baabfdxxf)()(积分中值公式的几何解释应注意不论 ab积分中值公式都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22
18、 页 5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在 t 时刻所经过的路程为S(t)速度为v v(t) S (t)(v(t) 0)则在时间间隔T1T2内物体所经过的路程S可表示为)()(12TSTS及dttvTT)(21即)()()(1221TSTSdttvTT上式表明速度函数v(t)在区间 T1T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间 T1T2上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间 a b上连续并且设 x 为ab上的一点我们把函数f(x)在部分区间 a x上的定积分精选学习
19、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页dxxfxa)(称为积分上限的函数它是区间 a b上的函数记为(x)dxxfxa)(或(x)dttfxa)(定理 1 如果函数f(x)在区间 a b上连续则函数(x)dxxfxa)(在a b上具有导数并且它的导数为(x)()(xfdttfdxdxa(a x0则同理可证(x)f(a)若 x b取x0证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在(0)内为单调增加函数证明)()(0 xxfdtttfdxdx)()(0 xfdttfdxdx故2000)()()()()()(xxxdttfd
20、tttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf按假设当 0 t x 时 f (t)0 (x t)f (t) 0 所以0)(0dttfx0)()(0dttftxx从而 F (x)0 (x0)这就证明了F (x) 在(0)内为单调增加函数例 7. 求21cos02limxdtextx解这是一个零比零型未定式由罗必达法则exxexdtexdtexxxtxxtx212sinlimlimlim222cos02cos1021cos0提示设xtdtex12)(则xtdtexcos12)(cosxuxtexxedxduududxdxddtedxd222coscos1sin)s
21、in()()(cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页 5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间 a b上连续函数 x(t)满足条件(1) () a( ) b (2)(t)在( 或) 上具有连续导数且其值域不越出 a b则有dtttfdxxfba)()()(这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知f(x)在区间 a b上是连续因而是可积的f (t)(t)在区间 ( 或) 上也是连续的因而是可积的假设 F(x)是 f (x)的一个原函数则dxxfba)(F(b) F(a)另一方面因
22、为 F (t)F (t)(t) f (t)(t)所以 F (t)是 f (t)(t)的一个原函数从而dtttf)()(F () F () F(b) F(a)因此dtttfdxxfba)()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页例 1 计算adxxa022(a0)解20sin022coscostdtatadxxataxa令2022022)2cos1(2cosdttatdta2202412sin212atta提示tataaxacossin22222dx a cos t当 x 0 时 t 0当 x a 时2t例 2
23、计算xdxxsincos520解 令 t cos x则xxdxdxxcoscossincos5205206161106105015costdttdtttx令提示当 x 0 时 t 1当2x时 t 0或xxdxdxxcoscossincos520520610cos612cos61cos6166206x例 3 计算053sinsindxxx解dxxxdxxx|cos|sinsinsin2300532232023cossincossinxdxxxdxx2232023sinsinsinsinxxdxxd54)52(52sin52sin522252025xx提示|cos|sin)sin1 (sinsin
24、sin232353xxxxxx在2,0上|cos x| cos x在,2上|cos x|cos x例 4 计算dxxx40122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页解3123121240)3(21221122dtttdtttdxxxtx令322)331()9327(2133121313tt提示212txdx tdt当 x 0 时 t 1当 x 4 时 t 3例 5 证明若 f (x)在 a a上连续且为偶函数则aaadxxfdxxf0)(2)(证明因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00而aaatxad
25、xxfdttfdttfdxxf0000)()()()(令所以aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaaadxxfdxxfdxxfxf00)(2)(2)()(讨论若 f(x)在 a a上连续且为奇函数问aadxxf)(？提示若 f (x)为奇函数则 f ( x) f (x) 0从而0)()()(0aaadxxfxfdxxf例 6 若 f (x)在0 1上连续证明(1)2020)(cos)(sindxxfdxxf(2)00)(sin2)(sindxxfdxxxf证明(1)令tx2则dttfdxxf)2sin()(sin02202020)(cos)2sin(dxxfdttf(2)令 xt
26、则00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin)(sindxxxfdxxf所以00)(sin2)(sindxxfdxxxf例 7 设函数01cos110)(2xxxxexfx计算41)2(dxxf解 设 x 2 t则200121412cos11)()2(dttedttdttfdxxft212121tan212tan420012eett提示设 x 2 t则 dx dt当
27、x 1 时 t1当 x 4时 t 2二、分部积分法设函数 u(x)、v(x)在区间 a b上具有连续导数u (x)、v (x)由(uv)u vu v 得 u vuv u v式两端在区间a b上积分得vdxuuvdxvubababa或vduuvudvbababa这就是定积分的分部积分公式分部积分过程vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa例 1 计算xdxarcsin210解xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210dxxx22101621)1(11211222210 xdx2102112x12312例 2 计算10dxex解 令tx则10102
28、tdtedxetx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页102ttde10102 2dtetett2 2210tee例 3 设20sin xdxInn证明(1)当 n 为正偶数时22143231nnnnIn(2)当 n 为大于 1 的正奇数时3254231nnnnIn证明20sin xdxInn201cossinxxdn201201sincossincosxxdxxnn2022sincos) 1(xdxxnn202)sin(sin) 1(dxxxnnn20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn(n 1)I
29、n 2(n 1)In由此得21nnInnI02214342522232212ImmmmmmIm112325432421222122ImmmmmmIm而2200dxI1sin201xdxI因此22143425222322122mmmmmmIm32543242122212212mmmmmmIm例 3 设20sin xdxInn(n 为正整数 )证明22143425222322122mmmmmmIm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页32543242122212212mmmmmmIm证明20sin xdxInn201co
30、ssinxxdn2022201sincos) 1(sincosxdxxnxxnn202)sin(sin) 1(dxxxnnn20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn(n 1)In 2(n 1)In由此得21nnInnI02214342522232212ImmmmmmIm112325432421222122ImmmmmmIm特别地2200dxI1sin201xdxI因此22143425222322122mmmmmmIm32543242122212212mmmmmmIm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页
31、 5 4 反常积分一、无穷限的反常积分定义 1设函数 f(x)在区间 a)上连续取 ba如果极限dxxfbab)(lim存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间 a)上的反常积分记作dxxfa)(即dxxfdxxfbaba)(lim)(这时也称反常积分dxxfa)(收敛如果上述极限不存在函数 f(x)在无穷区间 a)上的反常积分dxxfa)(就没有意义此时称反常积分dxxfa)(发散类似地设函数 f(x)在区间 (b 上连续如果极限dxxfbaa)(lim(a0)解0001ptptpttdepdttedtte011dteptepptpt0211ptpteptep2221111limppeptep
32、ptptt提示01limlimlimpttpttpttpeette例 3 讨论反常积分dxxpa1(a0)的敛散性解 当 p 1 时dxxpa1dxxa1lnax当 p1 时111111paxpdxxpappa因此当 p1 时此反常积分收敛其值为11pap当 p 1 时此反常积分发散二、无界函数的反常积分定义 2设函数 f(x)在区间 (a b上连续而在点 a 的右邻域内无界取 0如果极限dxxfbtat)(lim存在则称此极限为函数f(x)在(a b上的反常积分仍然记作dxxfba)(即dxxfdxxfbtatba)(lim)(这时也称反常积分dxxfba)(收敛如果上述极限不存在就称反常积
33、分dxxfba)(发散类似地设函数 f(x)在区间 a b)上连续而在点 b 的左邻域内无界取 0如果极限dxxftabt)(lim存在则称此极限为函数f(x)在a b)上的反常积分仍然记作dxxfba)(即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页dxxfdxxftabtba)(lim)(这时也称反常积分dxxfba)(收敛如果上述极限不存在就称反常积分dxxfba)(发散设函数 f(x)在区间 a b上除点 c(acb)外连续而在点 c 的邻域内无界如果两个反常积分dxxfca)(与dxxfbc)(都收敛则定义dxx
34、fdxxfdxxfbccaba)()()(否则就称反常积分dxxfba)(发散瑕点如果函数 f(x)在点 a 的任一邻域内都无界那么点 a 称为函数f(x)的瑕点也称为无界定义 2设函数 f(x)在区间 (a b上连续点 a 为 f(x)的瑕点函数 f(x)在(a b上的反常积分定义为dxxfdxxfbtatba)(lim)(在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地 函数 f(x)在a b)(b 为瑕点 )上的反常积分定义为dxxfdxxftabtba)(lim)(函数 f(x)在a c)(c b (c 为瑕点 )上的反常积分定义为dxxfdxxfdxxfb
35、tcttactba)(lim)(lim)(反常积分的计算如果 F(x)为 f(x)的原函数则有btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat可采用如下简记形式)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba类似地有)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba当 a 为瑕点时)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba当 b 为瑕点时)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页
36、当 c (a c b )为瑕点时)(lim)()()(lim)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba例 4 计算反常积分adxxa0221解 因为221limxaax所以点 a 为被积函数的瑕点aaaxdxxa0022arcsin120arcsinlimaxax例 5 讨论反常积分1121dxx的收敛性解 函数21x在区间 1 1上除 x 0 外连续且201limxx由于1)1(lim11001012xxdxxx即反常积分0121dxx发散所以反常积分1121dxx发散例 6 讨论反常积分baqaxdx)(的敛散性解 当 q 1 时bababaqaxaxdxaxdx)ln()(当 q 1 时baqbaqaxqaxdx1)(11)(当 q 1 时qbaqbaqabqaxqaxdx11)(11)(11)(因此当 q1 时此反常积分收敛其值为qabq1)(11当 q 1 时此反常积分发散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页