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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)设2lim()8xxxax a,则a _.(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428x yz 垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程22xyyy e的通解为_.(4)函数22ln()uxyz在(1,0,1)A点处沿A点指向(3,2,2)B点方向的方向导数为_.(5)设A是4 3矩阵,且A的秩()2rA,而102020103B,则()rAB_.二、
2、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知2()()x ay dxydyx y为某函数的全微分,则a等于()(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()fx有二阶连续导数,且(0)0f ,0()lim1|xf xx,则()(A)(0)f是()fx的极大值(B)(0)f是()fx的极小值(C)(0,(0)f是曲线()y fx的拐点(D)(0)f不是()fx的极值,(0,(0)f也不是曲线()y fx的拐点(3)设0(1,2,)nan,且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(
3、tan)nnnnan()(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关(4)设()fx有连续的导数,(0)0f,(0)0f ,220()()()xFxx t ft dt,且当0 x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！时,()F x与kx是同阶无穷小,则k等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于()(A)12341 2 3 4a aa a b b b b(B)12341 2 3 4a aa a b b b b(C)121 2343 4()()a a b b
4、 a a b b(D)232 3141 4()()aa b b a a b b三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1)求心形线(1 cos)r a的全长,其中0a 是常数.(2)设110 x,16(1,2,)nnxx n,试证数列nx极限存在,并求此极限.四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1)计算曲面积分(2)Sx z dydzzdxdy,其中S为有向曲面22(01)z xyz,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2,u xyu x ay 可把方程2222260zzzxxyy化简为20zuv,求常数a,其中(,)z zxy有二阶连续的偏
5、导数.五、(本题满分 7 分)求级数221(1)2nnn的和.六、(本题满分 7 分)设对任意0 x,曲线()y fx上点(,()xfx处的切线在y轴上的截距等于01()xft dtx,求()fx的一般表达式.七、(本题满分 8 分)设()fx在0,1上具有二阶导数,且满足条件|()|fxa,|()|f xb,其中,ab都是非欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！负常数,c是(0,1)内任一点,证明|()|22bfca.八、(本题满分 6 分)设TA E,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置,证明：(1)2AA的充要条件是1
6、T；(2)当1T时,A是不可逆矩阵.九、(本题满分 8 分)已知二次型222123123121323(,)55266fxx xxx cx x xx xxx的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程123(,)1fxx x 表示何种二次曲面.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_.(2)设、是两个相互独立且均服从正态分布21(0,()2N的随机变量,则随机变量 的数学期望()E _.十一
7、、(本题满分 6 分.)设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为 13Pi,i=1,2,3,又设max(,)X,min(,)Y.(1)写出二维随机变量(,)XY的分布律：XY123123(2)求随机变量X的数学期望()EX.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.方法一：3323lim()lim(1)xa axxa xaxxxaax a
8、x a,令3atx a,则当x 时,0t,则1303lim(1)lim(1)xaatxtatex a,即33limlim312lim()xxaxaxaxaxxaeeex a.由题设有38ae,得1ln8 ln23a.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！方法二：2223()2221lim112limlimlim11lim1xxaxaxaxaxxaxxxaaxaaaxaexxxeax aeaaxxx ,由题设有38ae,得1ln8 ln23a.(2)【答案】2230 xyz【解析】方法一：所求平面过原点O与0(6,3,2)M,其法向量06,
9、3,2n OM；平面垂直于已知平面428x yz,它们的法向量也互相垂直：04,1,2n n；由此,00/6324 4641 2i j kn OMnij k .取223nij k,则所求的平面方程为2230 xyz.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M的向量06,3,2OM,另一是平面428x yz 的法向量04,1,2n)平行的平面,即632041 2x y z,即2230 xyz.(3)【答案】12(cos sin 1)xe cx cx【解析】微分方程22xyyy e所对应的齐次微分方程的特征方程为2220rr,解之得1,21ri.故对应齐次微
10、分方程的解为12(cossin)xy e Cx Cx.由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xy xae,代入22xyyy e得1a(也不难直接看出*()xy x e),故所求通解为1212(cossin)(cossin 1)xxxy e Cx Cx ee Cx Cx.【相关知识点】二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x是二阶线性非齐次方程()()()y Pxy Qxy fx的一个特解.()Yx是与之对应的齐次方程欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()()0y Pxy Qxy的通解,则*()()y Yx y
11、 x是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Yx,可用特征方程法求解：即()()0y Pxy Qxy中的()Px、()Qx均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,rr；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,rr,则通解为1212;rxr xy CeCe(2)两个相等的实数根12r r,则通解为112;rxyCCxe(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xy e Cx Cx其中12,C C为常数.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y Pxy Qxy fx的一个特解
12、*()y x,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmfxP xe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmy xxQ xe的特解,其中()mQ x是与()mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果()()cos()sin xlnfx e Pxx P xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()ypxy qxy fx的特解可设为*(1)(2)()cos()sin kxmmyxe Rxx Rxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方
13、程的单根依次取为0或1.(4)【答案】12【分析】先求方向l的方向余弦和,u u ux y z ,然后按方向导数的计算公式coscoscosuuuulxyz求出方向导数.【解析】因为l与AB同向,为求l的方向余弦,将3 1,20,2 12,2,1AB 单位化，即得12,2,1cos,cos,cos3|ABlAB.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！将函数22ln()uxyz分别对,xyz求偏导数得22(1,0,1)112Auxxyz,2222(1,0,1)0()Auyyxyzyz,2222(1,0,1)12()Auzzxyzyz,所以c
14、oscoscosAAAAuuuulxyz1221110()2 332 32 .(5)【答案】2【解析】因为10 20 2 0 10 010 3B,所以矩阵B可逆,故()()2rAB rA.【相关知识点】()min(),()rABrA rB.若A可逆,则1()()()()()rAB rBrEB rA ABrAB.从而()()rAB rB,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)uxy,使得22()()()x
15、ay dxydydux yx y,由可微与可偏导的关系,知2()ux ayxx y,2()uyyx y,分别对,yx求偏导数,得2243()()2()(2)()()uax yx ay x yax ayxyx yx y,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！232()uyyxx y.由于2uyx与2uxy连续,所以22uuyxxy,即33(2)2()()ax ayyx yx y2a,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()fx有二阶连续导数,且0()lim1 0,|xf xx 所以由函数极限的局部保号性可知,在0 x 的空心领域内
16、有()0|f xx,即()0f x,所以()fx为单调递增.又由(0)0f ,()fx在0 x 由负变正,由极值的第一充分条件,0 x 是()fx的极小值点,即(0)f是()fx的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim().x xfxA若0A(或0A)0,当00 x x 时,()0fx(或()0fx).(3)【答案】(A)【解析】若正项级数1nna收敛,则21nna也收敛,且当n 时,有tanlim(tan)limnnnnnn .用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nnnnana.因为21nna收敛,所以2limtannxnan也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(
17、A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(1)当0 A 时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散；(2)当0A时,若1nnu收敛,则1nnv收敛；若1nnv发散,则1nnu发散；(3)当A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛；若1nnu发散,则1nnv发散.(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知2200()()()xxFxxft dt tft dt,对该积分上限函数求导数,得2200()2()()()2()xxF xx f
18、t dt xfx xfxx ft dt,所以0010002()2()()limlimlimxxkkkxxxx ft dtft dtF xxxx23002()2()limlim(1)(1)(2)kkxxfxfxkxkkx洛洛.因为()F x与kx是同阶无穷小,且(0)0f ,所以302()lim(1)(2)kxfxkkx为常数,即3k 时有300()2()limlim(0)0(1)(2)kkxxF xfxfxkkx,故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称
19、(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()x ox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22221331334400000000ababDababbaab2222141 4232 3141 43333()()ababa ab baa b b a a b bbaba,所以选(D).三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1)【
20、解析】由极坐标系下的弧微分公式得2222()()(1 cos)sinds rrdad 2(1 cos)2cos2adad .由于()(1 cos)r ra以2为周期,因而的范围是0,2.又由于()()rr,心形线关于极轴对称.由对称性,00024cos8 sin822sds adaa.(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有0nx,数列nx有下界.证明nx单调减：用归纳法.21166 104xxx；设1nnxx,则1166nnnnxxxx.由此,nx单调减.由单调有界准则,limnnx存在.设lim,(0)nnxa a,在恒等式16nnxx两边取极限,即1limlim 66nnnnxxaa,
21、解之得3a(2a 舍去).【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2.收敛数列的保号性推论：如果数列nx从某项起有0nx(或0nx),且limnnxa,那么0a(或0a).四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！xyz1OxyOxyDyOz12z yyzD(1)【分析一】见下图所示,S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求出,分别为22:1xyDxy；2:11,1yzDyyz ,或01,zz yz .图 1求Szdxdy,自然投影到xOy平面上.求(2)Sx z dyd
22、z时,若投影到xOy平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,)2,(,)0,(,)Pxyzx z QxyzRxyzz,则SIPdydzRdxdy.这里,2 13PQRxyz ,若用高斯公式求曲面积分I,则较简单.因S不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy上,则22(2)(2)()()xySDzIx z dydzzdxdy x zxy dxdyx,其中22z xy,22:1xyDxy.把2zxx代入,得2222242()()xyxyxyDDDIxdxdy xxy dxdy xy dxdy,由对称性得222()0 xyDxxy dxdy,22242()xy
23、xyDDxdxdyxy dxdy,所以22()xyDIxy dxdy.利用极坐标变换有欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！121340001242Idr drr .方法二：分别投影到yOz平面与xOy平面.投影到yOz平面时S要分为前半部分21:S xz y与后半部分22:S xz y(见图 1),则12(2)(2)SSSIx z dydz x z dydz zdxdy.由题设,对1S法向量与x轴成钝角,而对2S法向量与x轴成锐角.将I化成二重积分得2222222(2)(2)()4().yzyzxyyzxyDDDDDIz yz dydz
24、z yz dydzxy dxdyz ydydzxy dxdy 221311122221131242200sin2()344(1)cos334 3,342 2 4yzzyDzyytz ydydzdyz ydzz ydyy dytdt 或21122001.24yzzzDz ydydz dzz ydyz dz(这里2zzz ydy是半径为z的圆面积的一半.)22()2xyDxy dxdy(同方法一).因此,4.4 22I 方法三：添加辅助面221:1(1)S zxy,法方向朝下,则11(2)1SSDx z dydzzdxdy dxdy dxdy ,其中D是1S在平面xy的投影区域：221xy.S与1
25、S即22z xy与1z 围成区域,S与1S的法向量指向内部,所以在上满足高斯公式的条件,所以欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1(2)3S Sx z dydzzdxdy dV 1100()3332D zdz dxdyzdz ,其中,()Dz是圆域：22xyz,面积为z.因此,133(2)()222SIx z dydzzdxdy .(2)【解析】由多元复合函数求导法则,得zz uz vzzxu xv xuv ,2zz uz vzzayu yv yuv ,所以22222222()()zzzz uzvz vzuxx ux vuxuv xvx
26、vu x 222222zzzuuvv,2222222()()zzzz uzvz vzuxyy uy vuyuv yvyvu y 222222(2)zzzaauuvv ,222222222222222()()2()()44.zzzayy uy vz uzvz vzuauyuv yvyvu yzzzaauuvv 代入2222260zzzxxyy,并整理得2222222226(10 5)(6)0zzzzzaa axxyyuvv .于是,令260a a 得3a 或2a .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2a 时,1050a,故舍去,3a 时
27、,1050a,因此仅当3a 时化简为20zuv.【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u uxy和(,)v vxy在点(,)xy处偏导数存在,函数(,)z fuv在对应点(,)uv具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)z f uxyvxy在点(,)xy处的偏导数存在,且,zf uf v zf uf vxu xv x yu yv y .五、(本题满分 7 分)【解析】先将级数分解,212211222131111()(1)2211111111.212122nnnnnnnnnnnnAnnnnnnn令1221311,22nnnnAAnn,则12A A A.由熟知ln(1)x幂级数展开式,即11
28、(1)ln(1)(11)nnnxxxn,得1121111(1)1111()ln(1)ln2242424nnnnnAnn ,12331211(1)1()22(1)11 1111 15()()ln(1)ln2,22 2222 88nnnnnnnnAnnn 因此,125 3ln28 4A A A.六、(本题满分 7 分)【解析】曲线()y fx上点(,()xfx处的切线方程为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()()()Y fxfx X x.令0X得y轴上的截距()()Yfxfxx.由题意,01()()()xft dtfxfxxx.为消去积
29、分,两边乘以x,得20()()()xft dtxf xfxx,(*)将恒等式两边对x求导,得2()()()2()()fxfx xf xxf x xf x,即()()0 xf xfx.在(*)式中令0 x 得0 0自然成立.故不必再加附加条件.就是说()fx是微分方程0 xy y 的通解.下面求解微分方程0 xy y .方法一：100 xy yxyxyC ,因为0 x,所以1Cyx,两边积分得12()lny fx Cx C.方法二：令()y Px,则yP,解0 xP P 得1Cy Px .再积分得12()lny fx Cx C.七、(本题满分 8 分)【解析】由于问题涉及到,ff 与f 的关系,
30、自然应当利用泰勒公式,而且应在点c展开：2()()()()()()2!ffxfcfx x cx c,在c与x之间.分别取0,1x 得20()(0)()()(0)(0)2!fffcfccc,0在c与0之间,21()(1)()()(1)(1)2!fffcfccc,1在c与1之间,两式相减得22101(1)(0)()()(1)()2!fffcfcfc,于是22101()(1)(0)()(1)()2!fcfffcfc.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由此221011()(1)(0)()(1)()2!2!fcfffcfc2212(1)222b
31、abcca.八、(本题满分 6 分)【解析】(1)因为TA E,T为数,T为n阶矩阵,所以2()()2()(2)TTTTTTTAEEEE ,因此,2(2)(1)0TTTTTAAEE 因为是非零列向量,所以0T,故210,TAA 即1T.(2)反证法.当1T时,由(1)知2AA,若A可逆,则121A A AA A E.与已知TA EE 矛盾,故A是不可逆矩阵.九、(本题满分 8 分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为51315333Ac.因为二次型秩()()2rfrA,由513440400153153163333336Accc 可得3c.再由A的特征多项式513|153(4)(9)333E A
32、求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.(2)因为二次型经正交变换可化为222349yy,故123(,)1fxx x,即2223491yy.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个n元二次型欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12(,)TnfxxxxAx,存在正交变换x Qy(Q为n阶正交矩阵),使得2221122()TTTn nxAxy Q AQyyyy,其中12,n是实对称矩阵A的n个特征值,Q的n个列向量12,n 是A对应于特征值12,n的标准正交特征向量.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)【
33、答案】37【解析】设事件C“抽取的产品是次品”,事件D“抽取的产品是工厂A生产的”,则事件D表示“抽取的产品是工厂B生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02PDPDPC DPC D.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)PD C：()(|)0.60.013(|)0.60.01 0.4 0.027()(|)()(|)PDPC DPD CPDPC DPDPC D.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S.A为E的事件,12,nB BB为S的一个划分,且()0,()0(1,2,)iPAPBin,则1()(|)(|),1,2,.()(|)iiinjjjPB P
34、ABPB AinPB PAB(*)(*)式称为贝叶斯公式.(2)【答案】2【解析】由于与相互独立且均服从正态分布21(0,()2N,因此它们的线性函数U 服从正态分布,且()0,EU EEE 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11122DU DDD ,所以有(0,1)UN.代入正态分布的概率密度公式,有221()2ufue du.应用随机变量函数的期望公式有221(|)(|)|2uEE Uue du 220122uue du由凑微分法,有22201(|)2()22uuEe d 22022ue 2.【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从
35、正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()EaXbYcaE XbE Yc,22()()()DaXbYcaDXbDY,其中,abc为常数.十一、(本题满分 6 分.)【解析】易见(,)XY的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意X Y,故0P X Y,即 1,21,32,30P XYP XYP XY,1,1max(,)1,min(,)1P XYP 11,1119PPP .类似地可以计算出所有ijp的值列于下表中,得到随机变量(,)XY的联合分布律：XY123欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！119002291903292919(2)将表中各行元素相加求出X的边缘分布1231359 9 9X,由离散型随机变量数学期望计算公式可得135221239999EX .【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量(,)XY关于X与Y的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：,1,2,iiijijjjpP XxP XxY yp i,1,2,jjijijiipPY yP XxY yp j它们分别为联合分布律表格中第i行与第j列诸元素之和.2.离散型随机变量数学期望计算公式：1()nkkkEXx P Xx.