1996考研数一真题及解析.pdf

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1、 19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 设2lim()8xxxaxa,则a _. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为 _. (3) 微分方程22xyyye的通解为_. (4) 函数22ln()uxyz在(1,0,1)A点处沿A点指向(3, 2,2)B点方向的方向导数为_. (5) 设A是4 3矩阵,且A

2、的秩( )2r A ,而102020103B,则()r AB _. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一项符合题目要求项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 已知2()()xay dxydyxy为某函数的全微分,则a等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设( )f x有二阶连续导数,且(0)0f ,0( )lim1|xfxx,则 ( ) (

3、A) (0)f是( )f x的极大值 (B) (0)f是( )f x的极小值 (C) (0,(0)f是曲线( )yf x的拐点 (D) (0)f不是( )f x的极值,(0,(0)f也不是曲线( )yf x的拐点 (3) 设0(1,2,)nan,且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21( 1) ( tan)nnnnan ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关 (4) 设( )f x有连续的导数,(0)0f,(0)0f ,220( )() ( )xF xxtf t dt,且当0 x 时,( )F x与kx是同阶无穷小,则k等于 ( ) (A) 1 (B)

4、 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于 ( ) (A) 12341 2 3 4a a a abb b b (B) 12341 2 3 4a a a abb b b (C) 121 2343 4()()a abba ab b (D) 232 3141 4()()a ab ba abb 三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1 10 0 分分.).) (1) 求心形线(1cos )ra的全长,其中0a是常数. (2) 设110 x ,16(1,2,)nnxxn,试证数列 nx极限

5、存在,并求此极限. 四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1 12 2 分分.).) (1) 计算曲面积分(2)Sxz dydzzdxdy,其中S为有向曲面22(01)zxyz,其法向量与z轴正向的夹角为锐角. (2) 设变换2 ,uxyuxay可把方程2222260zzzxx yy 化简为20zu v ,求常数a,其中( , )zz x y有二阶连续的偏导数. 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 求级数221(1)2nnn的和. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设对任意0 x,曲线( )yf x上点(

6、,( )x f x处的切线在y轴上的截距等于 01( )xf t dtx,求( )f x的一般表达式. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 设( )f x在0,1上具有二阶导数,且满足条件|( )|f xa,|( )|fxb,其中, a b都是非 负常数,c是(0,1)内任一点,证明|( )| 22bfca. 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设TAE,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置,证明： (1) 2AA的充要条件是1T ；(2) 当1T 时,A是不可逆矩阵. 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 已知二次型22212312

7、31 21 323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x的秩为 2. (1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123( ,)1f x x x表示何种二次曲面. 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).) (1) 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_. (2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布21(0,() )2N的随机变量,则随机变量 的数学期望()E

8、_. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为13Pi, i=1,2,3,又设max( , )X ,min( , )Y . (1) 写出二维随机变量(, )X Y的分布律： X Y 1 2 3 1 2 3 (2) 求随机变量X的数学期望()E X. 19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.

9、).) (1)【答案】ln2 【解析】这是1型未定式求极限. 方法一：方法一： 3323lim()lim(1)x aaxxax axxxaaxaxa , 令3atxa,则当x 时,0t , 则 1303lim(1)lim(1)x aatxtatexa, 即 33limlim312lim()xxaxaxax axxaeeexa. 由题设有38ae,得1ln8ln23a . 方法二：方法二：2223()2221lim 112limlimlim11lim 1xxaxaxaxaxxaxxxaaxaaaxaexxxeaxaeaaxxx , 由题设有38ae,得1ln8ln23a . (2)【答案】223

10、0 xyz 【解析】方法一：方法一：所求平面过原点O与0(6, 3,2)M,其法向量06, 3,2nOM；平面垂直于已知平面428xyz,它们的法向量也互相垂直：04, 1,2nn； 由此, 00/632446412ijknOMnijk . 取223nijk,则所求的平面方程为2230 xyz. 方法二：方法二： 所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6, 3,2)M的向量06, 3,2OM ,另一是平面428xyz的法向量04, 1,2n )平行的平面, 即 6320412xyz,即 2230 xyz. (3)【答案】12(cossin1)xe cxcx 【解析】微分方

11、程22xyyye所对应的齐次微分方程的特征方程为 2220rr,解之得1,21ri .故对应齐次微分方程的解为12(cossin )xye CxCx. 由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*( )xyxae,代入 22xyyye得1a(也不难直接看出*( )xy xe),故所求通解为 1212(cossin )(cossin1)xxxye CxCxee CxCx. 【相关知识点】 二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程 ( )( )0yP x yQ x y的通

12、解,则*( )( )yY xy x是非齐次方程的通解. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用特征方程法求解：即( )( )0yP x yQ x y中的( )P x、( )Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e (2) 两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e (3) 一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数. 对

13、于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下： 如果( )( ),xmf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmy xx Qx e 的特解,其中( )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果( ) ( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的特解可设为 *(1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxR

14、xx, 其中(1)( )mRx与(2)( )mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (4)【答案】12 【分析】先求方向l的方向余弦和,uuuxyz,然后按方向导数的计算公式 coscoscosuuuulxyz求出方向导数. 【解析】因为l与AB同向,为求l的方向余弦,将3 1, 20,2 12, 2,1AB 单位化，即得 12, 2,1cos ,cos,cos3|ABlAB. 将函数22ln()uxyz分别对, ,x y z求偏导数得 22(1,0,1)112Auxxyz, 2222(1,0,1)0()Auyyxyzyz,

15、2222(1,0,1)12()Auzzxyzyz, 所以 coscoscosAAAAuuuulxyz 1221110 ()233232 . (5)【答案】2 【解析】因为102020100103B ,所以矩阵B可逆,故()( )2r ABr A. 【相关知识点】()min( ( ), ( )r ABr A r B.若A可逆,则 1()( )()()()r ABr Br EBr AABr AB. 从而()( )r ABr B,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小

16、题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一项符合题目要求项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1)【答案】(D) 【解析】由于存在函数( , )u x y,使得 22()()()xay dxydyduxyxy, 由可微与可偏导的关系,知 2()uxayxxy,2()uyyxy, 分别对, y x求偏导数,得 2243()() 2()(2)()()ua xyxayxyaxayx yxyxy , 232()uyy xxy . 由于2uy x 与2ux y 连续,所以22uuy xx y ,即 33(2)2()()axayy

17、xyxy2a, 故应选(D). (2)【答案】(B) 【解析】 因为( )f x有二阶连续导数,且0( )lim10,|xfxx 所以由函数极限的局部保号性可知,在0 x的空心领域内有( )0|fxx,即( )0fx,所以( )fx为单调递增. 又由(0)0f ,( )fx在0 x由负变正,由极值的第一充分条件,0 x是( )f x的极小值点,即(0)f是( )f x的极小值.应选(B). 【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim( ).xxf xA若0A(或0A)0,当 00 xx时,( )0f x (或( )0f x ). (3)【答案】(A) 【解析】若正项级数1nna收敛,则21nn

18、a也收敛,且当n时,有 tanlim( tan)limnnnnnn. 用比较判别法的极限形式,有 22tanlim0nnnnana. 因为21nna收敛,所以2limtannxnan也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A). 【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式： 设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则 (1) 当0A时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散； (2) 当0A时,若1nnu收敛,则1nnv收敛；若1nnv发散,则1nnu发散； (3) 当A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛；若1nnu发散,则1nnv发散. (4)【答案】(C) 【解析】用洛必达法则.

19、 由题可知 2200( )( )( )xxF xxf t dtt f t dt, 对该积分上限函数求导数,得 2200( )2( )( )( )2( )xxF xxf t dtx f xx f xxf t dt, 所以 0010002( )2( )( )limlimlimxxkkkxxxxf t dtf t dtF xxxx 23002 ( )2( )limlim(1)(1)(2)kkxxf xfxkxkkx洛洛. 因为( )F x与kx是同阶无穷小,且(0)0f ,所以302( )lim(1)(2)kxfxkkx为常数,即3k 时有 300( )2( )limlim(0)0(1)(2)kkx

20、xF xfxfxkkx, 故应选(C). 【相关知识点】设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限 ( )lim( )xlx, (1) 若0,l 称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l 称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小,记为( )( )xx； (3) 若0,l 称在该极限过程中( )x是( )x的高阶无穷小,记为( )( )xox. 若( )lim( )xx不存在(不为),称( ),( )xx不可比较. (5)【答案】(D) 【解析】可直接展开计算, 22221331334400000000ababDa babbaab 2222141

21、4232 3141 43333()()ababa abba ab ba abbbaba, 所以选(D). 三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得 2222( )( )(1 cos )sindsrrdad 2(1cos )2cos2adad. 由于( )(1cos )rra以2为周期,因而的范围是0,2 . 又由于( )()rr,心形线关于极轴对称.由对称性, 00024cos8sin822sdsadaa. (2)【解析】用单调有界准则. 由题设显然有0nx ,数列 nx有下界.

22、 证明nx单调减：用归纳法.21166 104xxx；设1nnxx,则 1166nnnnxxxx. 由此,nx单调减.由单调有界准则,limnnx存在. 设lim,(0)nnxa a,在恒等式16nnxx两边取极限,即 1limlim66nnnnxxaa, 解之得3a (2a 舍去). 【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限. 2. 收敛数列的保号性推论：如果数列 nx从某项起有0nx (或0nx ),且limnnxa,那么0a(或0a). 四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).) x y z 1 xOy

23、O x y O xyD y O z 1 2zy yzD (1)【分析一】见下图所示,S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求出,分别为 22:1xyDxy； 2: 11,1yzDyyz ,或01,zzyz. 图图 1 1 求Szdxdy,自然投影到xOy平面上.求(2)Sxz dydz时,若投影到xOy平面上,被积函数较简单且可利用对称性. 【分析二】令( , , )2,( , , )0, ( , , )P x y zxz Q x y zR x y zz,则SIPdydzRdxdy. 这里,2 13PQRxyz ,若用高斯公式求曲面积分I,则较简单.因S不是封闭曲面,故要添加辅助曲面. 【解析

24、】方法一：方法一：均投影到平面xOy上,则 22(2)(2)()()xySDzIxz dydzzdxdyxzxydxdyx, 其中22zxy,22:1xyDxy. 把2zxx代入,得 2222242 ()()xyxyxyDDDIx dxdyx xy dxdyxy dxdy, 由对称性得 222 ()0 xyDx xydxdy,22242()xyxyDDx dxdyxy dxdy, 所以 22()xyDIxy dxdy . 利用极坐标变换有 121340001242Idr drr . 方法二：方法二：分别投影到yOz平面与xOy平面. 投影到yOz平面时S要分为前半部分21:Sxzy与后半部分2

25、2:Sxzy (见图 1),则 12(2)(2)SSSIxz dydzxz dydzzdxdy. 由题设,对1S法向量与x轴成钝角,而对2S法向量与x轴成锐角.将I化成二重积分得 2222222(2)( 2)()4().yzyzxyyzxyDDDDDIzyz dydzzyz dydzxydxdyzy dydzxydxdy 221311122221131242200sin2()344(1)cos3343,3 4 2 24yzzyDz yytzy dydzdyzy dzzydyydytdt 或 21122001.24yzzzDzy dydzdzzy dyzdz (这里2zzzy dy是半径为z的圆

26、面积的一半.) 22()2xyDxy dxdy(同方法一). 因此, 4.422I 方法三：方法三：添加辅助面221:1(1)Szxy,法方向朝下,则 11(2)1SSDxz dydzzdxdydxdydxdy , 其中D是1S在平面xy的投影区域：221xy. S与1S即22zxy与1z 围成区域,S与1S的法向量指向内部,所以在上满足高斯公式的条件,所以 1(2)3SSxz dydzzdxdydV 1100( )3332D zdzdxdyzdz , 其中,( )D z是圆域：22xyz,面积为z. 因此,133(2)()222SIxz dydzzdxdy . (2)【解析】由多元复合函数求

27、导法则,得 zzuzvzzxuxv xuv , 2zzuzvzzayuyv yuv , 所以 22222222()()zzzzuzvzvzuxxuxvuxu vxvxv ux 222222zzzuu vv , 2222222()()zzzzuzvzvzux yyuyvuyu vyvyv uy 222222(2)zzzaauu vv , 222222222222222()()2()()44.zzzayyuyvzuzvzvzuauyu vyvyv uyzzzaauu vv 代入2222260zzzxx yy ,并整理得 2222222226(105 )(6)0zzzzzaaaxx yyu vv .

28、 于是,令260aa得3a 或2a . 2a 时,10 50a,故舍去,3a 时,10 50a,因此仅当3a 时化简为20zu v . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若( , )uu x y和( , )vv x y在点( , )x y处偏导数存在,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数 ( , ), ( , )zf u x y v x y在点( , )x y处的偏导数存在,且 ,zfufvzfufvxuxv xyuyv y . 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】先将级数分解, 212211222131111()(1)2211

29、111111.212122nnnnnnnnnnnnAnnnnnnn 令 1221311,22nnnnAAnn, 则 12AAA. 由熟知ln(1)x幂级数展开式,即11( 1)ln(1)( 11)nnnxxxn ,得 1121111( 1)1111()ln(1)ln2242424nnnnnAnn , 12331211( 1)1()22( 1)11111115()()ln(1)ln2,22222288nnnnnnnnAnnn 因此, 1253ln284AAA. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】曲线( )yf x上点( ,( )x f x处的切线方程为 ( )( )()

30、Yf xfx Xx. 令0X 得y轴上的截距( )( )Yf xfx x.由题意, 01( )( )( )xf t dtf xfx xx. 为消去积分,两边乘以x,得 20( )( )( )xf t dtxf xfx x, (*) 将恒等式两边对x求导,得 2( )( )( )2( )( )f xf xxfxxfxx fx, 即 ( )( )0 xfxfx. 在(*)式中令0 x得00自然成立.故不必再加附加条件.就是说( )f x是微分方程 0 xyy的通解.下面求解微分方程0 xyy. 方法一：100 xyyxyxyC, 因为0 x,所以1Cyx , 两边积分得 12( )lnyf xCx

31、C. 方法二：令( )yP x ,则yP,解0 xPP得1CyPx . 再积分得12( )lnyf xCxC. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】由于问题涉及到, f f 与f 的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c展开： 2( )( )( )( )()()2!ff xf cfx xcxc,在c与x之间. 分别取0,1x 得 20()(0)( )( )(0)(0)2!fff cfccc,0在c与0之间, 21( )(1)( )( )(1)(1)2!fff cf ccc,1在c与1之间, 两式相减得 22101(1)(0)( )( )(1)()2!fff cfcfc

32、, 于是 22101( )(1)(0)( )(1)()2!f cfffcfc. 由此 221011( )(1)(0)( ) (1)()2!2!f cfffcfc 2212(1)222babcca. 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 【解析】(1)因为TAE,T 为数,T为n阶矩阵,所以 2()()2()(2)TTTTTTTAEEEE , 因此, 2(2)(1)0TTTTTAAEE 因为是非零列向量,所以0T,故210,TAA 即1T. (2)反证法.当1T时,由(1)知2AA,若A可逆,则121AA AA AE. 与已知TAEE矛盾,故A是不可逆矩阵. 九、九、( (本题满分

33、本题满分 8 8 分分) ) 【解析】(1)此二次型对应的矩阵为 51315333Ac . 因为二次型秩 ( )( )2r fr A,由 513440400153153163333336Accc 可得3c.再由A的特征多项式 513|153(4)(9)333EA 求得二次型矩阵的特征值为0,4,9. (2)因为二次型经正交变换可化为222349yy,故 123( ,)1f x x x,即2223491yy. 表示椭圆柱面. 【相关知识点】主轴定理：对于任一个n元二次型 12( ,)Tnf x xxx Ax, 存在正交变换xQy(Q为n阶正交矩阵),使得 2221 122()TTTnnx Axy

34、Q AQ yyyy, 其中12,n 是实对称矩阵A的n个特征值,Q的n个列向量12,n 是A对应于特征值12,n 的标准正交特征向量. 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).) (1)【答案】37 【解析】设事件C “抽取的产品是次品”,事件D “抽取的产品是工厂A生产的”,则事件D表示“抽取的产品是工厂B生产的”,依题意有 ( )0.60, ( )0.40, (|)0.01, (|)0.02P DP DP C DP C D. 应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C： () (|)0.6 0.013(|

35、)0.6 0.010.4 0.027() (|)() (|)P D P C DP D CP D P C DP D P C D. 【相关知识点】 贝叶斯公式： 设试验E的样本空间为S.A为E的事件,12,nB BB为S的一个划分,且( )0, ()0(1,2, )iP AP Bin,则 1() (|)(|),1,2, .() (|)iiinjjjP B P A BP BAinP B P A B (*) (*)式称为贝叶斯公式. (2)【答案】2 【解析】由于与相互独立且均服从正态分布21(0,() )2N,因此它们的线性函数U服从正态分布,且 ()0,EUEEE 11122DUDDD, 所以有

36、(0,1)UN. 代入正态分布的概率密度公式,有 221( )2uf uedu. 应用随机变量函数的期望公式有 221(|)(|)|2uEE Uuedu220122uuedu 由凑微分法,有 22201(|)2()22uuEed 22022ue 2. 【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布. 若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ()()( )E aXbYcaE XbE Yc, 22()()( )D aXbYca D Xb D Y, 其中, ,a b c为常数. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 【解析】易见(, )X

37、Y的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意 XY,故0P XY,即 1,21,32,30P XYP XYP XY, 1,1max( , )1,min( , )1P XYP 11,1119PPP. 类似地可以计算出所有ijp的值列于下表中,得到随机变量(, )X Y的联合分布律： X Y 1 2 3 1 19 0 0 2 29 19 0 3 29 29 19 (2)将表中各行元素相加求出X的边缘分布 123135999X, 由离散型随机变量数学期望计算公式可得 135221239999EX . 【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式： 二维离散型随机变量(, )X Y关于X与Y的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为： ,1,2,iiijijjjpP XxP Xx Yyp i ,1,2,jjijijiipP YyP Xx Yypj 它们分别为联合分布律表格中第i行与第j列诸元素之和. 2. 离散型随机变量数学期望计算公式：1()nkkkE XxP Xx.