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1、修正版 1 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程yxy确定y是x的函数,则dy _.(2)设()arcsinxf x dxxC,则1()dxf x_.(3)设00,xy是抛物线2yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_.(4)设 123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa,123nxxXxx,1111B ,其中(;,1,2,)ijaa ij i jn.则线性方程组TA XB的解是_.(5)设由来自正态总体2(,0.9)
2、XN容量为 9 的简单随机样本,得样本均值5X,则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分cos200(cos,sin)df rrrdr可以写成 ()(A)2100(,)y ydyf x y dx (B)21100(,)ydyf x y dx (C)1100(,)dxf x y dy (D)2100(,)x xdxf x y dy(2)下述各选项正确的是 ()(A)若21nnu和21nnv都收敛,则21()nnnuv收敛 (B)1n
3、nnu v收敛,则21nnu与21nnv都收敛 (C)若正项级数1nnu发散,则1nun 修正版 2 (D)若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuv n,则级数1nnv也收敛(3)设n阶矩阵A非奇异(2n),A是矩阵A的伴随矩阵,则 ()(A)1()nAAA (B)1()nAAA (C)2()nAAA (D)2()nAAA (4)设有任意两个n维向量组1,m和1,m,若存在两组不全为零的数1,m 和1,mkk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则()(A)1,m和1,m都线性相关 (B)1,m和1,m都线性无关 (C)1111,mmmm线性无关 (D)1111,mmmm线
4、性相关(5)已知0()1P B且1212()()P AABP A BP A B,则下列选项成立的是()(A)1212()()P AABP A BP A B (B)1212()()P ABA BP ABP A B (C)1212()()P AAP A BP A B (D)1122()()()P BP A P B AP A P B A 三、(本题满分 6 分)设(),0,()0,0,xg xexf xxx其中()g x有二阶连续导数,且(0)1,(0)1gg.(1)求()fx；(2)讨论()fx在(,)上的连续性.四、(本题满分 6 分)修正版 3 设函数()zf u,方程()()xyuup t
5、dt确定u是,x y的函数,其中(),()f uu可微；()p t,()u连续,且()1u.求()()zzp yp xxy.五、(本题满分 6 分)计算20(1)xxxedxe.六、(本题满分 5 分)设()f x在区间0,1上可微,且满足条件120(1)2()fxf x dx.试证:存在(0,1)使()()0.ff 七、(本题满分 6 分)设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成aQcpb,其中ab、c均为正数,且abc.(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分 6 分)求微分方程22yxydydx
6、x的通解.九、(本题满分 8 分)设矩阵010010000010012Ay.(1)已知A的一个特征值为 3,试求y；(2)求矩阵P,使()()TAPAP为对角矩阵.十、(本题满分 8 分)设向量12,t 是齐次线性方程组0AX 的一个基础解系,向量不是方程组 修正版 4 0AX 的解,即0A.试证明:向量组12,t 线性无关.十一、(本题满分 7 分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是
7、多少?十二、(本题满分 6 分)考虑一元二次方程20 xBxC,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、(本题满分 6 分)假设12,nXXX是来自总体 X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kkEXak.证明：当n充分大时,随机变量211nniiZXn近似服从正态分布,并指出其分布参数.修正版 5 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1lndxxy【解析】方法 1：方程yxy两边取对数得lnlnlnyxyy
8、y,再两边求微分,11ln1ln1dxydydydxxxyln10 xy.方法 2：把yxy变形得lnyyxe,然后两边求微分得 lnln1 ln1 lnyyydxed yyyy dyxy dy,由此可得 1.1lndydxxy(2)【答案】32113xC【解析】由()arcsinxf x dxxC,两边求导数有 2211()arcsin1()1xf xxxxf xx,于是有 1()dxf x2221112xx dxx dx 221112x dx 32113xC.(3)【答案】0ca(或20axc),b任意【解析】对2yaxbxc两边求导得 0022yaxb,yxaxb,所以过00 x,y的切
9、线方程为0002yyaxbxx,即 200002yaxbxcaxbxx.又题设知切线过原点0 0,把0 xy代入上式,得 2200002axbxcaxbx,即20axc.修正版 6 由于系数0a,所以,系数应满足的关系为0ca(或20axc),b任意.(4)【答案】1 0 00T,【解析】因为A是范德蒙行列式,由ijaa知0ijAaa.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TA XB有唯一解.根据克莱姆法则,对于 2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa ,易见 1230nDA,DDD.所以TA XB的解为12310nx,xxx,即
10、1 0 00T,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 或简记为 11 2nijjija xb,i,n 其系数行列式 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa,则方程组有唯一解 1 2jjDx,j,n.D 其中jD是用常数项12nb,b,b替换D中第j列所成的行列式,即 修正版 7 1111111121212212111,j,jn,j,jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa.(5)【答案】(4.412,5.588)【解
11、析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9,对正态总体的数学期望进行估计,可根据 因2(,0.9)XN,设有n个样本,样本均值11niiXXn,有20.9(,)XNn,将其标准化,由公式()(0,1)()XE XND Xn得：)1,0(1NnX 由正态分布分为点的定义211XPun 可确定临界值2u,进而确定相应的置信区间22(,)xuxunn.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22,xuxunn,其中21,(0,1)P UuUN,可以直接得出答案.方法 1：由题设,95.01,可见.05.0查标准正态分布表知分位点.96.12u
12、本题9n,5X,因此,根据 95.096.11nXP,有 51.960.9519P,即 4.4125.5880.95P,修正版 8 1 x y O 1212 故的置信度为 0.95 的置信区间是(4.412,5.588).方法 2：由题设,95.01,222222()10.95,()0.975P UuPuUuuu 查得.96.12u 20.9,9n,5X 代入22(,)xuxunn得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法
13、1：由题设知,积分区域在极坐标系cos,sinxryr中是,|0,0cos,2Drr 即是由221124xy与x轴在第一象限所围成的 平面图形,如右图.由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是 1,下边界方程是0y,上边界的方程是2yxx,从而D 的直角坐标表示是 201 0Dx,y|x,yxx,故(D)正确.方法 2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 1,|0,0sin,2Drr 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形01 01x,y|x,y,所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数21nn
14、u和21nnv都收敛,可见级数221nnnuv收敛.由不等式 222n nnnu vuv 修正版 9 及比较判别法知级数12nnnu v收敛,从而12nnnu v收敛.又因为2222nnnnnnuvuvu v,即级数21nnnuv收敛,故应选(A).设2111 2nnu,vn,n,可知(B)不正确.设2111 2nun,nn,可知(C)不正确.设 1111 2nnnu,vn,nn,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuv n,则级数1nnv也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这
15、是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAA AA E,现将A视为关系式中的矩阵A,则有()A AA E.方法一：由1nAA及1()AAA,可得 121()().nnAAAAAAAA 故应选(C).方法二：由()A AA E,左乘A得 1()()nAAAAA,即1()()nA EAAA.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,s 线性无关,即若1 1220ssxxx,必有120,0,0sxxx.既然1,m与1,mkk不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(
16、C).一般情况下,对于 1122110,sssskkkll 修正版 10 不能保证必有11220,sskkk及110,ssll故(A)不正确.由已知条件,有 1111110mmmmmmkk,又1,m与1,mkk不全为零,故1111,mmmm线性相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】依题意 12121212)(,.()()()()()PAABP ABP A BP ABA BP ABP A BP BP BP BP BP B 因()0P B,故有1212)(P ABA BP ABP A B.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略
17、了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A应满足12()0,()0P AP A,且12,A A是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P ABP B AP A.三、(本题满分 6 分)【解析】(1)由于()g x有二阶连续导数,故当0 x 时,()f x也具有二阶连续导数,此时,()fx可直接计算,且()fx连续；当0 x 时,需用导数的定义求(0)f.当0 x 时,22()()()()(1)().xxxx g xeg xexg xg xxefxxx 当0 x 时,由导数定义及洛必达法则,有 2000()()()(0)1(0)limlimlim222xxxxxxg xeg xe
18、gxegfxx洛洛.所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg xg xxexxfxgx(2)()fx在0 x 点的连续性要用定义来判定.因为在0 x 处,有 200()()(1)lim()limxxxxg xg xxefxx 修正版 11 0()()()(1)lim2xxxg xxgxg xexex 0()(0)1lim(0)22xxgxegf.而()fx在0 x 处是连续函数,所以()fx在(,)上为连续函数.四、(本题满分 6 分)【解析】由()zf u可得(),()zuzuf uf uxxyy.在方程()()xyuup t dt两边分别对,x y求偏导数,得()(),()(
19、).uuuuup xup yxxyy 所以 ()(),1()1()up xup yxuyu.于是 ()()()()()()()01()1()zzp x p yp x p yp yp xf uxyuu.五、(本题满分 6 分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法 1:因为 21(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee分部积分 1(1)1111ln(1),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe 所以 20limln(1)ln2.(1)1xxxxxxxexedxeee 而 limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxe
20、xeeeeee limln(1)1xxxxxexee 修正版 12 lim001xxxe,故原式ln2.方法 2:220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee 00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee 六、(本题满分 5 分)【分析】由结论可知,若令()()xxf x,则()()()xf xxfx.因此,只需证明()x在0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()xxf x,由积分中值定理可知,存在1(0,)2,使 1122001()()()2xf x dxx dx,由已知条件,有1201(1)2()2()(
21、),2fxf x dx 于是(1)(1)(),f 且()x在(,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),使得()0,即()()0.ff【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x在积分区间,a b上连续,则在,a b上至少存在一个点,使下式成立：()()()baf x dxfbaab.这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：如果函数()f x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间a,b内可导；修正版 13(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f af b,那么在a,b内至少有一点(ab),使得 0f.七、(本题满分 6 分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果
22、在x的某个区间上导函数 0fx,则函数 f x单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则 22(),().abc pbaRpQpc R ppbpb 令0,R 得 0()0abbpbabccc.当0()bpabcc时,0R,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加.当()bpabcc时,有0R,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少.(2)由(1)可知,当()bpabcc时,销售额R取得最大值,最大销售额为 2max()abaRbcabccabc.八、(本题满分 6 分)【解析】令yzx,则dydzzxdxdx.当0 x 时,原方程化为21dzzxzzdx,即21dzdxxz,
23、其通解为 21ln(1)lnzzxC 或 2C1zzx.代回原变量,得通解22(0)yxyC x.当0 x 时,原方程的解与0 x 时相同,理由如下:令tx,于是0t,而且 222222yxyyxyytydydy dxdydtdx dtdxxxt .修正版 14 从而有通解22(0)ytyC t,即22(0)yxyC x.综合得,方程的通解为22yxyC.注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx后得 2221xyxz,从而,应当分别对0 x 和0 x 求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分 8 分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而
24、(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】(1)因为3是A的特征值,故 3100130031 3138(2)0,003113110011yEAyy 所以2y.(2)由于TAA,要2()()TTAPAPP A P,而 21000010000540045A 是对称矩阵,故可构造二次型2Tx A x,将其化为标准形Tyy.即有2A与合同.亦即2TP A P .方法一：配方法.由于 22222123434558Tx A xxxxxx x 22222212334444222212344816165()55255495(),55xx
25、xx xxxxxxxxx 那么,令1122334444,5yx yxyxxyx即经坐标变换 修正版 15 1122334410000100,400150001xyxyxyxy 有 222221234955Tx A xyyyy.所以,取 10000100400150001P,有 211()()595TTAPAPP A P.方法二：正交变换法.二次型22222123434558Tx A xxxxxx x对应的矩阵为 21000010000540045A,其特征多项式 2310000100(1)(9)00540045EA.2A的特征值12341,1,1,9.由21()0EAx,即 123400000
26、000000044000440 xxxx ,和24()0EAx,即 123480000080000044000440 xxxx ,分别求得对应1,2,31的线性无关特征向量 修正版 16 123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)TTT,和49的特征向量4(0,0,1,1)T.对123,用施密特正交化方法得123,再将4单位化为4,其中：12341111(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,),(0,0,)2222TTTT.取正交矩阵 123411100001000000,221122P ,则 1221119TP A PP A P,即 211()()19TTA
27、PAPP A P.十、(本题满分 8 分)【解析】证法 1：(定义法)若有一组数12,tk k kk使得 1122()()()0,ttkkkk (1)则因12,t 是0AX 的解,知0(1,2,)iAit,用A左乘上式的两边,有 12()0tkkkk A.(2)由于0A,故120tkkkk.对(1)重新分组为121122()0tttkkkkkkk.(3)把(2)代入(3)得 11220ttkkk.由于12,t 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,0tkkk.修正版 17 代入(2)式得:0k.因此向量组12,t 线性无关.证法 2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1 倍分
28、别加至其余各列,有 1212,.tt 因此 1212,.ttrr 由于12,t 是基础解系,它们是线性无关的,秩12,trt,又必不能由12,t 线性表出(否则0A),故12,1trt .所以 12,1.trt 即向量组12,t 线性无关.十一、(本题满分 7 分)【解析】设一周 5 个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即(5,0.2)B.由二项分布的概率计算公式,有 500.80.32768,P X 14510.80.20.4096,P XC 232520.80.20.2048,P XC 310120.05792.P XP XP XP X 设一周内所获利润Y(万元),则Y是X的函数
29、,且 10,0,5,1,()0,2,2,3.XXYf XXX若若若若 由离散型随机变量数学期望计算公式,10 0.327685 0.40962 0.057925.20896EY (万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.2.离散型随机变量数学期望计算公式：1()nkkkE XxP Xx.修正版 18 十二、(本题满分 6 分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为 36.设事件1A“方程有实根”,2A“方程有重根”,则221404BABCC.用列举法求有利于iA的样本点个数(1,2i),具
30、体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24BC 尽可能的成立,则需要B越大越好,C越小越好.当B取遍 1,2,3,4,5,6 时,统计C可能出现的点数有多少种.B 1 2 3 4 5 6 有利于1A的样本点数 0 1 2 4 6 6 有利于2A的样本点数 0 1 0 1 0 0 由古典型概率计算公式得到 11246619(),3636pP A21 11().3618qP A【相关知识点】古典型概率计算公式：().iiAP A 有利于事件的样本点数样本空间的总数 十三、(本题满分 6 分)【解析】依题意,12,nXXX独立同分布,可见22212,nXXX也独立同分布.由(1,2,3,4)kkEX
31、ak及方差计算公式,有 224222242222242211,(),111,().iiiinnniniiiEXaDXEXEXaaEZEXaDZDXaannn 因此,根据中心极限定理 2242()nnZaUaan 的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时,nZ近似服从参数为2422(,)aaan的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,nXXX独立同分布,方差存在,记与20 分别是它们修正版 19 相同的期望和方差,则对任意实数x,恒有 11lim()(),niniPXnxxn 其中()x是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D XE XEX.