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1、高二数学教案：导数的几何意义教学设计313导数的几何意义 313导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1.了解曲线的切线的概念2.驾驭用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3.并会求一曲线在详细一点处的切线的斜率与切线方程【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发觉、理解及应用导数的几何意义,会求一条详细的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入圆
2、与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线 为课题引入作铺垫.如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线（2）讲解导数的几何意义2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，依据解析几何中直线的点斜是方程的学问，只要求出切线的斜率就够了
3、设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后假如我们遇到一些困难的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.3说明：(1)是函数对自变量在范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率.(2)导数是函数在点的处瞬时改变率，它反映的函数在点处改变的快慢程度.它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，假如在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为指导学生理解导数的几何意义，可以探讨(3)讲解范例例1、曲线的
4、方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=切线的斜率为2.切线的方程为y2=2(x1)，即y=2x.例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k=切线的方程为y4=5(x1)，即y=5x1例3、求曲线f(x)=x3x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再依据斜率k=tana，求出倾斜角a.解：tana=通过例子，更深化理解导数的概念a0，a=.切线的倾斜角为.(4)课堂小结导数的几何意义，怎么求曲线的切线。补充题目:1导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在处的即：函数平
5、均改变率的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。3导数的几何意义是什么？导数的几何意义是4在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在. 旁边增（减）以及增（减）快慢的状况。在旁边呢？（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（探讨、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义说明实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）5如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）改变的函数图像，依据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时改变率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1) 0.20.40.60.8药物浓
6、度的瞬时改变率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义说明实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上几题可以让学生在课堂上完成)6.求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=+2,x处（）y，x处答案：(1)k=，（）k= 7已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y2=4(x1)即y=4x28.求曲线y=x2+1在点P(2，5)处的切线方程.解：k=切线方程是y5=4(x+2)，即y=4x3. 导数的
7、几何意义 2.2.2导数的几何意义（一）复习引入1、函数的平均改变率：已知函数，是其定义域内不同的两点，记则函数在区间的平均改变率为2、曲线的割线AB的斜率：由此可知：曲线割线的斜率就是函数的平均改变率。3、函数在一点处的导数定义：函数在点处的导数就是函数在点的瞬时改变率：记作：（二）讲授新课1、创设情境：问题：平面几何中我们怎样推断直线是否是圆的切线？ 学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线老师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义？老师引导学生举出反例如下： 老师举反例如下： 因此，对于一般曲线，必需重新寻求曲线的切线定义。引例：（看大屏幕） 2、曲线在一点处的切线定义：当点B
8、沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。老师导语：我们如何确定切线的方程？由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。那如何求切线的斜率呢？ 引例：（看大屏幕）： 3、导数的几何意义：曲线在点的切线的斜率等于注：点是曲线上的点（三）例题精讲例1、求抛物线过点（1，1）的切线方程。解：因为所以抛物线过点（1，1）的切线的斜率为2由直线方程的点斜式，得切线方程为练习题:求双曲线过点（2，）的切线方程。答案提示：例2、求抛物线过点（，6）的切线方程。由于点（，6）不在抛物线上，可设该切线过抛物线上的点（，）因为所以该切线的斜率为，
9、又因为此切线过点（，6）和点（，）所以因此过切点（2，4），（3，9）切线方程分别为：即（四）小结:利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳）求出函数在点处的导数得切线方程注：点是曲线上的点（五）板书： 复数的几何意义 3.1.2复数的几何意义【教学目标】1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义并驾驭复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简洁性质【教学重难点】复数与从原点动身的向量的对应关系【教学过程】一、复习回顾（1）复数集是实数集与虚数集的（2）实数集与纯虚数集的交集是（3）纯虚数集是虚数集的（4）设复数集C为全集，那么实数集的补
10、集是（5）a，bcdR，a+bi=c+di（6）a=0是z=a+bi(a，bR)为纯虚数的条件二、学生活动1、阅读课本相关内容，并完成下面题目（1）、复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是的（2）、叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示（3）、复数集C和复平面内全部的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点平面对量（4）、共轭复数（5）、复数z=a+bi(a、bR)的模2、学生分组探讨（1）复数与从原点动身的向量的是如何对应的？（2）复数的几何意义你是怎样理解的？（3）复数的模与向量的模有什么联系？（4）你能从几何的角度得出共轭复
11、数的性质吗？3、练习（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i （2）、已知复数=3-4i，=，试比较它们模的大小。 （3）、若复数Z=4a+3ai(a0)，则其模长为 （4）满意|z|=1(zR)的z值有几个？满意|z|=1(zC)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？三、归纳总结、提升拓展例1（2022年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（）A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限 1、复数z1=1+2i，z2=2+i，z3=12i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第
12、四个顶点对应的复数. 例3.设Z为纯虚数，且，求复数 四、反馈训练、巩固落实1、推断正误（1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数（2）若|z1|=|z2|，则z1=z2（3）若|z1|=z1，则z102、（）A、第一象限B、其次象限C、第三象限D、第四象限3、已知a，推断z=所对应的点在第几象限4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3i|，求复数 复数的几何意义预习案 复数的几何意义预习案一、学习目标：1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.驾驭复数几何意义及复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简洁性质二、学习重点：复数与从原点动身的向量的对应关系三、自学过程
13、：1、复习回顾（1）复数集是实数集与虚数集的（2）实数集与纯虚数集的交集是（3）纯虚数集是虚数集的（4）设复数集C为全集，那么实数集的补集是（5）a，bcdR，a+bi=c+di（6）a=0是z=a+bi(a，bR)为纯虚数的条件2、预习看课本60-61页，完成下面题目。（1）复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是的（2）叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示（3）复数集C和复平面内全部的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点平面对量（4）共轭复数（5）复数z=a+bi(a、bR)的模3、自主练习（1）、在复平面内，分别用点和向
14、量表示下列复数：4，2+i，-1+3i，3-2i，-i（2）、已知复数=3+4i，=，试比较它们模的大小。 （2）、若复数Z=3a-4ai(a0)，则其模长为（3）满意|z|=5(zR)的z值有几个？满意|z|=5(zC)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？ （4）设ZC，满意23的点Z的集合是什么图形？已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，实数m的值为_. 例1（2022年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（）A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限四：变式训练1已知复平面上正方形的三个顶点是
15、A（1，2）、B（2，1）、C（1，2），求它的第四个顶点D对应的复数. 五、小结：当堂检测： 复数的几何意义学案一、学习目标：1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.驾驭复数几何意义及复数模的计算方法3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简洁性质二、学习重点：复数与从原点动身的向量的对应关系三、学习过程：一、1、预习课本说明复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系的叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示。巩固练习：在复平面内的原点(0，0)表示实轴上的点(2，0)表示，虚轴上的点(0，1)表示，虚轴上的点(0，5)表示
16、非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3)表示的复数是，z=53i对应的点(5，3)在第象限2、复数集C和复平面内全部的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点平面对量3、共轭复数4、复数z=a+bi(a、bR)的模二、讲解范例：例1已知复数对应的点在第一象限，则实数m的取值范围 例2复数z1=1+2i，z2=2+i，z3=12i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数. 例3.设且满意下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 1)2)3)Z的实部和虚部相等 例4.设Z为纯虚数，且，求复数 探讨性学习：复数为实数的充要条件 五、小结：当堂检测1、推断（1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数（2）若|z1|=|z2|，则z1=z2（3）若|z1|=z1，则z102、（）A、第一象限B、其次象限C、第三象限D、第四象限3、已知a，推断z=所对应的点在第几象限？ 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页