椭圆的定义和标准方程.docx

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1、椭圆的定义和标准方程2.1.1椭圆的定义及其标准方程2 2.1.1椭圆的定义及其标准方程2【学情分析】：学生已经学过了轨迹方程、椭圆的定义及其标准方程的概念。本节课将主要通过例题、练习明确求轨迹方程的步骤，进一步加强学生对于学问的驾驭。【三维目标】：1、学问与技能：使学生进一步驾驭椭圆的定义；驾驭焦点、焦点位置、焦距与方程关系；进一步强化学生对求轨迹方程的方法、步骤的驾驭。2、过程与方法：通过例题、习题的评练结合，促使学生驾驭求椭圆轨迹方程的方法。3、情感看法与价值观：通过讲解求椭圆轨迹方程，使学生相识到辨证联系地看问题，学会在解题过程中抓住题目中条件与结论的联系。【教学重点】：学问与技能、【

2、教学难点】：学问与技能【课前打算】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习1、动点轨迹的一般求法？2、请讲出椭圆的标准方程？3、讲出椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系4、完成下面的题目（答案略）设a+c=10，a-c=4，则椭圆的标准方程是动点M到两个定点A（0，-）、B（0，）的距离的和是，则动点M的轨迹方程是与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆方程是椭圆2x+3y=6的焦距是通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学学问之间的内在联系。并为后面的题目做好打算。 二、例题、例1在圆上任取一点P，过点P做x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中

3、点M的轨迹是什么？为什么？（）例2设点A、B的坐标分别为（5，0），（5，0）。直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。（）通过两个典型例题，使学生明确设点求轨迹方程的方法、步骤：（1）设动点（x,y）；（2）依据题目的条件找到相等关系，并列出等式；（3）化简，得到所求方程；（4）留意不满意去掉不满意条件的点。三、巩固练习1、设点A、B的坐标分别为（1，0），（1，0）。直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？（x=3，（y0）2、若P(-3,0)是圆x+y-6x-55=0内肯定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求动

4、圆圆心M的轨迹方程。()*3、在面积为1的PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过P点的椭圆的方程。（+=1）进一步巩固学生求轨迹方法的驾驭。四、小结本节课重点是设动点求轨迹方程。要着重体会四个步骤：（1）设动点（x,y）；（2）依据题目的条件找到相等关系，并列出等式；（3）化简，得到所求方程；（4）留意不满意去掉不满意条件的点。五、作业P426、7*B1、2、3、六、补充训练1.椭圆2x+3y=6的焦距是（A）A.2B.2()C2D.2()2已知椭圆经过点(2,1)，且满意，则它的标准方程是（D）A.B.C或D或3若椭圆两焦点为F(-4,0),F(4,0

5、),P在椭圆上,且PFF的最大面积是12.则椭圆方程是(C)ABCD4.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（B）ABCD165已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是（D）A(1,+)BCD6.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为（B）A.8B.16C.25D.32 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程（） 教学目标：1、通过本节课课前及课堂上的探究探讨过程，使学生理解椭圆的定义，驾驭椭圆的标准方程；2、复习和巩固求轨迹方程的基本方法.3、能够理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一步提高学生解析实力；教学重点：1、椭圆的定义和椭圆的标准方程及其求法，

6、2、椭圆曲线和方程之间的相互关系教学难点：1、建立适当的坐标系，求椭圆标准方程2、利用椭圆的定义和标准方程探讨曲线教学方式：体验式教学手段：多媒体演示学生特点：本节课的教学对象为中学试验班学生，数学基础较好教学过程：1、给出椭圆定义由学生依据课前的预习叙述椭圆的定义：1）椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆F1，F2叫做椭圆的焦点；叫做椭圆的焦距2）展示学生通过预习椭圆学问，结合椭圆的学问所作的“图形”，并介绍椭圆的做法，帮助同学了解椭圆的定义，同时引出椭圆标准方程2、推导椭圆标准方程推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）建系：以和所在直

7、线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；设点：设是椭圆上随意一点，设，则，；列式：由得；化简：移项平方后得，整理得，两边平方后整理得，由椭圆的定义知，即，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：（）3进一步相识椭圆标准方程（驾驭椭圆的标准方程，以及两种标准方程的区分）（1）方程（）叫做椭圆的标准方程它表示焦点在轴上，焦点坐标为，其中（2）方程方程（）也是椭圆的标准方程它表示焦点在轴上，焦点坐标为，其中4通过例题巩固椭圆的标准方程.例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆上随意一点与两焦点的距离的和等于8；(2)两个焦点的坐标分别是(0,4)，(0

8、，4)，并且椭圆经过点.5再次展示学生所作椭圆，让学生利用椭圆方程和椭圆定义来推断所作的“椭圆”，并说明推断的依据，进一步椭圆定义和椭圆的标准方程.6小结：这节课我们围绕椭圆及其标准方程探讨了椭圆这几个方面的问题：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程推导；（3）利用椭圆的定义和标准方程探讨曲线；7作业：（1）P42，练习A第1，2，3，4题；（2）求演示图形5中椭圆的方程. 2.2.1椭圆的标准方程 2.2.1椭圆的标准方程 教学目标： （一）、学问与技能：理解椭圆标准方程的推导；驾驭椭圆的标准方程；会依据条件求椭圆的标准方程，会依据椭圆的标准方程求焦点坐标。 （二）、过程与方法：让学生经验

9、椭圆标准方程的推导过程，进一步驾驭求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培育学生运用类比、联想等方法提出问题。 （三）、情感看法与价值观：通过详细的情境感知探讨椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培育学生的审美情趣，形成学习数学学问的主动看法。 教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程： （一）、问题情境： 生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌 问题1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形态是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？ 问题2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它原委是不是椭圆？ 问题3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石

10、的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。怎样才能精确地制造它们？ 学生回忆 椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做焦距 注：满意几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ （1）平面内；若把平面内去掉，则轨迹是什么？ （2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a； 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:2c. （3）常数,若，则轨迹是什么？若呢？ （二）师生探究： 1、回顾求圆的标准方程的基本步骤 建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 2、如何建立适当的坐标系？ 原则：尽可能使方程的形

11、式简洁、运算简洁 (一般利用对称轴或已有的相互垂直的线段所在的直线作为坐标轴。) 建立适当的直角坐标系：建立直角坐标系xoy，使x轴经过点,并且O与线段的中点重合 设点：设是椭圆上随意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为.又设M与的距离之和等于常数 y F2 o P F1依据条件得 所以得： x 化简：整理得： 由椭圆的定义可知： 令，其中，代入上式整理得: 思索：怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？ 问题1:椭圆标准方程的特点是什么? 问题2:如何推断椭圆焦点位置? 椭圆的定义 平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。 图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置

12、的推断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上（三）学生活动 一、基础训练 1、若动点P到两定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（B） A.椭圆B.线段F1F2 C.直线F1F2D.不存在 2、求下列椭圆的焦点坐标 1、2、3、4、 3、已知椭圆的方程为，则，焦点坐标为：，焦距为假如曲线上一点P到焦点的距离为8，则点P到另一个焦点的距离等于。 二、例题讲解 例1、求适合下列条件的椭圆方程 （1）a4，b3，焦点在x轴上； （2）b=1，焦点在y轴上; （3）若椭圆满意：，焦点在x轴上，求它的标准方程; 变：若把焦点在x轴上去掉呢？ (4)两个焦点分别是,且经过; （5）已知

13、椭圆经过两点，求它的标准方程; 解答：（1） （2） （3），変题： （4） (5) 反思探讨：（1）求椭圆方程的步骤：1.定型，2.定位，3.定量 （2）椭圆的标准方程可统一成 例2、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为m，外轮廓线上的点到两个焦点之和为3m，求这个椭圆的标准方程。 解：以两焦点所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为 依据题意知，所以 因此，这个椭圆的标准方程为： 课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，驾驭了求焦点在x轴上和在y轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：待定系数法，坐标转移法；有时还须要数形结合、分

14、类探讨等思想。 作业布置 教材P30页习题2.2第2，3，4，5题 课后作业：创新作业 椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程教学目标1.把握椭圆的定义,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;2.能依据条件确定椭圆的标准方程,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程;3.通过对椭圆概念的引入教学,培育学生的视察实力和探究实力;4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步把握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的实力;5.通过让学生大胆探究椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的主动性,培育学生的学习爱好和创新意识.教学建议教材分析1.学问结构2.重点难点分

15、析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法.椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要探讨的三种圆锥曲线中首先遇到的,所以教材把对椭圆的探讨放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是特别重要的.(1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满意的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理解.另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于.这样规定是为了避开出现两种非凡状况,即:“

16、当常数等于时轨迹是一条线段;当常数小于时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步探讨椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时注意不要忽视这两种非凡状况,以保证对椭圆定义的精确性.(2)依据椭圆的定义求标准方程,应注意下面几点:曲线的方程依靠于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应当注意的地方.应让学生视察椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理,发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简洁,而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁.设椭圆的焦距为,椭圆上任一点到两个焦点的距离为,令,这些措施,都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁,

17、要让学生仔细领悟.在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时常常遇到的问题,又是学生的难点.要注意说明这类方程的化简方法:方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.教科书上对椭圆标准方程的推导,事实上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明,”方程的解为坐标的点都在椭圆上”.这事实上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.(3)两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上,轴上的椭圆标准方程分别为:,.它们的相同点是:外形相同、大小相同,都有,.不同点

18、是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.另外,形如中,只要,同号,就是椭圆方程,它可以化为.(4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法.例3有三个作用:第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;其次是向学生说明,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使学生知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.教法建议(1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发学生的学习爱好.为激发学生学习圆锥曲线的爱好,体会圆锥曲线学问在实际生活中

19、的作用,可由实际问题引入,从中提出圆锥曲线要探讨的问题,使学生对所要探讨的内容心中有数,如书中所给的例子,还可以启发学生找寻身边与圆锥曲线有关的例子。例如,我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行,太阳系的其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上.假如这些行星运动的速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类放射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理.相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动,不行能有任何其他的轨道.因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式,另外,工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线,都和圆锥曲线有关,圆锥曲线在实际

20、生活中的价值是很高的.(2)支配学生课下切割圆锥形的事物,使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线名称的来历,但为了节约课堂时间,教学时应支配让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等,以加深对圆锥曲线的熟识.(3)对椭圆的定义的引入,要注意借助于直观、形象的模型或教具,让学生从感性熟识入手,逐步上升到理性熟识,形成正确的概念。老师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道,谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等,让学生先对椭圆有一个直观的了解。老师可事先预备好一根细线及两根钉子,在给出椭圆在数学上的严格定义之前,老师先在黑板上取两个定点(两定点之间的距离小于细线的长度),再让两名学生按老师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后,老师再在黑板上取两个定点(两定点之间的距离大于细线的长度),然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过视察两次作图的过程,总结出阅历和教训,老师因势利导,让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样,学生对这肯定义就会有深刻的了解。第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页