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1、2.1.1椭圆及其标准方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一?P?F?2?F?1注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内; （2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定;(常记作常记作2c) （3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作常记作2a, 且且2a2c) 1 .椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等于常数（大于）的点的轨
2、迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 12,F F1 2|FF二二思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与由此可知，椭圆的形状与两定点间距两定点间距离、绳长离、绳长有关有关轨迹是轨迹是一条线段一条线段轨迹不存在轨迹不存在 求动点轨迹求动点轨迹方程的一般步骤：方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系
3、，用有序实数对（）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;（2）写出适合条件）写出适合条件 P（M） ;（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; （4）化方程为最简形式）化方程为最简形式;（5）证明以化简后的方程为所求方程）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略可以省略不写不写,如有特殊情况，可以适当予以说明如有特殊情况，可以适当予以说明) 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy2 2原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单
4、；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简简洁洁”)解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直平分线为平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的点，椭圆的焦距焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .
5、xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标代入坐标222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(2222
6、2222caayaxca移项，再平方移项，再平方1F2FxyO),(yxM 0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2叫做叫做椭圆的标准方程。椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中12(,0)( ,0)FcF c222cba12(0,),(0, )Fc Fc 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得12222byax.p01F2Fxy（，a）(0,-a) a a2 22 22 20 0b ba a1 1y yb bx x2 2yx,也是椭圆的标准方程
7、。也是椭圆的标准方程。) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFF
8、Mx1oFyx2FM注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.181. 025. 222 yx)0( 12222 babyax解：以两焦点所解：以两焦点所在直线为在直线为X轴，线段轴，线段 的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立建立平面直角坐标系平面直角坐标系xOy。则这个椭圆的标准方程为则这个
9、椭圆的标准方程为:根据题意根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：因此，这个椭圆的方程为：21FF2, 1FFF1F2xy0M待定系数法11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?练习练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)
10、焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x轴上；轴上；6(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149练习练习3. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,则则C
11、F2=_. 1162522yx变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.14491622yx5436(-3,0)、(3,0)8116922yx练习练习4.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .22xy+=14m2222xyxy+=1+=1m -13-mm -13-m例例2、过椭圆、过椭圆 的一个焦点的一个焦点 的直线与椭圆的直线与椭圆交于交于A、B两点，求两点，求 的周长。的周长。2241xy1F2ABFyxoAB1F2F求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 12222byax0 12222babxay