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1、目 录第一章第一章 量子力学的诞生量子力学的诞生 第二章第二章 波函数和波函数和 SchrodingerSchrodinger 方程方程 第三章第三章 一维定态问题一维定态问题 第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 第五章第五章 态和力学量表象态和力学量表象 第六章第六章 近似方法近似方法 第七章第七章 量子跃迁量子跃迁 第八章第八章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 附录附录 科学家传略科学家传略 第一章第一章 量子力学的量子力学的诞生生1 1 经典物理学的困难经典物理学的困难 n2 2 量子论的诞生量子论的诞生 n3 3 实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性1 1 经典物理学
2、的困难经典物理学的困难n(一）经典物理学的成功一）经典物理学的成功 n1919世世纪纪末末，物物理理学学理理论论在在当当时时看看来来已已经经发发展展到到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：n(1)(1)应应用用牛牛顿顿方方程程成成功功的的讨讨论论了了从从天天体体到到地地上上各各种种尺尺度度的的力力学学客客体体体体的的运运动动，将将其其用用于于分分子子运运动动上上，气气体体分分子子运运动动论论，取取得得有有益益的的结结果果。18971897年年汤汤姆姆森森发发现现了了电电子子，这这个个发发现现表表明明电子的行为类似于一个牛顿粒子。电子的行为类似于一个牛
3、顿粒子。n(2)(2)光光的的波波动动性性在在18031803年年由由杨杨的的衍衍射射实实验验有有力力揭揭示示出出来来，麦麦克克斯斯韦韦在在18641864年年发发现现的的光光和和电电磁磁现现象象之之间间的的联联系系把把光光的的波波动动性置于更加坚实的基础之上。性置于更加坚实的基础之上。（二）（二）经典物理学的困典物理学的困难n但是这些信念，在进入但是这些信念，在进入2020世纪以后，世纪以后，受到了冲击。经典理论在解释一些新受到了冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。的试验结果上遇到了严重的困难。n （1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 n （2 2）光电效应）光电效应 n
4、 （3 3）氢原子光谱）氢原子光谱黑体：能吸收射到其上的全部辐黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。出的辐射就称为黑体辐射。实验发现：实验发现：辐射热平衡状态辐射热平衡状态:处于某一温度处于某一温度 T T 下的腔下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态热平衡状态。热平衡时，空腔辐射的能量密度，热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的
5、波长的分布曲线，其形状和位置只与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度与黑体的绝对温度 T T 有关有关而与黑体的而与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。能能量量密密度度 (104 cm)0510Wien 线能能量量密密度度 (104 cm)0510WienWien 公公式式在在短短波波部部分分与与实实验验还还相相符符合合，长波部分则明显不一致。长波部分则明显不一致。1.1.WienWien 公式公式 从从热热力力学学出出发发加加上上一一些些特特殊殊的的假假设设，得得到到一一个个分布公式：分布公式：1.1.WienWien 公式公式 Wien 线能能量量密密度度 (104 cm)
6、0510WienWien 公公式式在在短短波波部部分分与与实实验验还还相相符符合合，长波部分则明显不一致。长波部分则明显不一致。（2 2）光）光电效效应n光光照照射射到到金金属属上上，有有电电子子从从金金属属上上逸逸出出的的现现象象。这这种种电电子子称称之之为为光光电电子子。试试验验发发现现光光电电效效应应有有两两个突出的特点：个突出的特点：1.1.临临界界频频率率v v0 0 只只有有当当光光的的频频率率大大于于某某一一定定值值v v0 0 时时，才才有有光光电电子子发发射射出出来来。若若光光频频率率小小于于该该值值时时，则则不不论论光光强强度度多多大大，照照射射时时间间多多长长，都都没没有
7、有电电子子产产生生。光光的的这一频率这一频率v v0 0称为临界频率。称为临界频率。2.2.电电子子的的能能量量只只是是与与光光的的频频率率有有关关，与与光光强强无无关关，光光强强只只决决定定电电子子数数目目的的多多少少。光光电电效效应应的的这这些些规规律律是是经经典典理理论论无无法法解解释释的的。按按照照光光的的电电磁磁理理论论，光光的的能能量量只只决决定定于于光的强度而与频率无关。光的强度而与频率无关。（3 3）原子光）原子光谱，原子，原子结构构n 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。发现了的。18851885年瑞士年瑞士巴尔末巴尔末发
8、现紫外光附近的发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：这就是著名的这就是著名的巴尔末公式巴尔末公式（BalmerBalmer）。）。以后又发现了一系以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：列线系，它们都可以用下面公式表示：人们自然会提出如下三个问题：人们自然会提出如下三个问题：n1.1.原子线状光谱产生的机制是什么？原子线状光谱产生的机制是什么？n2.2.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？光谱线的频率为什么有这样简单的规律？n3.3.光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我
9、们思考：思考：怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。从前，希腊人有一种思想认为：从前，希腊人有一种思想认为：自然之美要由整数来表示。例如：自然之美要由整数来表示。例如：奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。n这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电
10、子的核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而损失能量而“掉到掉到”原子核中去，原子就原子核中去，原子就“崩溃崩溃”了，但是，了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。n总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物
11、理概念，建立新的理论，于是人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学量子力学就在就在这场物理学的危机中诞生这场物理学的危机中诞生。2 2 量子量子论的的诞生生 n（一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律 n（二）光量子的概念和光电效应理论（二）光量子的概念和光电效应理论 n（四）波尔（四）波尔（BohrBohr）的量子论的量子论 n（三）（三）Compton Compton 散射散射 光的粒子性的进一步证实光的粒子性的进一步证实 2 2 量子量子论的的诞生生 n（一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律 n（二）光量子的概念和光电效应理论（
12、二）光量子的概念和光电效应理论 n（四）波尔（四）波尔（BohrBohr）的量子论的量子论 n（三）（三）Compton Compton 散射散射 光的粒子性的进一步证实光的粒子性的进一步证实 （一）（一）Planck Planck 黑体黑体辐射定律射定律n究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。究导致了量子物理学的诞生。19001900年月日年月日PlanckPlanck 提出：提出：如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射
13、的能量分布与腔壁原子的于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，模型，Planck Planck 假定：假定：该式称为该式称为 Planck Planck 辐射定律辐射定律Planck 线能能量量密密度度 (104 cm)0510（1 1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v v 振荡；振荡；（2 2）黑体只能以）黑体只能以 E=E=hvhv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
14、而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。对 Planck 辐射定律射定律的的三点三点讨论：（1 1）当）当 v v 很大（短波）时，因为很大（短波）时，因为 exp(hvexp(hv/kT)-1 /kT)-1 exp(hvexp(hv/kTkT)，于是于是Planck Planck 定律定律 化为化为 WienWien 公式。公式。（2 2）当）当 v v 很小（长波）时，因为很小（长波）时，因为 exp(hvexp(hv/kT)-1 1+(h v/kT)-1=(h v/kT)-1 1+(h v/kT)-1=(h v/kTkT)，则则 Planck Planck 定律变为定律
15、变为 RayleighRayleigh-Jeans-Jeans 公式。公式。对 Planck 辐射定律射定律的的三点三点讨论：（1 1）当）当 v v 很大（短波）时，因为很大（短波）时，因为 exp(hvexp(hv/kT)-1 /kT)-1 exp(hvexp(hv/kTkT)，于是于是Planck Planck 定律定律 化为化为 WienWien 公式。公式。（2 2）当）当 v v 很小（长波）时，因为很小（长波）时，因为 exp(hvexp(hv/kT)-1 1+(h v/kT)-1=(h v/kT)-1 1+(h v/kT)-1=(h v/kTkT)，则则 Planck Plan
16、ck 定律变为定律变为 RayleighRayleigh-Jeans-Jeans 公式。公式。（二）光量子的概念（二）光量子的概念和光和光电效效应理理论n（1 1）光子概念光子概念 n（2 2）光电效应理论光电效应理论 n（3 3）光子的动量光子的动量(1)光子概念光子概念n第一个肯定光具有微粒性的是第一个肯定光具有微粒性的是 EinsteinEinstein，他认他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。根根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量量 hh的微粒形式出现，而且以这种形式在空间的微粒形式出现，而
17、且以这种形式在空间以光速以光速 C C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。传播，这种粒子叫做光量子，或光子。由相对论光的动量和能量关系由相对论光的动量和能量关系 p=E/C=p=E/C=hvhv/C=h/C=h/提出了光子动量提出了光子动量 p p 与辐射波长与辐射波长（=C/v=C/v）的关系。的关系。（2）光光电效效应理理论用光子的概念，用光子的概念，Einstein Einstein 成功地解释了光电效应的规律。成功地解释了光电效应的规律。当光照射到金属表面时，能量为当光照射到金属表面时，能量为 hh的光子被电子所吸的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的收，电子
18、把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：其能量关系可写为：从上式不难解释光电效应的两个典型特点：从上式不难解释光电效应的两个典型特点：光光电效效应的两个典型特点的解的两个典型特点的解释1.1.临界频率临界频率v v0 02.2.光电子动能只决定于光光电子动能只决定于光子的频率子的频率 由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V=0V=0 时由该时由该式所决定，即式所决定，即 hvhv-A=0-A=0，v v0 0=A/h
19、 =A/h，可见，当可见，当 v v ；2 2 波长增量波长增量 =随散射角增大而增大。这一现象随散射角增大而增大。这一现象称为称为 Compton Compton 效应。效应。nX-X-射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 2 个特点：个特点：（2）定性解定性解释n根据光量子理论，具有能量根据光量子理论，具有能量 E=h E=h 的光子与电子碰撞后，的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E=hE=h 显然有显然有 E EE E,从而有从而
20、有 ）且随散射角且随散射角增大而增大。增大而增大。（3）证 明明根据能量和动量守恒定律：根据能量和动量守恒定律：代代入入得：得：两边平方：两边平方：两边平方两边平方（2）式）式（1）式）式得：得：k k mv所以所以最后得：最后得：（四）波（四）波尔（BohrBohr）的量子的量子论nPlanck-EinsteinPlanck-Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。疑难问题的解决。19131913年年 BohrBohr 把这种概念运用到原子结把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量构问题上，提出了他
21、的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来正确的，在量子力学中保留了下来 n（1 1）波尔假定）波尔假定 n（2 2）氢原子线光谱的解释）氢原子线光谱的解释 n（3 3）量子化条件的推广）量子化条件的推广 n（4 4）波尔量子论的局限性）波尔量子论的局限性（1）波）波尔假定假定nBohr Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可在他的量子论中提出了两个极为重要的概念
22、，可以认为是对大量实验事实的概括。以认为是对大量实验事实的概括。1.1.原子具有能量不连续原子具有能量不连续的定态的概念。的定态的概念。2.2.量子跃迁的概念量子跃迁的概念.原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E E1 1,E,E2 2,.,E,.,En n 的状态。为了具体确定这些能的状态。为了具体确定这些能量数值，量数值，BohrBohr提出了量子化条件：提出了量子化条件：原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 E En n 跃迁到另一个较低（高）的能级跃迁到另一
23、个较低（高）的能级 E Em m ，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着（2）氢原子原子线光光谱的解的解释n根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。的线光谱。假设氢原子中假设氢原子中的电子绕核作的电子绕核作圆周运动圆周运动+Fc vre由量子由量子化条件化条件电子的能量子的能量与氢原子线光谱与氢原子线光谱的经验公式比较的经验公式比较根据根据 Bohr Bohr 量子跃迁的量子跃迁的概念概念得
24、得 RydbergRydberg 常数常数与实验完全一致与实验完全一致（3）量子化条件的推广）量子化条件的推广由理论力学知，若将角动量由理论力学知，若将角动量 L L 选为广义动量，则选为广义动量，则为广义坐标。为广义坐标。考虑积分并利用考虑积分并利用 Bohr Bohr 提出的量子化条件，有提出的量子化条件，有索末菲索末菲将将 BohrBohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，自由度情况，这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（个电子（LiLi，Na
25、Na，K K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。等）的一些原子光谱也能很好的解释。（4）波波尔量子量子论的局限性的局限性n1.1.不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；原子的光谱；n2.2.不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；n3.Bohr 3.Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；题，如散射问题；n4.4.从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。容。多少带有人为
26、的性质，其物理本质还不清楚。波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识的问题也逐渐为人们所认识 3 3 实物粒子的波粒二象性物粒子的波粒二象性n（一）（一）L LDe De BroglieBroglie 关系关系 n（二）（二）de de BroglieBroglie 波波 n（三）驻波条件（三）驻波条件 n（四）（四）de de BroglieBroglie 波的实验验证波的实验验证（一）LDe Broglie 关系假定：与一定能量假定：与一定能量假定：与
27、一定能量假定：与一定能量 E E E E 和动量和动量和动量和动量 p p p p 的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波（他称之为（他称之为（他称之为（他称之为“物质波物质波物质波物质波”）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：E=h E=h =E/h =E/h P=h/P=h/=h/p =h/p 该关系称为该关系称为de.de.BroglieBroglie关系。关系。根据根据Planck-Einstein Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，光量子论，光具有波动粒子二重性，
28、以及以及BohrBohr量子论，启发了量子论，启发了de.de.BroglieBroglie，他他 （1 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；（2 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子提出了实物粒子（静质量（静质量 m m 不等于不等于 0 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动和光一样也具有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系相联粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。系。（一）LDe Broglie 关系假定：与一定能量假定：与一定
29、能量假定：与一定能量假定：与一定能量 E E E E 和动量和动量和动量和动量 p p p p 的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波（他称之为（他称之为（他称之为（他称之为“物质波物质波物质波物质波”）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：E=h E=h =E/h =E/h P=h/P=h/=h/p =h/p 该关系称为该关系称为de.de.BroglieBroglie关系。关系。根据根据Planck-Einstein Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，光量子论，光具有波动
30、粒子二重性，以及以及BohrBohr量子论，启发了量子论，启发了de.de.BroglieBroglie，他他 （1 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；（2 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子提出了实物粒子（静质量（静质量 m m 不等于不等于 0 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动和光一样也具有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系相联粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。系。（二）（二）de Broglie 波波因为自由粒子
31、的能量因为自由粒子的能量 E E 和动量和动量 p p 都是常量，所以由都是常量，所以由de de BroglieBroglie 关系可知，关系可知，与自由粒子联系的波的频率与自由粒子联系的波的频率和波矢和波矢k k（或波长或波长）都不变，即是一个单色都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为平面波。由力学可知，频率为，波长为波长为，沿单位矢量沿单位矢量 n n 方向传播的平方向传播的平面波可表为：面波可表为：写成复数形式写成复数形式这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为波
32、，这种写成复数形式的波称为 de de BroglieBroglie 波波de de BroglieBroglie 关系：关系：=E/h =E/h =2 =2 E/h=E/E/=h/p =h/p k=1/k=1/=2 /=p/p/（三）（三）驻波条件波条件为了克服为了克服 Bohr Bohr 理论带有人为性质的缺陷，理论带有人为性质的缺陷，de de BroglieBroglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：例如：氢原子中
33、作稳定圆氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波周运动的电子相应的驻波示意图示意图要求圆周长是要求圆周长是波长的整数倍波长的整数倍于是角动量：于是角动量：de de BroglieBroglie 关系关系r代代入入de de BroglieBroglie 波在波在19241924年提出后，在年提出后，在1927-19281927-1928年由年由 DavissonDavisson 和和GermerGermer 以及以及 G.P.ThomsonG.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。的电子衍射实验所证实。法拉第法拉第园园 筒筒入射电子注入射电子注镍单晶镍单晶 d衍射最大值公式衍射最大值公式作
34、作 业业 周世勋周世勋量子力学教程量子力学教程：1.2、1.4 曾谨言曾谨言量子力学导论量子力学导论：1.1、1.3第二章第二章 波函数波函数和和 SchrodingerSchrodinger 方程方程l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 态叠加原理态叠加原理 l3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 4 SchrodingerSchrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）波函数（一
35、）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释 （三）波函数的性质（三）波函数的性质 3 3个个问题？描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglieBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数
36、。波。此式称为自由粒子的波函数。(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数返返 回回11 电子源电子源感感光光屏屏（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法1.1.波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增
37、电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子
38、运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。2.2.粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特
39、点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小广延不会超过原子大小1 1 。l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子电子既不是粒子也不是波也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我
40、们但是我们也可以说，也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象
41、，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。l波函数波函数正是为了描述
42、粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一动的一 种统计规律性，波函数种统计规律性
43、，波函数(r)(r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量子量子力学的力学的 基本原理基本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r)(r)描述，与光学相似，描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用|(r)|(r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。|(r)|(r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小，点附近几率的大小，确切的说，确切的说，|(r)|(r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r
44、点处，体积元点处，体积元x y x y zz中中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在 t t 时刻，时刻，r r 点，点，d =d =dxdx dydy dzdz 体积内，找到体积内，找到由波函数由波函数 (r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：ld W(r,t)=C|(r,t)|d W(r,t)=C|(r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波
45、函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：(r,t)=r,t)=dW(rdW(r,t)/d =C|(r,t)|,t)/d =C|(r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：W(t)=W(t)=V V dWdW=V V(r,t)d=C(r,t)d=CV V|(r,t)|(r,t)|2 2 d d（2 2）平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产
46、生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：CC|(r,t)|(r,t)|2 2 d=1 d=1,从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为：C=1/C=1/|(r,t)|(r,t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若|(r,t)|(r,t)|2 2 d d ,则则 C C 0 0,这是没有意义的。这是没有意义的。注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波
47、函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。（3 3）归一化波函数）归一化波函数这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），倍），则相应的波动能量将为原来的则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。典波无归一化问题。(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时
48、刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒处找到粒子的相对几率之比是：子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述同一状态描述同一状态可见，可见，(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C
49、(r,t)描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l若若 (r,t)(r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|(r,t)|2 2 d=A d=A（A A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有 l|(A)(A)-1/2-1/2(r,t)(r,t)|2 2 d=1 d=1 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2(r,t)(r,t)是归一化的波函数，是归一化的波函数，与与(r,t)(r,t)描描写同一几率波，写同一几率波，(A)(A)-1/2 -1/2 称为归一化因子称为归一化因子。l注意：对归一化波函数仍
50、有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若若(r,t)(r,t)是是归一化波函数，那末，归一化波函数，那末，expiexpi(r,t)(r,t)也是归一化波函也是归一化波函数（其中数（其中是实数），与前者描述同一几率波。是实数），与前者描述同一几率波。（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac 函数函数 定义：定义：或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：有：函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：令令 k=k=p px x/,dkdk=