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1、 第第 三三 十十 二二 讲讲 .分波法的散射截面和相移分波法的散射截面和相移 （1）散射振幅）散射振幅、散射截面和相移散射截面和相移re)(fe) r (ikrkikzk ),(Ysine1l 2k4f0 lli0lkl 散射微分截面散射微分截面 散射总截面散射总截面*0 l0l ll)( i0 ll2kYYsinsine ) 1 l 2)(1l 2(k4)( ll l20l2Tsin) 1l 2(k4 由由 一些讨论一些讨论 （1）分波法的适用性分波法的适用性 41l 2), 0(Y0l)0(fIk4kmT A. 中心力场中心力场 B. 不为不为 的数要少的数要少，即，即 或或 对对 的收
2、敛很快才行。也就是说，的收敛很快才行。也就是说，分波法的分波法的 适用于适用于短力程短力程和和低能散射低能散射 （2）相移符号：相移符号： 在在 较大处，自由粒子的径向波函数较大处，自由粒子的径向波函数 为为 l 0)( T lrklrR 而有位势时为而有位势时为 所以，所以， 排斥势排斥势 吸引势吸引势 )2lkrsin( )2lkrsin(l 0l 0l 例例1：方位阱散射（一维）：方位阱散射（一维） ax0ax0V0 x)x(V0 katana kcotk k1a kcotk kkatancot 例例2 2：钢球散射：钢球散射 ar0ar) r (V)ka()ka(jtanlll 1.1
3、.低能极限（低能极限（ ） 2. 2. 高能极限（高能极限（ ） 0ka katan0 2202022ta4k4sink4 ka222ta22)ka(k4（4）全同粒子的散射）全同粒子的散射 A对称微分截面和反对称微分截面对称微分截面和反对称微分截面 在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自旋为旋为 半整数）的波函数，必须反对称（自旋，半整数）的波函数，必须反对称（自旋，坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波函数必须对称。函数必须对称
4、。 当二个具有自旋为当二个具有自旋为s的粒子，如在总自旋表的粒子，如在总自旋表 象象 中，总自旋波函数中，总自旋波函数 的对称性为的对称性为)S,S(z2zSS 因此，二个全同粒子的空间波函数的对称性因此，二个全同粒子的空间波函数的对称性取决于它们总自旋的奇、偶性，也就是说取决于它们总自旋的奇、偶性，也就是说即描述二全同粒子散射的空间波函数必须是对称即描述二全同粒子散射的空间波函数必须是对称或反对称。（这时，由于自旋波函数已按对称，或反对称。（这时，由于自旋波函数已按对称，反对称分类）反对称分类）Ss2) 1(1) 1(SL 在质心坐标系中，在质心坐标系中， ，交换粒子，交换粒子，相当于相当于
5、 ，即，即 对于沿对于沿 轴入射的定态散射波函数轴入射的定态散射波函数 21rrrrr rr re)(f)(f )ee(ikrikzikz Z即散射微分截面为即散射微分截面为 （空间对称，总自旋为偶）（空间对称，总自旋为偶）（空间反对称，总自旋为奇）（空间反对称，总自旋为奇） 2)(f)(f)( 2S)(f)(f)( 2A)(f)(f)( 具体对分波法而言具体对分波法而言 而当而当 )(cosPsinek1l 2)(fll0lil )(cosP) 1()cos(P)cos(Pllll )(cosP) 1(sinek1l 2)(flll0lil (由于全同粒子交换不变性，所以对物理量的结由于全同
6、粒子交换不变性，所以对物理量的结果不受影响。这导致微分截面求和要么为奇，要果不受影响。这导致微分截面求和要么为奇，要么为偶，使求和的平方在么为偶，使求和的平方在 下不变。下不变。)2, 2 , 0llli2S)(cosPsine ) 1l 2(k4)(l 2, 3 , 1llli2A)(cosPsine ) 1l 2(k4)(l B具有自旋为具有自旋为 的全同粒子非极化散射的全同粒子非极化散射 对于自旋为对于自旋为 的粒子，它的自旋态可为的粒子，它的自旋态可为 ，所以有，所以有 个态。因此，个态。因此，这两个全同粒子共有这两个全同粒子共有 个态，个态， 如按对称性来分类：如按对称性来分类： ,
7、 ,有有 个是对称的。个是对称的。 sss , 1s, s1s2 2)1s2( 2sm1sm21 21mm 1s2 而而 可组成可组成 个态。显然，个态。显然， 个是对称的，个是对称的， 个是反对称个是反对称的。 21mm ) 1s2( s2) 1s2( s2) 1s2( s2) 1s2( s2) 1s2( s2 smsmsmsm1221212121 所以，对称态有所以，对称态有 反对称态有反对称态有 当二个这样的全同粒子发生散射时，由于是当二个这样的全同粒子发生散射时，由于是 非极化的，所以：非极化的，所以： 取那一种态的机会都一样取那一种态的机会都一样； ) 1s2)(1s () 1s2(
8、 s 由于非极化散射，则散射截面与总自旋由于非极化散射，则散射截面与总自旋 的的 Z 分量无关；分量无关； 自旋对称的几率为自旋对称的几率为 自旋反对称的几率为自旋反对称的几率为 1s21s) 1s2() 1s2)(1s (2 因此，因此，s 为半整数时，散射微分截面为为半整数时，散射微分截面为1s2s) 1s2() 1s2( s2)(1s2s)(1s21s)(sA )(f )(f)(f )(f 1s21)(f)(f*22 而而 s 为整数时，散射微分截面为为整数时，散射微分截面为 )(1s21s)(1s2s)(SA)(f )(f)(f )(f 1s21)(f)(f*22 量子力学总结及要求量
9、子力学总结及要求 作为本科量子力学有一基本要求作为本科量子力学有一基本要求: : 那就是那就是 掌握基本概念，运用基本概念；掌握基本概念，运用基本概念； 利用一些特殊的数学和一些特殊的近似利用一些特殊的数学和一些特殊的近似 方法处理一些基本问题，即方法处理一些基本问题，即 正确理解和掌握量子力学的基本概念；正确理解和掌握量子力学的基本概念； 能熟练地处理量子力学中的简单问题。能熟练地处理量子力学中的简单问题。 从而，通过这一门课，在理解、分析和解从而，通过这一门课，在理解、分析和解 决问题的能力上有所提高。决问题的能力上有所提高。 在课程中，除介绍基本要求的内容外，为在课程中，除介绍基本要求的
10、内容外，为扩扩大同学的视野，还介绍一些更深一层的概念及一大同学的视野，还介绍一些更深一层的概念及一些有待解决的问题，如些有待解决的问题，如 能量能量- -时间测不准关系；时间测不准关系； 量子力学的宏观表现的探索；量子力学的宏观表现的探索； 测量问题的探讨。测量问题的探讨。 同时也介绍一些显示量子力学特点的处理手同时也介绍一些显示量子力学特点的处理手段，如段，如 力学量本征值的算符代数解法；力学量本征值的算符代数解法； Hellmann-FeynmanHellmann-Feynman定理；定理； S S矩阵的正虚部极点（反射振幅的）；矩阵的正虚部极点（反射振幅的）； 能级简并时的微扰处理；能级
11、简并时的微扰处理； EPR佯谬和佯谬和Bell不等式；不等式； 磁共振磁共振 当然，我们应将主要精力放在基本要求上。当然，我们应将主要精力放在基本要求上。 对于这些基本要求对于这些基本要求应牢固掌握，灵活运用。应牢固掌握，灵活运用。 第一章第一章：定性了解经典困难的实例：定性了解经典困难的实例; ; 微观粒子的波微观粒子的波粒二重性。粒二重性。 第二章，第三章：要全面掌握：第二章，第三章：要全面掌握： 波函数与波函数的统计诠释；波函数与波函数的统计诠释； 态叠加原理；态叠加原理； 薛定谔方程；薛定谔方程； 一维定态问题一维定态问题 定态；定态； 知知 的波函数，给出的波函数，给出 t 时刻的波
12、时刻的波 函数；函数； 几率流密度矢几率流密度矢、反射系数反射系数、 透射系透射系 数和完全透射；数和完全透射； 0t 应注意。应注意。 ， ， ikxikxBeAexik1Ce 2iAkj2RBkj 21TCkj iRjjR 221221AkCkAkCkT 完全透射，完全透射， ， 即即 给出波函数，能计算各种要求下的几率给出波函数，能计算各种要求下的几率 几率几率 几率几率 0B212CmkAmk rdrrrd) r (2 d drdr) r (dsin22 一维无限深位势：波函数，能级表示，一维无限深位势：波函数，能级表示， 波函数性质（会推导）；波函数性质（会推导）； 有限方位势的解法
13、。有限方位势的解法。 一维谐振子势：能级的能量表示，波函一维谐振子势：能级的能量表示，波函 数性质和迭推关系。数性质和迭推关系。 （宇称（宇称 ; ; 为奇，为奇， 为为 ） 测不准关系仅要求掌握其精神及表达式测不准关系仅要求掌握其精神及表达式 n) 1(n0 x 0 第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 厄密算符本征态的性质厄密算符本征态的性质 运算规则运算规则; 厄密算符定义，厄密算符的本征方程厄密算符定义，厄密算符的本征方程; 观测值的可能值，几率振幅观测值的可能值，几率振幅; 力学量完全集（包括力学量完全集（包括 的，即为运动常的，即为运动常数的完全集）数的完全集）; 共
14、同本征态。共同本征态。 性质，迭推关系性质，迭推关系; 力学量平均值随时间变化，力学量平均值随时间变化，运动常数；运动常数； HlmY 维里定律。维里定律。 第五章第五章 变量可分离型的三维定态问题变量可分离型的三维定态问题 有心势下，薛定谔方程解在有心势下，薛定谔方程解在 的渐近行为；的渐近行为； 氢原子：波函数，能量本征值的推导氢原子：波函数，能量本征值的推导 和结论要全面掌握；和结论要全面掌握； 三维各向同性谐振子：在直角坐标和三维各向同性谐振子：在直角坐标和 球坐标中的解，能级的结构和性质；球坐标中的解，能级的结构和性质； 0r Hellmann-Feynman Theorem仅要仅要
15、求求 理解其表达式；理解其表达式； 电磁场下的哈密顿量；规范不变性，几电磁场下的哈密顿量；规范不变性，几 率流密度矢；率流密度矢； 正常塞曼效应及引起的原因；正常塞曼效应及引起的原因； 均匀强场下的带电粒子的能量本征值及均匀强场下的带电粒子的能量本征值及 本征波函数；本征波函数； 磁通量量子化的现象及原因。磁通量量子化的现象及原因。 第六章第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论量子力学的矩阵形式及表象理论 给定表象，如何求力学量的矩阵表示；给定表象，如何求力学量的矩阵表示； 算符的本征方程的矩阵形式；算符的本征方程的矩阵形式； 薛定谔方程和平均值的矩阵表示；薛定谔方程和平均值的矩阵表示； 知道算
16、符矩阵表示，如何求本征值和本知道算符矩阵表示，如何求本征值和本 征函数；征函数； 第七章：自旋第七章：自旋 自旋引入的实验证据；自旋引入的实验证据； 电子自旋算符，本征值及表示；电子自旋算符，本征值及表示； 泡利算符性质，泡利矩阵；泡利算符性质，泡利矩阵； 自旋存在下的波函数和算符的表示；自旋存在下的波函数和算符的表示； 的共同本征态的矩阵形式；的共同本征态的矩阵形式； 自旋为自旋为1/21/2的两粒子的态矢量；的两粒子的态矢量； 碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现 象及形成原因；象及形成原因； 泡利原理。全同粒子的波函数结构。泡利原理。全同粒子的波函数结构。
17、)J,J,L(z22第八章第八章 量子力学中的近似方法量子力学中的近似方法 定态微扰论：定态微扰论： 非简并定态微扰论：一级，二级能级修非简并定态微扰论：一级，二级能级修 正；一级波函数修正的推导和公式；正；一级波函数修正的推导和公式； 简并定态微扰论：一级能级修正及正确简并定态微扰论：一级能级修正及正确 的零级波函数；的零级波函数； 变分法变分法 用用RitzRitz变分法求基态能级上限及近似波变分法求基态能级上限及近似波 函数。函数。 量子跃迁量子跃迁 一级近似下的跃迁几率振幅和跃迁几率；一级近似下的跃迁几率振幅和跃迁几率； 常微扰；常微扰； 周期性微扰；周期性微扰； Fermis Gol
18、den Rule的表示式及物理的表示式及物理含含 义。义。 散射散射 定态散射波函数的形式；定态散射波函数的形式； 散射振幅散射振幅 一级一级Born近似：近似： rd) r (Ue41)(frqi) 1 (k 有心势时，有心势时， 有心势下的分波法和相移有心势下的分波法和相移 分波法的适用性分波法的适用性 相移符号相移符号0) 1 (krdrqrsin) r (Uq1)(f),(Ysine1l 2k4)(f0lli0lkl 散射微分截面及总截面；散射微分截面及总截面； 散射微分截面散射微分截面 2),(f),(20Bkrdrqrsin) r (Uq1)(*0 l0l ll)( i0 ll2kYYsinsine ) 1 l 2)(1l 2(k4)( ll 分 总截面总截面 全同粒子的对称或反对称散射截面；全同粒子的对称或反对称散射截面； 两全同粒子非极化散射截面。两全同粒子非极化散射截面。 d),(fd ),()k(2T l20l2Tsin) 1l 2(k4分2)(f)(f s 为半整数时，散射微分截面为为半整数时，散射微分截面为 s 为整数时，散射微分截面为为整数时，散射微分截面为)(1s2s)(1s21s)(sA )(f )(f)(f )(f 1s21)(f)(f*22)(1s21s)(1s2s)(SA)(f )(f)(f )(f 1s21)(f)(f*22