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1、 第第 十十 二二 讲讲 . 算符的对易性算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，不一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。能彼此对易。 若若 , ， /L2iyeA /L2izeB 则算符则算符 引入对易子：引入对易子： 和和 的的对易子对易子 对易子有如下性质对易子有如下性质 B,AAABBAB,AA,BB,ACB,AC,ABCB,ABC,AC,BAC,BABABBA并有并有 在算符的运算时，要特别小心在算符的运算时，要特别小心 。已证明已证明 所以所以B,A21BABAeee i21p xp xxxeee1n0S1snsnBB,ABB,A 下面是一些有用的对易关系下面是一
2、些有用的对易关系 称为称为Levi-Civita符号。取值符号。取值 ，为从为从123ijk的对换数。如的对换数。如123312123312的对换数的对换数2 2kijkjixix,L kijkjip ip ,L kijkjiLiL,L ijk ijk) 1( ijk 对易关系是与坐标选择无关对易关系是与坐标选择无关 对易关系与表象选择无关对易关系与表象选择无关 r ,Lz0 r ,i p , xnxp,pi nxx 1nxp ni . . 算符的厄密性（算符的厄密性（Hermiticity） （1） 算符复共轭算符复共轭：若对波函数（任意）：若对波函数（任意）有有则称则称 为为 的复共轭算符
3、，以的复共轭算符，以 表示表示 A*B BA*Ax*xp p *BA)BA(A)A(* （2）算符的转置算符的转置 A. 标积定义：标积定义：若体系有两个波函数，其若体系有两个波函数，其 标积为标积为对于标积，有性质对于标积，有性质 rd),(* 0rd),(2 *, 则称这两波函数正交则称这两波函数正交 。 B. 转置定义：转置定义：算符算符 称为算符称为算符 的转置算符的转置算符 ),(),(),(2*21*12211 0rd),(* ),(),(),(22112211 BArdBrdA* 通常以通常以 算符表示算符算符表示算符 的转置算符。即的转置算符。即 (3) 算符的厄密共轭算符的厄
4、密共轭 定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以再转置，（以 表示），表示）， )B,()A,(* AA)A,()A,(* xxA ),A()A,( x)x()x(*A)A(AB)BA(xxp p x x iiLL*AA (4) 厄密算符厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身，若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。则称该算符为厄密算符。 (5) 厄密算符的性质厄密算符的性质 A. 厄密算符相加厄密算符相加、减仍是厄密算符；但减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。厄密算符之积并不一定为厄密算符。 *)A,(),A()A,(
5、ABAB)BA( B. 任何状态下，厄密算符的平均值必为实任何状态下，厄密算符的平均值必为实数数 C. 在任何状态下，平均值为实的线性算符在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。必为厄密算符。易证：易证：若若 是厄密算符，则是厄密算符，则 。),A()A,()A,(* *)A,(),A()A,( A0A2 . . 厄密算符的本征值和本征函数厄密算符的本征值和本征函数 (1) (1) 算符的本征方程算符的本征方程 对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨涨落落”来定义，即由
6、方均根来定义。来定义，即由方均根来定义。 要使要使“涨落涨落”为零，即测量值只取确定值为零，即测量值只取确定值 ，则则)AA( ,()A,(AA222 令令 这一特殊状态为这一特殊状态为 我们称我们称上述方程为算符的本征方程上述方程为算符的本征方程。 显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值即为本征值（这时时，测量值即为本征值（这时“涨落涨落”为为0）。）。 量子力学又一个基本假设：量子力学又一个基本假设：在量子力学在量子力学中，力学量对应于一个线性厄密算符；当对体中，力学量对应于一个线性厄密算符；当对体nnnuAuAnu0)AA( 系进行该力学量
7、的测量时，一切可能测得值，只系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符能是算符 的本征方程的本征值。的本征方程的本征值。 例例1：求轨道角动量在：求轨道角动量在z方向分量的本征值和方向分量的本征值和本征函数本征函数。 有解有解 )(l)(LzZ /ilzAe)( mlz2, 1, 0m iLZA 从从 是厄密算符得不出上述结论。是厄密算符得不出上述结论。 例例2 2 求绕固定轴转子的能量本征值和本征求绕固定轴转子的能量本征值和本征 函数。函数。 , 3, 2, 1, 0,25,23,21lzEuudd2EuuH222 ZL 固定转子的能量本征值和本征函数为固定转子的能量本征值和本征函数
8、为 m2E222 , 3, 2, 1, 0m22mm2E imme21u 212)/E2( iAeu （2）力学量）力学量算符的算符的本征值和本征函数本征值和本征函数性质性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的相应不同本征值的本征函数是正交的 证：0)u,u(mnnnnuAuAmmmuAuA取复共轭，则有取复共轭，则有 )u,u(A)uA,u(mnmmn)u,u(A)uA,u(nmnnm )u,u(A)u,uA(mnnmn)u,u)(AA()u,uA()uA,u(mnnmmnmn由于由于 是厄密算符，所
9、以是厄密算符，所以 ，即，即 正交。正交。 这就使波函数对某力学量的本征函数展开时，是这就使波函数对某力学量的本征函数展开时，是唯一的唯一的 。 C.SchmitC.Schmit正交化方法正交化方法 如果一个本征值如果一个本征值An对应对应S个线性无关的本征个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通 A)u,u)(AA(0mnnm 0)u,u(mnmnu,u过过Schmit正交化方法正交化方法来实现正交归一化来实现正交归一化 。 取取 使使 ； 取取 ，显然，保证显然，保证 ，且，且 。同样有同样有这必然有这必然有 ，且，且 )(n)(
10、nc111 111 ),()(n)(n ),(c)(n)(n)(n)(n)(n211222 ),(),(c)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n322311333 021 ),()(n)(n122 ),()(n)(n03231 ),(),()(n)(n)(n)(n133 ),()(n)(n D. D. 任何一个算符总可表示为两个厄密算符任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和；之和；其中其中 (3) 测量结果的几率测量结果的几率 现来计算测量力学量现来计算测量力学量 取值取值 的几率。的几率。 根据态叠加原理，如能测得根据态叠加原理，如能测得 ，则体系所处的态必为，则体系所处的态必为
11、AiAA)AA(21A)AA(2iAAnA332211ccc 32, 1A,AA 所以所以 表达式表明，在表达式表明，在 中测量力学量中测量力学量 取值取值 的几率为的几率为 。 所以，要在一体系中（以所以，要在一体系中（以 描述），测量描述），测量力学量力学量 ，取值，取值 的几率振幅为的几率振幅为 rdAA* nn2nAc nA2nc nAAA nnAA (4) 直接可观测的力学量的本征函数构成直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。一完备组。 如如 是力学量是力学量 的本征函数组，则任的本征函数组，则任一波函数可以以一波函数可以以 表示表示 根据态叠加原理，体系处于态根据态叠加原理，体
12、系处于态 中，那进中，那进 2121nnnn),(),(),(c n An nnnc 行力学量行力学量 的测量。如测量值为的测量。如测量值为 ，则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数的线性叠加态上。即的线性叠加态上。即4.3 4.3 连续谱本征函数连续谱本征函数“归一化归一化” ” （1 1）连续谱本征函数）连续谱本征函数“归一化归一化” A. 本征函数，本征谱本征函数，本征谱 （取分立值）（取分立值） （取连续值）（取连续值） 332211ccc n nA A32, 1A,AA B. 任一波函数可按其展开任一波函数可按其展开 （ 已归一化）已归一
13、化） （ 已归一化）已归一化） C. dxc*nn dxc* n mm*nmndxcc mmm)x(c)x(dc)x( 所以，所以， 是一是一“奇异函数奇异函数”。 我们引入一个奇异函数，即我们引入一个奇异函数，即 ，其定义，其定义 dx* 0dx* d)dx(cc*)x( mn1mn0dxm*n ，以及，以及 因此，如因此，如 ，则，则 ba0000 x)b, a (0bxa)x(fdx)xx()x(f )(dx* cd)(cd)dx(c*0 xx0 xx0)xx(000 这就保证获得我们所需结果这就保证获得我们所需结果 。 所以，所以，连续谱归一化的本征函数连续谱归一化的本征函数 应使其应
14、使其有有 例例1：求：求“正交归一正交归一”的动量本征函数的动量本征函数 设：设： 是平方可积，即可进行是平方可积，即可进行Fourier展开展开 )x( kde )k(F21)x(xk i )(),( 于是应有于是应有 所以，所以，“正交归一正交归一”的动量本征函数为的动量本征函数为 )kk(dxe21x)kk( i kddxe )k(F21x)kk( i dk)kk()k(F)k(F dx)x(e21)k(Fikx 事实上，由于物理波函数在无穷远为事实上，由于物理波函数在无穷远为0 dxelim21)uu(xx)kk( i0k, k dxedxelim210 xx)kk( i0 xx)kk
15、( i0 )kk( i1)kk( i1lim210 ikxke21)x( 于是有于是有 例例2 2，求，求“正交归一正交归一”的坐标本征函数（自的坐标本征函数（自做）做） 由本征方程由本征方程 )kk( 2021/xikxkelim)x(u )x(x)x(x xx )kk(lim1220 的的 “正交归一正交归一”的坐标本征函数为的坐标本征函数为 它是完备的：它是完备的： D. 表示在态表示在态 中测量力学量中测量力学量 的几率。因的几率。因 而由而由)xx()x(x xd)xx()x()x( 2ncnAA取)x( n2nncAAdx)x()x(* x 由这可见（如由这可见（如 已归一化），已
16、归一化）， 为测量为测量 取值在区域取值在区域 中的几率中的几率。 (2) (2) 函数函数 A. A. 函数的定义和表示函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而是一函数不是一般意义下的函数，而是一 分布。但习惯上仍将它看作一函数。分布。但习惯上仍将它看作一函数。)x( dc2 d dc2 其重要性和意义在积分中体现出来；其重要性和意义在积分中体现出来； 它可用一函数的极限来定义。它可用一函数的极限来定义。 a0, b0, b0 或或 a0 ,a0 ,则两式不等，从而则两式不等，从而可定出可定出 c c ，即，即 , 1xlndxdx)x(cx1xlndxd baalnblnxdxlnd
17、xdbaalnblndxx1 若若 ，但，但 ，即不是重根。，即不是重根。 )x(ix1xlndxd )ax()a (f)ax()x(f )ay(dx)ax()xy( nnn)xx()x(g1)x(g( 0)x(gn0)x(gn例例于是有推论于是有推论 )ax()ax(1)ax()ax(1)ax(ax22ax2222 )ax(a21)ax(a21 )ax()ax(x21 但是由但是由 dx)x(x2 0202dx)x(xdx)x(x 022022dx)x(21dx)x(21 )x()x(x2 00dy)y(21dw)w(21 00dy)y(21dy)y(21 dy)y(21 )x()x(x22
18、 这一矛盾或错误的来源是这一矛盾或错误的来源是 ，是有条件的是有条件的 。 为清楚看到这一点，取为清楚看到这一点，取 )x()x(x2 222021 )x(lim)x(dx)x(limxdx)x(x 0222022)tan2(lim110 所以，所以， 0002101dx)x(x2 000)x(210)x()x(x2 这表明，无条件地由这表明，无条件地由是不对的是不对的 。仅当。仅当 才成立。才成立。 C. 函数的导数函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明函数具有任何级的导数，可以证明)ax()ax(x21)ax(22 )x()x(x2 0a2)x(f) 1(dx)x(f )xx(0)n(
19、n0)n( )x() 1()x()m(m)m( )ay(dx)ax()xy()nm()n()m( 0)x(x)m(1m )x(n)x(x)1n()n( 假设假设0)x(x 0)x(x) 1m(m 0)x(x) 1m(1m 0)x(x)x(x) 1m()m(1m) 1m(m 0)x(x)m(1m 假设假设0)x(x )x()x(x )x() 1n()x(x)2n() 1n( )x() 1n()x(x)x() 1n(n) 1n( )x(n)x(x) 1n(n 例：求例：求 之解之解. 因因 , 所以特解是所以特解是 而相应齐次方程是而相应齐次方程是有解有解 。 从而得通解从而得通解 事实上事实上
20、)x()x(xu )x()x(x )x( 0)x(xu )x( )x(c)x()x(u )x(cx)x()x(u)x()x(xu 应特别注意应特别注意 ，但，但（3）本征函数的封闭性）本征函数的封闭性 已经讨论过厄密算符已经讨论过厄密算符本征态本征态的正交，归一的正交，归一和完备性，即和完备性，即 （正交，归一）（正交，归一） )xx(x)xx(x00 )xx(x)xx(x)xx(x00000 0)u,u(mn （完备）（完备） 对于连续谱对于连续谱 下面我们来讨论本征函数的封闭性下面我们来讨论本征函数的封闭性 nnnuc )(),( dc)x(nnn)x(uc)x( xd)x()x(uc*n
21、n 已归一化nu 所以所以 由此可见，由此可见， 上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明本征函数组可构成一本征函数组可构成一函数函数 。 例例1 的本征函数的本征函数 xd)x() )x(u)x(u()x(n*nn )xx()x(u)x(un*nn zL imme213, 2, 1, 0m 有有 ，即，即 人们熟习的形式：人们熟习的形式： 例例2 的本征函数的本征函数 )()()(m*mm)(e21m)(im )xx(el 21mm)xx(li xp /xippxxe21 A. 封闭性是正交、归一的本征函数完备性封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分必要
22、条件。的充分必要条件。 若若 是完备的是完备的 封闭性（必要条件）封闭性（必要条件） 有封闭性有封闭性 完备的（充分条件）完备的（充分条件） )xx(dp)x()x(x*ppxxx/ )xx(ipdpe21x n 必有 则是 1必要条件已证过必要条件已证过 2充分条件：充分条件： 有封闭性有封闭性: , 则则)xx()x()x(m*mm xd)x()xx()x( mmm)x(c xd)x()x()x(*mmm 任一波函数可按任一波函数可按 展开，所以，展开，所以，是完备的。是完备的。 B本征函数的封闭性也可看作本征函数的封闭性也可看作 函数函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。共轭。)x( nnxn)x(c)xx( )x(dx)xx()x(c*n*nxn m m 4.4 算符的共同本征函数算符的共同本征函数 一次测量有一一次测量有一“涨落涨落” 两算符，在一个态中，一般都有涨落，两算符，在一个态中，一般都有涨落， ， 不同时为零。不同时为零。 在什么条件下，在什么条件下， ， 有共同本征函数组。有共同本征函数组。 (1) (1) 算符算符“涨落涨落”之间的关系之间的关系 A. SchwartzA. Schwartz不等式不等式)AA( ,()A,(AA222 2A2BAB