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1、 第第 十十 五五 讲讲 .力学量的完全集力学量的完全集 力学量完全集力学量完全集：设力学量设力学量 彼此彼此对易；它们的共同本征函数对易；它们的共同本征函数 是不简并的是不简并的，也就是说，本征值也就是说，本征值a,b,ca,b,c仅对应一个独立的本仅对应一个独立的本征函数，征函数，则称这一组力学量为力学量完全集则称这一组力学量为力学量完全集 。 力学量完全集力学量完全集 的本征值完全的本征值完全确定了确定了相相应的本征函数组应的本征函数组C,B,A abcuz2L,L),(Ylm . . 力学量平均值随时间的演化，运动常力学量平均值随时间的演化，运动常 数）恩费斯脱定理（数）恩费斯脱定理（
2、Ehrenfest Ehrenfest TheoremTheorem）。 (1) 力学量的平均值随时间演化，运动常力学量的平均值随时间演化，运动常 数数 若若 不显含不显含t，则，则 iH,AtAdtAdA iH,AdtAd我们称我们称与体系与体系 对易的不显含时间的力学量算对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。符为体系的运动常数。 运动常数并不都能同时取确定值。运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它因尽管它们都与们都与 对易，但它们之间可能不对易。对易，但它们之间可能不对易。 (2) virial Theorem 维里定理维里定理 不显含不显含t的力学量，在定态上的平均与的力学量，在
3、定态上的平均与 t 无关。无关。 H H,iH, p r 0dtp rd 若若 是是x，y，z的的n次齐次函数，则次齐次函数，则 iH, p r ) r (Vrmp 2) r (VrT2)z , y, x(V) r (VnT2 例例：谐振子势是：谐振子势是x，y，z的的 2 次齐次函数次齐次函数 例例：库仑势是：库仑势是x，y，z的的 -1 次齐次函数次齐次函数 (3) 能量能量-时间测不准关系时间测不准关系 由算符的由算符的“涨落涨落”关系，有关系，有) r (VT) r (VT2) r (V21HH,A i21EA 若若 是不显含时间的算符，则有是不显含时间的算符，则有 取取则有则有这即为
4、能量和时间的测不准关系。这即为能量和时间的测不准关系。 iH,AdtAddtAdAA 2EAA （4 4）恩费斯脱定理）恩费斯脱定理（EhrenfestEhrenfest Theorem Theorem） 以以 , , 表示表示 的平均值。的平均值。 体系的坐标平均值的时间导数等于其速度体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值算符的平均值 。xp , xxAxxp mp iH, xdtxdx 动量算符平均值的时间导数等于作用力的动量算符平均值的时间导数等于作用力的 平均值。平均值。xp AxxxFxViH,p dtp dxx22FxVdtp ddtxdm称为的恩费斯脱定理称为的恩费斯
5、脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。起来非常相似。 mpdtdxxclclclclxclxVdtdpclcl2cl2xVdtxdm 但决不能无条件地认为但决不能无条件地认为 如果这样，即得如果这样，即得 但事实上，一般而言但事实上，一般而言clxx x)r(Vdtxdm22 在在 V(x) 随随 x 的变化很缓慢，以及的变化很缓慢，以及 比较小的条件下，上式近似相等比较小的条件下，上式近似相等 . 以一维运动来讨论以一维运动来讨论 xVx)r(V2xxFx)x(V 当场随空间变化非常缓慢，且当场随空间变化非常缓慢，且 很小很小时，
6、我们有不等式时，我们有不等式 2)x()x()x()xx(F! 21)xx(FF )x(2)x(Fx! 21FxV2x23321xxV!xV)x()x( 这样，量子力学中粒子运动与经典力学规这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。律相似。经典运动是一好的近似。 当然，根据测不准关系，当然，根据测不准关系， x)x(VFxV)x(222xx4p 因此，当因此，当 较小时，较小时， 比较大。比较大。 所以要有所以要有 2x2xpx22FxVdtxdm)x(Fx)x(Vdtxdmclxclcl2cl2 要有两个条件：要有两个条件： 位势随空间作缓慢变化：位势随空间作缓慢变化
7、： 动能很大：动能很大： 23x3xxxV! 21xV2x2xpp . . 有心势有心势 能量本征方程可写为能量本征方程可写为 显然显然 ) r (V) r (V)rLrrr(m22222212 )r (uE)r (u)r (Vnnn 0L,Lz2 因此，因此， 是两两对易。当共同本征是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。（球对称势的体系都有这一特点）。0L,H20L,Hzz2L,L,H 以以 的本征值（即量子数）对能的本征值（即量子数）对能量本征方程的解进行标识。量本征方程的解进行标识。 于是归结
8、到解具有不同位势于是归结到解具有不同位势 的径向方程的径向方程 z2L,L,H),(Y) r (R) r (ulmnlnlm 0)r (rR()r (VE(m2)r (rR(r) 1l ( l)r (rR(drd2222) r (V （1）若若 时，仅当时，仅当 0m2 时才有束缚态。时才有束缚态。 （2）在在 时，径向波函数应满足时，径向波函数应满足 （3）三维自由粒子运动三维自由粒子运动mrA) r (V0r 0) r (rR 0 rVrV所以自由粒子的本征函数为所以自由粒子的本征函数为 kr 2mE2k0)(R) 1l ( l1 )(Rdd2)(Rdd222 ),(Y)kr(j2k),
9、r (ulmlklm 对于自由粒子，亦可选对于自由粒子，亦可选 作作为力学量完全集，为力学量完全集，其共同本征函数其共同本征函数为为)p,p,p(zyxrki23kkke)2(1uzyx m, l), r (klmkk*lmlrki23u),(Ykie)2(1 （4）球方势阱）球方势阱：考虑位势为考虑位势为 令令 arVar0) r (V0 lmRYu 0)(R) 1l ( l1 )(Rdd2)(Rdd22222mE2kkr ar0 A.则有则有0VE 0)(R) 1l ( l1 )(Rdd2)(Rdd222 202)EV(m2 ar ar) ri (c) ri (jcar)kr(jA) r
10、(Rl2l1lkl ri 当当 , 波函数在无穷远处应为波函数在无穷远处应为0， rl1Bc l2iBc ar)ri (hB)r (R)(ll 1)(i)(j)(hl) 1 (l ille)dd()(i(1 要求两区域的波函数及其导数在要求两区域的波函数及其导数在 处连处连 续，续， 即即 从而确定从而确定 E 的可能值，即本征值。的可能值，即本征值。 )l ( lie) i()l( i 2112很大 ar ar) 1 (larldr) ri (hlnddr)kr(jlnd 当当 ，则有，则有 令令 ， ，则由连续条件，则由连续条件 0l krkrsin)kr(j0rehr) 1 (0 ka
11、a cot 以及以及 显然，显然， 在二，四象限。在二，四象限。 讨论：讨论：1）由图可知，）由图可知， ，则无，则无 解；解； 2）当）当 ，则仅有一，则仅有一 个解。这时个解。这时 , 即即 。 22022amV2 2)amV2(21220 23)amV2(221220 ka2 kr0所以所以, 在区间在区间 无节点。无节点。 3）当）当 ， 有二个解有二个解 : 一个解一个解 ，无零点；，无零点； 另一个解另一个解 。所以，。所以， , 有一个零点。有一个零点。 25)amV2(2321220 ka2 2ka23 2kr0a0 正交归一，可经由方程给出正交归一，可经由方程给出 当当 ，
12、，这时，这时 区域的波函数为区域的波函数为 0 。由连续条件，。由连续条件， ，即有根，即有根 （ ）。 ),(Y) rk(j)ak(j )ak(ja2), r (ulmlnl21ln2lln1l3lmnrrrr 0V ar 0)ak(jlnlrakxlnlnrr, 3 , 2 , 1nr B当当 令令 0VE 212)mE2(k21201)VE(m2kar0Rr) 1l ( lkdrdRr2drRd2222ar0Rr) 1l ( lkdrdRr2drRd22122 得解得解 无妨设无妨设 则由则由 ar)kr(jARlklklar) rk(c) rk(jcR1l21l1lk1 )k(cosB
13、c1l1 )k(sinBc1l2 r 所以所以rk)2lrksin() rk(j111l rk)2lrkcos() rk(111l rk)k(lrksinB)r (Rlrlk11121 对于自由粒子对于自由粒子 所以，力场的性质反映在所以，力场的性质反映在 上上 。 由由 的连续条件的连续条件 kr)2lkrsin() r (Rrkl )k(1l ar ar1ll1llarldr) rk(sin) rk(jconlnddr)kr(jlnd 如令如令 （微商对宗量）（微商对宗量）则有则有 当当 （即（即 k ）给定，则由方程给）给定，则由方程给 出一系列出一系列 ）。）。)ak(sin)ak(j
14、con)ak(sink)ak(jconk)ka(j)ka(j k1ll1ll1ll11ll1ll lll)ka(j)ka(j k)ak()ak(k)ak(j)ak(jk)k(tg1ll1l11ll1l11l E, a ,V0)k(1l 2 , 1 , 0l ( 所以，所以，当当 时，有一连续谱时，有一连续谱。 这时这时 有渐近解有渐近解 而自由粒子为而自由粒子为 re )k(Se r1rk)2lrksin(R)2lrk( i1l)2lrk( i1l1lk111 )k(i 21l1le)k(S ee r1R)2lkr( i)2lkr( ikl 0VE （4） 氢原子氢原子：氢原子是一个典型的两体
15、问题氢原子是一个典型的两体问题 A. 两体问题的质心运动的分离两体问题的质心运动的分离 质量为质量为 m1 和和 m2 的两个物体，若相互作用的两个物体，若相互作用 仅与它们的位置差有关。仅与它们的位置差有关。 这时， )rr (V)r ,r (V2121 )rr (Vm2pm2p H21222121 引入质心运动和相对运动引入质心运动和相对运动 于是有于是有21rrr212211mmrmrmRR21ippP21mmM 于是有，于是有， r2211i)mpmp(p2121mmmm ip,x 21rrx iP,RrR22HH) r (V2p M2PH 这样，一个体系可看作二部分运动合成，这样，一
16、个体系可看作二部分运动合成， 一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对 运动运动, 是一个质量为是一个质量为 的粒子在势的粒子在势 场场 中运动。中运动。令令 为一特解，得为一特解，得 2121mmmm ) r (V) r ,R(E) r ,R(H) r ()R() r ,R( 直接得直接得 而相对运动部分为而相对运动部分为 )R()EE()R(HrR) r (E) r (Hrr /RPi23e)2(1)R( ) r (E) r ()r (V2p (rrErE2 所以，处于位势为所以，处于位势为 的体系，最普遍的波函数为的体系，最普遍的波函数为 B. 氢
17、原子：氢原子：相互作用只与质子和电子的距相互作用只与质子和电子的距离离 r 有关有关 )rr (V)r ,r (V2121Pde ) r ()2(eC) t , r ,R(/ tiEEE23/ ) tERP( iEPrrrPr r4e2) r (V2H022222 于是有于是有 变量分离变量分离 （要求，当（要求，当 ， ） 代入得代入得 ) r (Eu) r (u)r (V2(22lmllmnlYr) r (YR) r (u 0r 0l 0) r (r4e2) r (E2) r (r) 1l ( l) r (drdl202l2l2l22 要求为束缚态，则要求为束缚态，则E0。令。令于是于是
18、r)E8(212 E2a1E84e2202202 当当 ，方程近似为，方程近似为 ，所以，所以 0)(41)()() 1l ( l)(ddlll2l22 0)(41)(ddll22 21le)( 当当 ，方程近似为，方程近似为 ，所以，所以 。 取取令令 (并要求并要求 )， 0 0)() 1l ( l)(ddl2l22 1ll)( ll)( 1ll)( )(ve)(l211ll 常数0l)(v 代入方程得代入方程得 这是一合流超比方程这是一合流超比方程 它有解它有解 和和 称为合流超比函数称为合流超比函数 0v)1l (v) 1l (2vlll 0vvv ),(F ),2 , 1(F1 ),
19、(F 当当 P 大时，其相近两项系数之比：大时，其相近两项系数之比： 0PP!P)P()()()P(),(F !P1)P () () ()P ()!1P(1) 1P () () () 1P (uuP1P 相邻系数比与相邻系数比与幂级数系数之比相同。幂级数系数之比相同。 所以，所以， 级数必须被截断成多项式。级数必须被截断成多项式。 而由而由 当当 为负整数时为负整数时，则，则 项的系数都为项的系数都为0 这时，这时， 是一最高幂次为是一最高幂次为 的多项式的多项式。1P11P1PP e ),(F ) 1P () ()P ( 1P ),(F 取取 于是于是 当当 n 给定给定 ), 3 , 2
20、, 1 , 0n(rn1lnr ), 3 , 2 , 1n(0, 2n, 1nl1n, 3 , 2 , 1 , 0nr 211lrle), 2l 2 ,n(cF)(2002nna8eE rn1l E2a1n202002nna8eE2200e4a 2202nna2E 根据合流超比函数性质：根据合流超比函数性质： rna2r)E8(0212nn 02r1l 2d), 2l 2 ,n(Fe 2l 2) 1)(2(n1 ) 1n2l 2()2l 2(!n) 3l 2(rrr 从而得从而得 lmnlnlmYR), r (u lmnrlnY),l,n(Fe)!l()!ln(n)!ln()na(n 221211222121230, 1n, 2 , 1 , 0lrna20n 202nna8eE * 讨论讨论1）氢原子能谱和简并度氢原子能谱和简并度 对于一定对于一定n（ ）值的能级）值的能级有有 一条能级对应的独立波函数为一条能级对应的独立波函数为 202nna8eE 1lnnr, 1n, 2 , 1 , 0l 10221212nlnnnn)n()l(d