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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换主讲教师：吕巍然主讲教师：吕巍然中国石油大学数学学院中国石油大学数学学院1复变函数与积分变换复变函数与积分变换 主要内容：主要内容：1.复变函数复变函数 自变量为复数的函数（在高等数学中，自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）也称之为实变函数）.主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映
2、射等射等.2.积分变换积分变换 主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换换.2序 言 预备知识预备知识 、参考书、参考书 主要用到高等数学的相关知识主要用到高等数学的相关知识.1.1.西安交通大学西安交通大学 复变函数复变函数 2.2.南京工学院南京工学院 积分变换积分变换 3.3.祝同江祝同江 积分变换积分变换 4.4.钟玉泉钟玉泉 复变函数论复变函数论 学习进度、建议学习进度、建议3序 言 复数的引入及其发展过程：复数的引入及其发展过程：1616世纪中叶，意大利人世纪中叶，意大利人CardanCardan在解代数方程时，在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想首先产
3、生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程例如，解简单的方程 x x2 2+1=0+1=0 时就会遇到时就会遇到1 1开平方的问题。开平方的问题。为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，于是就引进了于是就引进了虚数虚数，使实数域扩大到复数域，使实数域扩大到复数域.然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论莱布尼兹和贝努利的一个悖论.4序 言 复数在历史上的很长一段时
4、间内被人们视为不复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的可接受的虚数虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：因促使了这种状况的改变：1.1.微积分的发展；微积分的发展；2.2.复数与平面向量联系起来解决实际问题复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的拉作出的.他在他在1777年系统地建立了复数理论，发年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等函数论的积分理论
5、等.5序 言 复变函数理论的重要意义复变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、Riemann 和和 Weierstrass的巨大努力，已经形成的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支的许多分支.复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功比如，在复变函数理论最先得到成功应用的应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领这三个领域中，复变函数方法已经发展
6、成为解决有关问题的域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一几种经典方法之一.6第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数主要内容主要内容1 1、复数及其表示方法、复数及其表示方法2 2、复数运算、复数运算3 3、平面点集、平面点集4 4、复变函数的连续性、复变函数的连续性7注注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.1 复数及其四则运算复数及其四则运算1 1、复数的概念、复数的概念其中其中实部实部虚部虚部共轭共轭8 加、减加、减：乘乘 法法
7、：注注:2 2、复数的四则运算、复数的四则运算除法：除法：9 容易证明容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、复数的运算满足分配律、交换律、结合律结合律.另外，还经常用到以下性质：另外，还经常用到以下性质：例如，设例如，设提示：提示：102 2 复数的表示法复数的表示法1.1.复平面复平面 基于这样一种原因，我们把此时的坐标平基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为面称为复平面复平面.11 称向量的长度为复数称向量的长度为复数 z=x+iy 的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的 度数度数 称为复数称为复数 z=x+iy 的的辐角辐角(z0)
8、.OxyxyqPz=x+iy|z|=r12显然显然把其中满足把其中满足 的的0 称为辐角称为辐角Argz的的主值主值，记作记作0=argz.Arg z=0+2k，k为整数为整数.13复数向量表示的重要意义：复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观变得直观,由此立即得到下面不等式：由此立即得到下面不等式：还容易看出还容易看出oxy(z)z1z2 z1+z2z2-z1142、复数的三角表示复数的三角表示根据根据上式称为复数的上式称为复数的三角表示三角表示.Oxy可以得到可以得到3、复数的指数表示复数的指数表示由欧拉公式由欧拉公式可
9、以得到复数的指数表示式可以得到复数的指数表示式:15xyONSzP(z)z 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.4.复球面复球面 用来表示复用来表示复数的这个球面称数的这个球面称为为复球面复球面.全体复数与全体复数与复球面复球面-N成一成一一对应关系一对应关系.16因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数就是复数 的几何表示的几何表示.xyONSzP(z)z扩充复平面的定义扩充复平面的定义规定规定:北极北极N N与一个与一个模为模为无穷
10、大的假想无穷大的假想的点对应的点对应.这个假想的点称这个假想的点称为为“复数无穷远复数无穷远点点”记作记作 .复平面加上复平面加上 后称为扩充复平面，记作后称为扩充复平面，记作C C 17 这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为它对应，这样的球面称为复球面复球面.把包括无穷远点在内的复平面称为把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平扩充复平面面，不包括无穷远点在内的复平面称为，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复有限复平面平面，或就称复平面，或就称复平面.对于对于来说来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为实、虚部与辐角的概念无
11、意义，其模为，对于其它复数，对于其它复数 z,则有则有 z+.18例例1.下列方程各表示什么曲线？下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程写出直线的复数形式方程.1）2）解：解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，的关键是知道复数模的几何意义，所以，所以，1）表示圆周，）表示圆周，3）2）表示直线）表示直线.193 3）化为实方程，为此代入化为实方程，为此代入，得，得化简，得化简，得，表示一条直线表示一条直线.4 4）关键：由）关键：由得得，代入直线方程，代入直线方程，得，得因而直线的方程为因而直线的方程为，其中，其中 为实数为实数.202122本讲小结：本讲小结：1 1、复数的各种表示法、复数的各种表示法2 2、复数的四则运算、共轭运算、复数的四则运算、共轭运算23