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1、,图形与几何,“看见”、“洞察”仔细玩味，一定会有很多联想。,“什么是几何？”,2,3,引言对“图形与几何”的整体思考,4,1.对于图形与几何，请写出您认为最重要的核心词。,5,思考,2.在标准中，图形与几何的学习包括哪些内容？ 这些内容与过去相比有哪些变化？,3.在这部分教学中，请写出您印象最深刻的教学现 象，您还有哪些困惑问题？,6,核心是发展空间观念,在“图形与几何”领域的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。,7,核心是发展空间观念,空间观念主要指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的
2、运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,8,核心是发展空间观念,推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推
3、理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。,9,核心是发展空间观念,主要内容,空间和平面图形的认识，分类度量图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影图形的性质、平面图形基本性质的证明运用坐标描述图形的位置和运动,10,图形的认识,测量,图形的运动,图形的位置,图形的性质,图形的变化,图形的变化,11,性质,测量,图形的认识,图形的认识,图形的运动,图形与位置,内容结构的变化：,从多角度认识图形，认识空间,内容结构的变化：,几何有关图形的计算,12,它是对空间和图形的刻画与把握。,刻画图形的特征,刻画图形的大小,刻画图形的位置,刻画图形的运动,13,困惑,1.为什么在认识图形
4、时，先学“体”， 再学“面”？在学生没有“面” 的相关知识的基础上，如何给学生 讲好“体”的知识？,原来图形的认识是从“平面到立体”，现在是从“立体到平面再到立体”，这样变化的原因是什么？,14,困惑,2.为什么要把中学几何的东西（比如 三角形两边之和大于第三边）下放 到小学？学生热热闹闹操作了半天， 还不如到中学一下子就学会了。,小学几何与中学几何不同的地方是什么？儿童学习几何的几个重要阶段是什么？,15,困惑,3.“东西南北”、“平移、旋转、轴 对称”等应该在科学课、美术课中 学习，为什么要在数学课上学？,图形与位置和图形与变换内容的数学价值是什么？,16,困惑,4.“火车拐弯”、“窗帘拉
5、动” 是旋转或平移吗？,什么是平移、旋转、轴对称？,17,困惑,5.现在重视空间观念，是不是摸摸、 看看就是空间观念？,什么是空间观念？,18,困惑,6.学生的空间观念比较差，比如从侧 面观察立体图形时容易出现错误， 教学中怎么办？,如何培养学生的空间观念？,20,案例研讨,21,一、图形的认识,【案例1】第一学段“长方形、正方形、三角形、 圆的直观认识”的两个教学过程。,背景：学生已经在一年级上册直观认识了正方体、长方体、圆柱、球等立体图形。在此基础上，一年级下册直观认识长方形、正方形、三角形、圆的内容。,22,一、图形的认识,案例描述：过程1 （1）探索从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中能得
6、到哪些平面图形？从哪些立体图形中可以得到长方形、正方形、三角形、圆？（学生借助沙盘操作，可以把立体图形的某个面按在沙盘上） 教师给学生比较充分的时间，学生的思维很开放，比如对于从哪些立体图形中可以得到长方形的这个问题，学生开始提出了两个老师事先设想好的答案： 长方体可以得到长方形； 三棱柱“躺着”也能得到长方形。,23,一、图形的认识,案例描述：过程1 突然，一个学生指出圆柱也可以得到长方形，引起其他同学的好奇。他的回答如下： 把圆柱滚一滚，或者把圆柱使劲按一按（实际就是截面），就可以得到长方形。 受到启发，有的学生认为正方体也可以得到长方形。 随着学生们的操作、交流、再操作，一节课的时间过去
7、了将近一半。,24,一、图形的认识,案例描述：过程1 （2）教师演示从立体图形得到相应平面图形的过程（长方体长方形、正方体正方形、三棱柱三角形、圆柱圆），介绍平面图形的名称，并强调面在体上。 （3）学生在纸上描出长方形、正方形、三角形、圆。 （4）认识交通标志中的平面图形（由于前面的时间比较长,后面老师还有很多练习没有做，只是匆匆做了此练习）。,25,一、图形的认识,案例描述：过程2 （1）出示由4种平面图形拼成的有趣的小船（每种图形若干个，大小不一），鼓励学生进行分类。 （2）引导学生认识每种平面图形的名称。 （3）学生分别从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中得到正方形、长方形、三角形、圆，认识
8、到面在体上。 与过程1不同，教师直接引导学生从长方体长方形、正方体正方形、三棱柱三角形、圆柱圆。,26,一、图形的认识,案例描述：过程2 （4）回到生活中去：寻找生活中“存在”的平面图形。 （5）拼图游戏：用若干个平面图形拼图。,讨论问题： 上面的两个教学过程，您更喜欢哪个？依据是什么？,27,一、图形的认识,【案例2】第二学段学习“两边之和大于第三边” 时，学生出现的困惑。,案例描述： 老师给学生提供了一些长短不同的小棒，鼓励学生用它们拼三角形。在此过程中，希望学生发现：当两边之和等于第三边、或者是小于第三边的时候，拼不成三角形，从而反过来意识到，三角形的两边之和应该大于第三边。,28,一、
9、图形的认识,案例描述： 实际教学中，对于两边之和小于第三边的情形，学生毫无疑义地认为不能拼成三角形。关键是两边之和等于第三边的情形，比如4，5，9，学生们却产生了分歧，一部分学生确实利用小棒“拼成”了三角形，也就是学生通过操作，认为“当两边之和等于第三边时，能拼成一个三角形”，并且很多同学都赞同。,29,讨论问题：1.学生为什么会出现这些想法？您在教学中 将如何处理？2.既然操作造成了“麻烦”，图形的认识是 否还需要操作？,一、图形的认识,30,二、测量,案例描述： 一个学校对于圆的面积的教学设计进行了讨论。首先，他们分析了教材，教材的基本呈现形式如下：,【案例3】由圆的面积备课谈起。,31,
10、二、测量,案例描述：如图，教材将圆等分为了若干份扇形，然后将这些扇形“拼成”了近似的平行四边形或长方形，并且分的份数越多，就越接近平行四边形或长方形。接着，教材引导学生分析圆的周长与半径与平行四边形的底和高（或长方形的长和宽）的关系，由此推导出圆的面积的公式。老师们把“切、拼”的过程称为“切蛋糕”。,【案例5】由圆的面积备课谈起。,32,二、测量,分析了教材后，大家谈起了最近分别看的有关“圆的面积”的三节课：第一节课 教师引导学生将16个扇形拼成不同的图形，在拼上下功夫。 教师从复习平行四边形面积公式的推导过程引入，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给了学生比较充分地探索和小组合作
11、的时间，鼓励他们将这些扇形拼成了近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形，如下图：,【案例3】由圆的面积备课谈起。,33,二、测量,然后老师从中选取一种，引导学生推导圆的面积。,【案例3】由圆的面积备课谈起。,34,二、测量,第二节课 教师引导学生用某一个图形进行多种角度的推导，也就是在推导上下功夫。 第二位老师从实际问题来引入，使学生产生探索圆的面积公式的愿望。然后，教师还是引导学生将圆平均分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。接着，他把重点放在公式的推导过程上，就是给了学生较长的探索和小组合作时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样
12、，中间的推导过程也是不一样的。教师引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆的公式。,【案例5】由圆的面积备课谈起。,35,二、测量,第三节课 教师一开始就给了学生比较大的探索空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的问题。下面是学生的做法：（1）圆中“得到”一个内接正方形。学生：如右图，我们把圆形内部折出一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但是我们不知道这多余的八个图形的面积怎么求。,【案例5】由圆的面积备课谈起。,36,二、测量,第三节课 （2）圆中画小方格。学生：如下图，中间的小方格好数出来，但是旁边不满一格的不知怎么办。（3）教材中的“切蛋糕”。,【案例3】由圆的面积备课谈起。,37,二、测量
13、,【案例3】由圆的面积备课谈起。,讨论问题：1.上面的三种教学过程，您最喜欢哪个？说 说理由。2.学生的想法和教材上的想法有没有什么 联系？教材中为什么要“切蛋糕”？3.面对学生的想法，您在教学设计中如何处 理？,38,二、测量,【案例4】学生对面积理解的困惑。,在平行四边形面积探索的一节课上，教师开始给了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后他给了学生一系列的平行四边形，它们的一个边还是10，另一个边还是6，相邻的两条边的长度没有变，只是越来越“歪”了。学生开始绝大部分还是认为面积是60，后来教师鼓励学生去观察这些平行四边形，有些学生开始觉得有点不像
14、，但是还是有很多的孩子认为，面积就应该是60。他们提出自己的理由，比如说有一个孩子提到：这些平行四边形都可以看成是长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。,39,二、测量,【案例4】学生对面积理解的困惑。,针对这个，老师通过课件演示，使学生强烈感受到：拉到最后一个，平行四边形的面积跟开始差的很大了。如下图： 教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发现它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的”。,40,二、测量,【案例4】学生对面积理解的困惑。,讨论问题： 在教学中我们发现，高年级的孩子对于周长和面积仍然存在意义理解的困难。是什么原因造成这种现象？,41
15、,三、图形的运动,案例描述： 这位教师在课后反思中谈道：教师已经反复强调了对折以后能够完全重合的图形是轴对称图形，为什么学生还认为平行四边形是轴对称图形。学生的这种“执着”是什么原因呢？,讨论问题：1.小学阶段学习过的平面图形，哪些是轴对 称图形？哪些是中心对称图形？2.学生们为什么总觉得平行四边形“对称”？ 学生的想法在教学上对您是否有启发？,42,1.在判断轴对称图形时，是否要考虑图形内部的 颜色或图案？2.“火车拐弯”、“窗帘拉动”、“摩天轮”是 旋转或平移吗？3.为什么要增加平移、旋转、轴对称的内容？,三、图形的运动,43,四、图形与位置,【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。,测试
16、问题：请你在纸上描述出你们班长的位置。,下面是学生的几种做法：（1）文字叙述班长的位置：行列。比如三排第四个、第三列的第四个人。（2）文字叙述班长的位置：从数行列。比如：从窗户数的第三排、第四个。从门这边数是第五组的第四个。,44,四、图形与位置,【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。,（3）用图表示班长的位置：行列。如下图：,45,四、图形与位置,【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。,（4）用图表示班长的位置：从数行列,46,四、图形与位置,【案例3】学生是如何“刻画班长位置”的。,（5）还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第二个。,讨论问题：1.学生的想法有道理吗？与教材中确定位置的
17、 方法有什么联系？2.如果您的学生也有这些想法，您准备如何处 理？,47,三、图形的运动,【案例4】学生为什么执着于“平行四边形是轴 对称图形”。,案例描述： 一位教师进行轴对称图形教学的时候，课堂上出现了一个“突发事件”：当判断（一般）平行四边形是不是轴对称图形的时候，学生产生了比较大的分歧。很多学生认为平行四边形就应该是轴对称图形，主要观点如下：,48,三、图形的运动,【案例4】学生为什么执着于“平行四边形是轴 对称图形”。,案例描述： 生1：如果平行四边形竖着的话，这两条边折是平行的，然后这个角一模一样，那这个图是轴对称图形。,49,三、图形的运动,案例描述： 生2：这样对折，然后把它打
18、开，再剪开拼成的图形是轴对称图形。,50,三、图形的运动,案例描述： 生3：如果这个平行四边形两边，只要把它竖过来，看起来跟菱形一模一样，所以，它是轴对称图形。,51,三、图形的运动,案例描述： 生4：这样要斜着折，让两边的角一样高，之后呢，从这拿开，之后，这个翻过来变成梯形。这时，边长也一样，面积也不变，然后梯形，可以是轴对称，那我觉得这也是轴对称。,52,观点分享,53,54,一、图形的认识,1.内容呈现的主要线索从立体到平面再到立体从生活中抽象出图形到应用于生活从直观辨认到探索特征从直线到圆从静态到动态,55,主要原因: 第一，从孩子的认知规律这个角度进行考虑，在孩子的现实生活当中，他们
19、首先接触到的应该是立体的，比如说他们的铅笔盒，比如说他们每天看到的黑板、桌椅这些都是立体的。而平面图形是附着在立体上的。学生的数学学习自然要遵循孩子的认知规律，体现从整体到局部再到整体的过程。,56,主要原因: 第二，从立体到平面再到立体，如果我们再把它细化，应该是从立体到平面到基本元素，之后再到平面、再到立体，而前后的两个平面，两个立体是有着区别的。开始学生们是从直观上来认识立体图形和平面图形的，而后来则要尝试把握这些平面图形和立体图形的特征。,57,主要原因: 第三，新课程强调空间观念，空间观念其中有一个重要的方面：就是三维和二维的转化，即从立体转换到平面，反过来由平面再转换到立体。对于这
20、一点，当然可以通过观察物体这样的素材来体现，但是在学生的学习过程中，也可以体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中去还原立体图形。,58,一、图形的认识,1.内容呈现的主要线索从立体到平面再到立体从生活中抽象出图形到应用于生活从直观辨认到探索特征从直线到圆从静态到动态,59,第二个线索就是从生活中抽象出图形，然后学习了图形及其特征以后，再应用于生活的过程。 我们再去回顾一下前面讨论过的第一个案例的过程2，就体现了这一过程，这一点也是非常具有价值的。有的老师可能会说，到底喜欢过程1啊，还是喜欢过程2，其实，这个没有什么定论，关键是这节课教师所确定的目标是什么。有的老师认为两个过程
21、都很好，那么就需要单元备课的思想，这两个过程不是一节课就能完成的。,60,【案例5】 当一个建筑工人为一个修理厂建造长方体底座时，要判断底座表面的形状是否为长方形。你能为他设计一种判断的方法吗？如果他只有一圈皮尺，能否完成这个任务？,E,F,4,3,5,61,一、图形的认识,1.内容呈现的主要线索从立体到平面再到立体从生活中抽象出图形到应用于生活从直观辨认到探索特征从直线到圆从静态到动态,62,第三条线索就要从直观辨认到探索特征。比如一年级直观辨认长方形等平面图形，到一定年级后，需要继续探索这些图形的特征。图形的特征既包括边的特征、角的特征，另外就是图形的对称性的特征。图形的对称性是非常重要的
22、，这一点可能以前没有受到重视。举一个例子，对于长方形的特征，我们不仅要探索它的边是否相等、角是否为直角，还应关注长方形的轴对称性。,63,荷兰范希尔夫妇的几何思维水平（针对平面图形的认识） 水平1：直观化 水平2：描述/分析 水平3：抽象/关联 水平4：演绎/形式化推理 水平5：严密/元数学,小学,初中、高中，甚至大学,64,一、图形的认识,1.内容呈现的主要线索从立体到平面再到立体从生活中抽象出图形到应用于生活从直观辨认到探索特征从直线到圆从静态到动态,65,对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识，这是跟过去相比比较加强的。 利用图形的运动（变换）来
23、认识图形，是一个将静态认识与动态认识相结合的途径。,66,一、图形的认识,2.教学的主要建议重视图形分类的价值重视在运动中认识图形重视从复杂图形中辨认基本图形恰当运用标准图形和变式图形重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合注重图形之间的联系,67,图形分类不仅仅在数学中是非常重要的，而且通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。 以前，教师往往会在图形学习完以后，在复习整理阶段进行图形分类的活动，当然这还是非常重要的。实际上，在图形性质探索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等的特
24、征。,68,下面是一个低年级渗透图形分类的教学案例：【案例6】准备下面的一些物品或类似的东西：一个橘子、一条肥皂、一罐牛奶、一顶生日帽、一个楔子。引导学生借助操作思考下面的问题： 哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？哪些是平的，哪些是曲的？哪些有直的边？哪些有曲的边？哪些面是方形的？哪些面是三角的？哪些面是圆的？哪些有点或角？哪些没有？,69,教学中，教师可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类：第一，将图形分成平面的和立体的；第二，将平面图形分成直的和曲的；第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。,70,一、图形的认识,2.教学的主要建议重视图形分类的价值重视在运动中认识图形重视从复杂
25、图形中辨认基本图形恰当运用标准图形和变式图形重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合注重图形之间的联系,71,鼓励学生把静态和动态结合起来，鼓励学生在运动变化中，去观察认识图形及其特征。老师们也有这个感觉，有的图形按照标准位置放，学生们就能认出来，换一个角度学生就不认识了。教学中，教师就可以将图形转一转、移一移、翻一翻，使图形动起来，帮助学生认识图形变化中不变的特征。,1.填空长方形有（ ）条边，（ ）边相等；有（ ）个角，都是（ ）角。正方形有（ ）条边，（ ）边相等；有（ ）个角，都是（ ）角。2.判断（1）长方形对边相等，四个角都是直角。 （ ）（2）对边相等，四个角都是直角的是长方形
26、。 （ ）（3）四边相等的四边形一定是正方形。 （ ）（4）正方形的四条边相等。 （ ）3.思考题：数出图中有几个长方形或正方形。,案例7习题的设计,长方形正方形的认识,想一想、算一算、说一说。用一根4厘米的铁丝围成了一个正方形，那么这个正方形每条边有多长？求正方形四条边的长度之和，至少要量几次？求长方形四条边的长度之和，至少要量几次？想一想，求哪些四边形四条边的长度之和，只需要量一次，哪些至少要量两次？,长方形正方形的认识,案例7习题的设计,74,长方形正方形的认识,案例7习题的设计,案例7习题的设计,案例7习题的设计,77,一、图形的认识,2.教学的主要建议重视图形分类的价值重视在运动中认
27、识图形重视从复杂图形中辨认基本图形恰当运用标准图形和变式图形重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合注重图形之间的联系,78,鼓励学生能够从复杂图形中辨别一些基本图形，发展识图能力。 比如对于长方体直观图中长宽高的辨认，学生往往存在着困难，这里有一个教师的好的做法。,79,一、图形的认识,2.教学的主要建议重视图形分类的价值重视在运动中认识图形重视从复杂图形中辨认基本图形恰当运用标准图形和变式图形重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合注重图形之间的联系,80,在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学几何跟中学几何学习的一个区别。 既包括学生的观察活动，也包括
28、学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动、一些非常简单的推理，以及对图形及其特征的表达。,81,这里需要强调的是学生动手操作的重要性。 学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。,82,操作的价值主要体现在以下几个方面： 第一，操作是探索图形性质的有效手段。 第二，操作可以对通过观察等得到的猜想进行验证。 第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。 比如将长方形对折，发现长方形对边相等，实际上学生也进
29、一步体会长方形的轴对称性；又如，画的活动非常有助于学生在头脑中建立图形的表象。,83,在动手操作中，也不要忽视推理的价值。 虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。而且推理还能够帮助我们解决操作中出现的误差。比如前面讨论过的“两边之和大于第三边”教学中，由于操作中的误差，造成了当两边之和等于第三边时，学生“拼出”了三角形。面对这一情况，最好的解决方法是借助一些推理。其实，学生也有这个意识，比如有的学生说得非常的形象：4+5=9，9与9都平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明等于的时候是拼不成的。,84,教师还要注意鼓励学生在操作中积极
30、思考，否则缺乏思考的盲目操作会造成操作的无效性。 为了说明问题，下面介绍一个老师设计的三角形内角和的练习活动：,【案例8】老师撕了4个不同的三角形,分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和不等边三角形，得到了12个角，分别为60、20、80、110、40、90、60、50、70、60、50、30。这四个三角形每个角分别是多少度？ 在解决这个问题的过程中，学生不仅要应用 “三角形内角和是180”的结论，并且学生要思考从何下手比较合适。,85,一、图形的认识,2.教学的主要建议重视图形分类的价值重视在运动中认识图形重视从复杂图形中辨认基本图形恰当运用标准图形和变式图形重视观察、操作、想象、推理、
31、表达之间的结合注重图形之间的联系,86,教师还应重视在图形及其性质之间建立联系。学生学习的时候是分散的，这就需要老师以适当的形式把分散的内容串起来。,87,案例9 平面图形的认识复习,88,1.在具体情境中，注重对所测量的量的实际意义的理解 教学中应重视结合一些具体的情境，使学生对所要测量的量（比如周长、面积）的实际意义加以体会，这一点是非常重要的。,二、测量,89,2.体会度量的“含义” 教师可以设计一些活动，使学生体会到度量的含义。实际上，度量的一个基本想法是，首先它要有一个单位，当然这个单位要统一；然后用单位去量，蕴涵了比的思想；在量的过程中，要满足一定的性质，比如经常说的可加性：量这一
32、段是1厘米，那一段是2厘米，加在一起就是3厘米。当然，这些想法教师不可能也不必去讲，只能通过一些活动使学生加以体会。,二、测量,90,3.体会测量单位的实际意义 学生还需要通过实际活动建立对测量单位实际意义的体验。比如生活中哪些物体的长度大约是1米，哪些物体表面的面积大约是1平方米，哪些物体的体积大约是1立方米。,二、测量,91,4重视估测 在测量的学习中，应始终重视估测的重要性。估测有助于儿童理解测量的特征和过程，并获得对测量单位大小的认识。学生在估测方面的能力只有通过实践才能发展，他们将在实际问题中发展估测的策略，积累根据问题确定精确度的经验。,二、测量,92,5探索面积、体积等公式 掌握
33、规则图形的面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，但教学不能将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，体会重要的数学思想，发展空间观念也是大有好处的。,二、测量,案例10 周长和面积,93,三、图形的运动,1.平移、旋转、轴对称的要素 对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，我觉得对于小学生就够了。但是作为老师，这样还是不行的。,94,1.平移、旋转、轴对称的
34、要素 在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，或者叫做合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，它本质上是两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，保两点之间距离的一种变换，距离保持了以后，自然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。,三、图形的运动,95,1.平移、旋转、轴对称的要素 全等变换有几种方式:平移变换、旋转变换和反射变换。,三、图形的运动,96,1.平移、旋转、轴对称的要素 什么叫平移？如上图，如
35、果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。,三、图形的运动,97,1.平移、旋转、轴对称的要素 什么叫旋转？如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。,三、图形的运动,98,1.平移、旋转、轴对称的要素 什么叫反射？ 如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段
36、都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。,三、图形的运动,99,2.学习这部分内容的价值 第一，现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，我们当然希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。 第二，需要特别强调的是，变换对刻画图形的价值。现在很多几何主要研究的就是变换下的不变量。比如小学主要接触的是全等变换，研究的是在全等变换下不变的东西，这时我们把能够重合的图形看成是一样的。,三、图形的运动,100,3.教学
37、建议重视操作活动，体会变换的特征明确教学要求从变换的角度欣赏图形、设计图案重视从变换角度认识图形,三、图形的运动,101,四、图形与位置,1.介绍两种确定位置方法的数学原理 目前，教材中有两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。,0（原点）,（纵轴）,（横轴）,0（原点）,（极轴）,（3,60）,(2,2),极径,极角,102,（1）文字叙述班长的位置：行列。（2）文字叙述班长的位置：从数行列。 （3）用图表示班长的位置：行列。（4）用图表示班长的位置：从数行列（5）还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第 二个。,教学中，可以
38、先把同一做法内部的不同表示形式建立联系，比如说都用文字表述的方式，我们来比一比有什么相同的地方，学生会发现尽管有说排的、列的、组的，但都是用两个因素来刻画位置，如果再说明以谁为参照物，位置就确定下来了。然后，就是在所有的方法之间建立联系，比如数和形之间的对应。最后，再引申到数学上确定位置的方法。,103,四、图形与位置,2.学习这部分内容的价值 第一，数学跟其他学科，在学习图形与位置上的不同，就是数学的表达。你在其他的学科也会学习确定位置，但是要把它用数学的语言表达下来，就需要学习数学了。另外，数学还要思考背后的道理是什么，为什么用数对就能刻划平面上点的位置。 第二，千万不要认为，一个内容在某
39、些学科学过就不用再学了，关键是找寻各个学科对一个内容的不同的刻画角度，这样就便于学生养成从多种角度来观察事物的习惯。,104,四、图形与位置,3.教学建议重视探索如何确定位置的过程注重从具体情境中抽象出坐标的过程淡化非本质的对“行列”的讨论,105,对于这部分内容的教学，教师应鼓励学生在具体的情境中，探索如何来描述物体或图形的位置，探索刻画位置需要哪些要素。,106,【案例11】生活中的确定位置 说一说剧院、教室是如何确定观众和学生的位置的。 城区的地图经常有小方格在上面，以便于我们确定位置，如汽车站在（E，7）小方格里。 在地图上确定某地的位置需要知道它的经度和纬度。 这个案例提供了丰富的情
40、境，针对这些现实问题的讨论，学生将感受确定位置在生活中的重要性，体会数学对确定位置的作用，并抽象出不同确定位置方式的共同特征。,107,四、图形与位置,3.教学建议重视探索如何确定位置的过程注重从具体情境中抽象出坐标的过程淡化非本质的对“行列”的讨论,108,教学中还应重视从具体情境中抽象出坐标的过程。教学最开始呈现的是一个教室的场景，确定教室里一个同学的位置；然后，教师利用课件将每个同学抽象成点；接着在点上套上方格，就体现了一个抽象的过程。,课件,109,四、图形与位置,3.教学建议重视探索如何确定位置的过程注重从具体情境中抽象出坐标的过程淡化非本质的对“行列”的讨论,110,在教学中不要在
41、一些非本质的内容上下太大的功夫，比如行和列，有的老师说横为行，有的老师说竖为行，还有的老师用组等名称，对于这些，千万不要纠缠，实际上就是一个规定，有了规定以后大家表达起来就统一了。建议老师，不妨在教学的开始就把这些“障碍“扫清，向学生说明为了交流方便，统一把这一行当成第一行这个当成第一列评价中更不能用这些去考学生。,1.空间观念的体现 空间观念主要表现在：(1)根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形 想象出所描述的实际物体；(2)想象出物体的方位和相互之间的位置关系；(3)描述图形的运动和变化；(4)依据语言描述画出图形。,111,五、空间观念,112,1.空间观念的体现 具体分析，有这么几
42、个角度： 第一，就是转化，这个转化既包括二维和三维的转化，也包括现实生活与抽象图形之间的转化过程。 第二，就是制作，或者画出来。有了图形以后，怎么去把它表达出来，无论是制作模型还是画出来。 第三，就是分析。从复杂图形中去分解基本图形，在分析的过程中去体会图形的特征。 第四，就是想象。既包括描述和想象物体或图形的运动变化，也包括描述或想象物体或图形的位置关系。 第五，特别重要的一条，也是王尚志老师特别强调的一条，就是图形直观的作用。,五、空间观念,113,2.发展空间观念的价值一方面，就是生活中解决问题的需要。另一方面，就是图和几何直观的作用。,五、空间观念,114,国际上一些伟大的数学教育家、
43、数学家的看法： 弗赖登塔尔：几何就是把握空间，那是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地在这个空间里生活、呼吸和运动，儿童必须学习了解、探究和征服空间。 陈省身：几何学将是21世纪数学研究的前沿阵地之一。 姜伯驹：几何学正在迎来一个新的高潮。 阿蒂亚：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。 庞加莱：我们是通过逻辑去证明，但我们是通过直观去创造。,115,3.培养学生的空间观念为学生提供多种素材要重视观察、操作、想象、推理、表达的结合根据学生实际发展空间观念图形的认识、图形的变换、图形的位置、测量的有机结合要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认识图形和空间，多装一些具体的东西在学生头脑中。要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识,五、空间观念,反 思,用关键词、短语等形式写下您的感受，和您现在最关注的问题。,116,感谢参与，敬请指导再见！,