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1、因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2 因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公
2、式、三 分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7完全平方式：能化为（m+n）2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q，有
3、“x2+px+q 是完全平方式?”.1分解因式技巧掌握：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式分解因式的结果必须是以乘积的形式表示每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项
4、式的每一项，求的剩下的另一个因式提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)x+y+xy+1=（x+xy）+（y+1=x（1+y）+（y+1）=（x+1）（y+1）4m2+m3-20m2-5m=m-16m-5m=m(m-16m-5)(x-y)4+x(x-y)-y(x-y)=(
5、x-y)(x-y)+x(x-y)-y=(x-y)(x-3xy+3xy-y+x-2xy+xy-y)=(x-y)(2x-5xy+4xy-y-y)注意：把 2a+1/2 变成 2(a+1/4)不叫提公因式二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=
6、(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例题12216a b244x 259（1）.（2）.(3)1a1229m 3mnn24（4）.25x 20 x4（5）x24x44x212x9（6）（7）三、分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把 a
7、x 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax 和5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2.x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。3.
8、x2-x-y2-y解法：x2-x-y2-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。24、2x 2xy 3x 3y分析：首先注意到前两项的公因式 2x 和后两项的公因式3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式x y，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有 y 的项分在一组。如下面法（二）解法。2解（一）：2x 2xy 3x 3y 2x2 2xy 3x 3y 2xx y 3x yx y2x 32解（二）：2x 2xy 3x 3y 2x2 3x 2xy 3y x2x 3 y
9、2x 32x 3x y说明：解法 1 和解法 2 虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1 和 2：(3)。这也是分组中必须遵循的规律之一。5、a2 b2 4a 4b分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有 a 的项分在一22组即a 4a aa 4，含有b 的项一组即b 4b bb 4，那aa 4与bb 4再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2b2一组应用平方差公式，再提出因式。解：a2 b2 4a 4b a2b24a 4ba ba b 4a ba ba b 42226、4x 9y 24yz 16z22若将此题应用 5 题方法分组将4x
10、9y一组应用平方差公式，或者将4x216z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。222解：4x 9y 24yz 16z 4x2 9y2 24yz 16z22x3y 4z222x 3y 4z2x 3y 4z7、x3 x2 x 1分析：此题按照系数比为 1 或者为1，可以有不同的分组方法。法（一）：x3 x2 x 1 x3 x2x 1 x2x 1x 1x 1x21x 1x 1x 1x 1x 12法（二）：原式 x3 x x21 x x21 x21 x21x 1 x 1x 1x 1x 1x 1
11、2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例 4 题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例 5、6 题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例6 题。8、ab c2 d2 cd a2 b2分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。
12、解：ab c2 d2 cd a2 b2 abc2 abd2 a2cd b2cd abc2 a2cd abd2b2cd acbc adbdad bc bc adacbd四、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12 时，可以令 y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)。五、十字相乘法（1）首项系数是 1 的
13、二次三项式的因式分解，我们学习了多项式2x a x b x a bx ab的乘法，即2将上式反过来，x a bx ab x ax b得到了因式分解的一种方法十字相乘法，用这种方法来分解2因式的关键在于确定上式中的 a 和 b，例如，为了分解因式x px q，就需要找到满足下列条件的 a、b；a b pab q（2）二次项系数不为 1 的二次三项式的因式分解二次三项式ax2 bx c中，当a 1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2x2 7x 6，首先要把二次项系数 2 分成 12，常数项 6 分成23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。右边两个
14、数相乘为常数项，交叉相乘的和为13 22 7，2正好是一次项系数，从而得2x 7x 6 x 22x 3。（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解如果是形如2a2b2 7ab 6的形式，则把 ab 看作一个整体，相当于2222x，如果是形如2x 7xy 6y，则先写成2x 7yx 6y，把 y 看作已知数，写成十字相乘的形式是22所以2x 7xy 6y x 2y2x 3y，即右边十字上都要带上字母 y，分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。14x2x 73例 1.分解因式：3分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。14x2x 73解：312x 4x 2131 x 7
15、x 33 例 2.分解因式：3x211x 10分析：首项系数为 3 应分解为 13，常数项为 10 是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：113103(1)1(10)131 2351(5)3(2)11110311(1)3(10)31153 21(2)3(5)17其中符合对角两数之积的和为11的只有第三个。2解：3x 11x 10 x 23x 5例 3.因式分解：x2 6x 7分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。
16、另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一x2 6x 7 x2 6x 9 9 7x 316x 3 4x 3 42x 7x 12方法二：x 6x 7 x 7x 1xx 71小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为 1（如果二次项系数不是 1，则提取这个系数，使二次项系数转化为 1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。24、x46x28 5、a b4a b3解：(1)x46x28x2226x822(2)ab4ab32 =x2x4x 2x 422 =
17、ab1ab3ab1ab36 6、(x22x3)(x22x24)90点悟：点悟：把x 2x看作一个变量，利用换元法解之解：解：设x 2x y，则原式(y3)(y24)9022 y227y162(y18)(y9)(x22x18)(x22x9)点拨：点拨：本题中将x 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，y 27y162 (y18)(y9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解227 7、6x 5x 38x 5x6点悟：点悟：可考虑换元法及变形降次来解之解：解：原式 x 6(x 2243211)5(x)38x2x11 x26(x)25(x)50，xx令x1 y，则x原
18、式 x2(6y25y50)x2(2y5)(3y10)x2(2x235)(3x10)xx(2x25x2)(3x210 x3)(x2)(2x1)(x3)(3x1)点拨：点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一.选择题。1.用分组分解法分解多项式x2 mx nx mn分组正确的是（）A.xC.x2 mx nx mnB.x2 mx nx mn22 mn mx nxD.x nx mx mn2.用分组分解法分解多项式a2b2b 14，分组正确的是（）A
19、.a2b21b 4B.a214b2ba21b2b 4D.a21C.b2b 43.将多项式a2b2 a2b21分解因式，其中正确的是（A.ab1ab1B.a21b21C.a21b21D.a 1a 1b 1b 14.下列因式分解中，不正确的是（）A.x416y4x 2yx 2yx2 4y2B.ax ay bx by a bx yC.1 a2b2 2ab 1 a b1 a bD.1 x2 2xy y2x y 1x y 15.把多项式2xy x2 y21分解因式的结果是（）A.x y 1y x 1B.x y 1y x 1C.x y 1x y 1D.x y 1x y 1二.填空题。1.x2 2xy 35
20、y2x 7y）22.2x 7x 15 x 523.1 y 20y2x4.3xy 25.x x yx 4y 28y2x 7yx 4y，k _。，则m 26.kx 5x 6 3x 27.18x219x 5 9x m2x n_，n _。三.分解因式。（1）2x25x 3（2）5x2 21x 18（3）a25ab 24b22x y2x y24（4）（5）3x4 6x2 922（6）x 2xy y 1（7）a2b2 a2 2ab 1222（8）x y z 2xy（9）a ba b c2b c（10）x35x 6四.解答题。221.已知x 2xy 3y 5，求整数 x 和 y 的值。2.已知A x 2x
21、3x 4x 549（x 为整数），求证：A 为一个完全平方数。【试题答案】一.选择题。1.D2.C3.D4.D5.A二.填空题。1.x2 2xy 35y2x 7yx 5y22x 7x 15 x 52x 32.3.4.1 y 20y2 5y 1 4y 1x2 3xy 4y2x yx 4y 22x 3xy28y x 7yx 4y5.2kx 5x 6 3x 22x 3，k 66.27.18x 19x 5 9x m2x m，则m 5，n 1三.分解因式。（1）2x 1x 3（2）5x 6x 3（3）a 3ba 8b（4）x y 6x y 4（5）3 x2 3x 1x 1（6）x y 1x y 1（7）ab 1 aab 1 a（8）x y zx y z（9）a bca b cx 1x2 x 6（10）四.解答题。221.解：x 2xy 3y 5(x 3y)(x y)5又x、y 为整数x 3y、x y都为整数x 3y 1x 3y 1x 3y 5x 3y 5x y 5x y 1x y 5则有或或或x y 1解以上方程组得：x 4x 4x 2x 2，y 1y 1y 1y 12.解：A x 2x 3x 4x 549xxx 为整数 x2 x 6 x2 x 20 492 x226 x2 x 1692 x 132x2 x 13必为整数A 是一个完全平方数