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1、2.1 Separable First-Order ODE&Transform 2.1 变量分离变量分离(fnl)方程与变量变方程与变量变换换 Separable First-Order ODE&Transform 第一页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 本节要求本节要求(yoqi)/Requirements/1 熟练掌握变量(binling)分离方程，齐次方程的求解方法。2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知(shzh)类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。变量分离方程 与变量变换 内容提要内容提要/Main Contents/第
2、二页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 1 变量分离(fnl)方程/Variables Separated ODE/分别(fnbi)是 x 与 y 的已知连续函数。其中(qzhng)特点特点中的 f(x,y)可表示成一般的一阶方程 例例第三页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 解法解法(ji f)(ji f)步骤步骤/Solving Steps/Solving Steps/如果(rgu)(1)(1)分离分离(fnl)(fnl)变量变量 (2)(2)两边积分(2.2)用G(y)，F(x
3、)分别表示的某一个原函数(3)(3)方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C第四页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 因为将 y 视为 x 的函数(hnsh)，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，所以，（2.2）为方程(fngchng)(2.1)的通解。如果(rgu)存在直接验证得:，使得 为方程(2.1)的常数解。分离变量方程（2.1）的解为第五页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 解解 1 分离(fnl)变量 2 两边(lingbin)积分3 例例1 1 求解求解(qi
4、(qi ji)ji)方程方程（c 为任意正常数）或者求通解第六页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 解解时(1)分离(fnl)变量通解(tngji)中，因而方程还有解 y=0（3）求解(qi ji)方程 并求出满足初始条件：当 x=0时 y=1的特解。例例2 2（c为任意常数）为方程的通解。注意注意 y=0 时，也是方程的解，而其并不包含在(2)两边积分第七页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 求特解 将初始条件 y(0)=1代入通解(tngji)中，得c=-1则满足(mnz)所给条
5、件的特解为:所以(suy)，原方程的解为第八页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform (1)齐次方程(fngchng)/Homogeneous Equation/(2)可化为齐次方程(fngchng)的方程(fngchng)类型 /Classifications of Homogenous/2 2 可化为变量分离方程可化为变量分离方程(fngchng)(fngchng)的类型的类型/Classifications of Variable Separated Equation/Classifications of Variable Separa
6、ted Equation/第九页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform(1)(1)齐次方程齐次方程(fngchng)/Homogeneous(fngchng)/Homogeneous Equation/Equation/形式形式(xngsh)(xngsh)：g(u)为 u 的连续函数一般方程的右端函数(hnsh)f(x,y)是x，y 的零次齐次式。即 或 f(x,y)可表示成以特点特点：第十页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 解法解法(ji f)(ji f)(1)作变量(binling
7、)变换 即 y=ux（2）对两边(lingbin)关于 x 求导（3）将上式代入原方程，得整理.(2.3)变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:(5)原方程的通解为:第十一页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform.(2.4)(为任意(rny)常数)例例3 3 求解求解(qi ji)(qi ji)方程方程解解令第十二页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform(为任意(rny)常数)令 得:Sinu=cx （c 为非零任意(rny)数）另当 tanu=0 时，u=0即 u=0 也是方程
8、(fngchng)(2.4)的解故 （2.4）的通解为 sinu=cx（c 为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:第十三页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform(2)(2)可化为齐次方程可化为齐次方程(fngchng)(fngchng)的类型的类型(3)(3)/Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/形式(xngsh)：(2.5)均为常数(chngsh)，且不同时为零.1.若 即设 则原方程可化为:第十四页，共22页。2.1 Separable First-
9、Order ODE&Transform 令（变量分离方程(fngchng)，即可求解）2.若则.(2.6)有唯一(wi y)的解:令第十五页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 则方程(fngchng)(2.5)化为：为齐次方程(fngchng),即可求解。第十六页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform(1)解代数方程(dish fngchng)组 .(2.6)其解为:(2)作变换(binhun)将方程(fngchng)(2.5)化为齐次方程(fngchng)(3)再作变换将其化为变量分离
10、方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。第十七页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 类似的方法，可求解(qi ji)更广泛的方程 P.26例例4 4 求解(qi ji)方程.(2.17)解解 解方程组得 x=1,y=2 令.(2.18)第十八页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 再令.(2.18)即(2.18)可化为:两边(lingbin)积分，得:因此(ync)记并代回原变量(binling)，得:第十九页，共22页。
11、2.1 Separable First-Order ODE&Transform 并代回原变量(binling)，得:此外，容易(rngy)验证:即也是方程(fngchng)(2.18)的解。其中 c 为任意常数。因此原方程(2.17)的通解为:第二十页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 变量(binling)分离方程与变量(binling)变换 本节小结本节小结(xioji)/Conclusion/(xioji)/Conclusion/通解的形式及其中任意常数(chngsh)的意义。注意注意/Note/Note/：第二十一页，共22页。2.1 Separable First-Order ODE&Transform 课堂练习课堂练习/Exercise/Exercise/思考以下方程思考以下方程(fngchng)(fngchng)的求解方法的求解方法作业作业(zuy):P.31.(zuy):P.31.第第 2,3,5,8,11,13,16,18(1),21 2,3,5,8,11,13,16,18(1),21题。题。第二十二页，共22页。