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1、常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法42770定理定理1 1 正项级数收敛的充要条件是正项级数收敛的充要条件是:部分和数列部分和数列 为有界数列为有界数列.1.1.定义定义:该级数为正项级数该级数为正项级数.如果级数如果级数 中各项均有中各项均有则称则称2.2.部分和数列的特点部分和数列的特点:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.一一 正项级数的概念正项级数的概念当当 时时由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.即即证明证明对于对于由由定理定理4 4（极限审敛法）（极限审敛法）解解故故所给级数发散所给级数发散.例例4 4 判别下列判别下列级数的敛散性级数的敛散性.而而
2、发散发散,而而 收敛收敛.故原级数收敛故原级数收敛.而而 收敛收敛.故原级数收敛故原级数收敛.定理定理5 5（比值审敛法、达朗贝尔比值审敛法、达朗贝尔DAlembertDAlembert判别法判别法)即即当当 时时,有有证明证明 当当 为有限数时为有限数时,对对收敛收敛当当 时时,发散发散当当 时时,取取使使而级数而级数 收敛收敛.当当 时时,取取使使注注：1.1.比值审敛法的优点是不需要参考级数；比值审敛法的优点是不需要参考级数；2.2.当当 时比值审敛法无法判别时比值审敛法无法判别但但例如级数例如级数 发散发散,级数级数 收敛收敛,例例3.3.条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要.级
3、数级数 收敛收敛,但但不存在不存在.解解例例5 5 判别下列判别下列级数的敛散性级数的敛散性.故该级数收敛故该级数收敛.故该级数发散故该级数发散.故该级数发散故该级数发散.解解级数收敛级数收敛.定理定理6 (6 (根值审敛法根值审敛法 、柯西判别法、柯西判别法)设设 是正项级数是正项级数,如果如果为数或为数或则则 时级数收敛；时级数收敛；时级数收敛；时级数收敛；时可能收敛也可能发散时可能收敛也可能发散.例例6 6 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.1.1.定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.2.2.定理定理1(1(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)如果交错级数满足
4、条件如果交错级数满足条件:则级数收敛则级数收敛,且其和且其和 ,其余项其余项 的绝对值的绝对值其中其中或或二 交错级数及其审敛法证明证明数列数列 是单调增加的是单调增加的.又又满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.级数收敛于和级数收敛于和,且且余项余项解解例例1 1 讨论交错级数讨论交错级数 的敛散性的敛散性.且且收敛收敛,且其和为且其和为用用 替代替代 ,误差误差类似得类似得 ,均收敛均收敛.例例2 2 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.又又解解即即收敛收敛.例例3 3 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.解解又又故函数故函数 单减单减,从而从而所以原级数收敛所以原级数收
5、敛.注意注意 1.1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数型级数.如如均为莱布尼兹型级数均为莱布尼兹型级数.2.2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但但 也是必要条件也是必要条件.1.1.定义定义1 1.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.2.2.定理定理2 2 若若 收敛收敛,则则 收敛收敛.定义定义2.2.若若 收敛收敛,则称则称 为绝对收敛；为绝对收敛；若若 发散发散,而而 收敛则称收敛则称 为条件收敛；为条件收敛；三三 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 注注:定理定理2 2主要用来联系任意项级数和正项级主要用来联系任意项级数和正项级数数,并进行前者敛散性的判别并进行前者敛散性的判别.证明证明显然显然 且且 收敛收敛,又又 收敛收敛解解例例4 4 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛,若收敛若收敛,是绝对收敛是绝对收敛还是条件收敛还是条件收敛?收敛收敛.故原级数绝对故原级数绝对收敛收敛.在例在例3 3中已证明了中已证明了 收敛收敛.发散发散,从而原级数条件收敛从而原级数条件收敛.从而原级数发散从而原级数发散.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33