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1、返回关于常数项级数的审敛法(2)现在学习的是第1页，共43页返回一、正项级数及其审敛法1.定义:，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns nsss21必必为为单单增增数数列列正正项项级级数数的的部部分分和和数数列列ns即因此，正项级数收敛有如下的定理现在学习的是第2页，共43页返回设1nnu及1nnv为两个正项级数，(1)如果级数1nnv收敛且nnvu),2,1(n则级数1nnu也收敛。(2)如果级数1nnv发散且nnv
2、u),2,1(n则级数1nnu也发散。3.比较审敛法证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界.1收敛收敛 nnunvvv 21现在学习的是第3页，共43页返回nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕.比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知的级数作为参考级数.现在学习的是第4页，共43页返回注1对给出的级数进行适当的放大与缩小，与已知敛散性的等比级数、调和级数、p-级数进行比较，通过比较：
3、“大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散。”(1)调和级数0nnaq发散。(2)等比级数0nnaq11,1qqqa发散，11nn11npn当1p时，级数发散。当1p时，级数收敛。(3)p-级数注2比较判别法并非一定要从第一项起进行比较，可从某一项起。现在学习的是第5页，共43页返回例例 1 1 讨论讨论 P-P-级数级数 ppppn14131211的收敛性的收敛性.)0(p解,1 p设设,11nnp.级级数数发发散散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211)11,11,1(ppnxnxnxn 现
4、在学习的是第6页，共43页返回 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级级数数收收敛敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数（等比级数）,P-级数,调和级数（实际上就是P=1的P-级数）.如 nnn131211111 p发散 222121312111nnn2 p收敛现在学习的是第7页，共43页返回现在学习的是第8页，共43页返回现在学习的是第9页，共43页返回证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数2)1()1(nnn现在学习的是第10页，共43页返回Ex 判断
5、级数1)12)(12(1nnn的敛散性.1412nun241nn21因为121nn发散，所以1)12)(12(1nnn发散.现在学习的是第11页，共43页返回4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu其中1nnv是敛散性已知的用作比较的参考级数现在学习的是第12页，共43页返回证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比
6、较审敛法的推论,得证.现在学习的是第13页，共43页返回由)2(nlim由)3(nlim有时当总存在任取可知,0,NnNMvunnnnnnvMuMvu即,也收敛收敛时当11,nnnnuv11,nnnnuv也发散发散时当,0,1,0时当一定存在如取那末NnNvunnnnnnnnvuvuvu,1即必有nnMvu 现在学习的是第14页，共43页返回例例 3 3 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收
7、敛.已用到罗必得法则现在学习的是第15页，共43页返回Ex 判断级数 22nntg 的收敛性.nnntg22lim1nn22收敛22nntg收敛现在学习的是第16页，共43页返回用比较审敛法判别下列级数的收敛性：nn21121)1(1121111)2(22nnnnnn21)4)(1(1)3(nnnnlim（4）122sinnn1)0(11)5(nnaa收敛,111,1nnaaa,10 anlim发散,0111na,1anan发散,02111lim现在学习的是第17页，共43页返回比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：1。只适用于判定正项级数的收敛性；2。必须有一个已知收敛性的用于比较的
8、正项级数；常用的是等比级数和P级数。3。技巧性较强。现在学习的是第18页，共43页返回则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即现在学习的是第19页，共43页返回,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散现在学习的是第20页，共43页
9、返回比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:1 1.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(现在学习的是第21页，共43页返回,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2.2.条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要.现在学习的是第22页，共43页返回例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nn
10、n;(3)12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn现在学习的是第23页，共43页返回)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.现在学习的是
11、第24页，共43页返回设设 1nnu是正项级数是正项级数,如果如果 nnnulim)(为数或为数或,则则1 时时级级数数收收敛敛;,1 ,1 nnn设设级级数数例例如如nnnnnu1 n1)(0 n级数收敛.1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.现在学习的是第25页，共43页返回二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其其中中现在学习的是第26页，共43页返回证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12u
12、ssnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns)(limlim12212 nnnnnuss,s 现在学习的是第27页，共43页返回)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕.现在学习的是第28页，共43页返回例例 5 5 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunn
13、n又又.0 原级数收敛.现在学习的是第29页，共43页返回Ex 判断级数111)1(nnn(t为参数)的敛散性(1)nun1111nun(2)nnulimnn1lim0),3,2,1(n级数收敛，且其和.1s现在学习的是第30页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛现在学习的是第31页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛现在学习的是第32页，共43页返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.证明),2,1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv)
14、,2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.现在学习的是第33页，共43页返回上定理的作用：任意项级数正项级数定定义义:若若 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛;若若 1nnu发散发散,而而 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛.现在学习的是第34页，共43页返回例例 6 6 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性.解,1sin22nnn,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛.现在学习的是第35页，共43页返回注每个绝对收敛的级数是收敛的，但并不是每个收敛级数都是绝对收敛的如nn1)1(312
15、111收敛交错级数莱布尼兹判别法取绝对值n131211发散现在学习的是第36页，共43页返回四、小结四、小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则则级级数数发发散散当当 nun现在学习的是第37页，共43页返回(1)调和级数0nnaq发散(2)等比级数11,1qqqa发散，11nn11npn当1p时，级数发散当1p时，级数收敛(3)p-级数工具现在学习的是第38页，共43页返回级数收敛的判定必要条件：.0limnnu如果级数1nnu收敛，则如果,0limn
16、nu则1nnu发散充分条件：正项级数(1)比较审敛法(2)比值审敛法大者收敛则小者也收敛小者发散则大者也发散nnnuu1lim交错级数 莱布尼兹判别法任意项级数绝对收敛与条件收敛现在学习的是第39页，共43页返回无穷级数敛散性的判别程序已知级数1nnu（*）0limnnu否（*）发散(*)是正项级数否？否是(*)交错级数否？否(*)绝对级数否？是分析特点，确定方法是比值法是比较法是nnSlim存在否？其它方法是莱布尼兹判别法现在学习的是第40页，共43页返回思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?现在学习的是第41页，共43页返回思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知 收敛.12nnu反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.现在学习的是第42页，共43页返回感谢大家观看现在学习的是第43页，共43页