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1、常数项级数审敛法常数项级数审敛法定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设设 和和 是两个是两个正项级数正项级数,且存在且存在对一切对一切有有(常数常数 k 0)(1)若若强强级数级数则则弱弱级数级数(2)若若弱弱级数级数则则强强级数级数证证:因为级数前加、减有限项不改变级数的敛散性因为级数前加、减有限项不改变级数的敛散性,因此不妨设对一切因此不妨设对一切令令则有则有:收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.和和分别表示强级数和弱级数的部分和分别表示强级数和弱级数的部分和,则有则有都有都有29定理定理3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)设设 和和 是是两个两个正项级数正项级数,若
2、若则有则有(1)当当 时时,两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 且级数且级数 收敛时收敛时,级数级数 也收敛也收敛;(3)当当 且级数且级数 发散时发散时,级数级数 也发散也发散.证证:根据极限定义根据极限定义,对对存在存在当当 时时,即有即有10(1)当当 时时,取取由由定理定理 2 可知级数可知级数与与同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(2)当当 时时,由由定理定理2可知可知,若级数若级数 收敛收敛,也收敛也收敛.利用利用(3)当当 时时,存在存在当当 时时,即即由由定理定理2可知可知,若级数若级数发散发散,则级数则级数也发散也发散.则级数则级数11例例7.判别级
3、数判别级数的敛散性的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知级数根据比较审敛法的极限形式知级数 发散发散.例例8.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:收敛收敛.12故原级数收敛故原级数收敛.13解解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为因分母的最高次数与分子的最高次数之差为则取则取为为 p 级数，且级数，且 p1,则原级数收敛。则原级数收敛。1415二二.比值审敛法和根值审敛法比值审敛法和根值审敛法1.比值审敛法比值审敛法定理定理4 设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当证证:(1)当当由由取取 使使收敛收敛,收敛收敛.时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散
4、.时时,知存在知存在当当时时由比较审敛法可知由比较审敛法可知,级数级数16或或 时时,必存在必存在当当因此因此所以级数发散所以级数发散.时时,(2)当当说明说明:当当时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如 p-级数级数但但级数收敛级数收敛级数发散级数发散17解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。例例12 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:(2)(3)(4)(1)18解解(2)(3)(3)19比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法(4)20例例13.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解:根据定理根据
5、定理4可知可知:当当 时时,级数收敛级数收敛;当当 时时,级数发散级数发散;当当 时时,级数级数发散发散.而而212.根值审敛法根值审敛法定理定理5 设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当 时时,级数收敛级数收敛;(2)当当 时时,级数发散级数发散.22时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如 p-级数级数 说明说明:但但级数收敛级数收敛级数发散级数发散23例例14 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性解：解：原级数收敛。原级数收敛。由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。解：解：由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。由
6、正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。24三三.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法各项符号正负相间的级数各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.定理定理6(Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足条件若交错级数满足条件则级数则级数收敛收敛,且其和且其和 其余项的绝对值其余项的绝对值26证证:显然显然 是单调递增有界数列是单调递增有界数列,因此有因此有又又故级数收敛于故级数收敛于 S,且且的余项的余项:27收敛收敛收敛收敛例例16 用用Leibnitz判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成
7、的级数是否收敛?发散发散收敛收敛收敛收敛28定理定理7.如果级数如果级数 收敛收敛,则级数则级数 一定收敛一定收敛.证证:已知已知根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛,令令29四四.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义:对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,收敛收敛,原级数原级数为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称则称原级数原级数条件收敛条件收敛.则称则称30例例17.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而而收敛收敛,
8、收敛收敛因此因此绝对收敛绝对收敛.31例例17.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:(2)令令因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.32例例18.下列级数是否绝对收敛下列级数是否绝对收敛:3334353637内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法部分和极限部分和极限383.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数若若 收敛收敛,称称 绝对收敛绝对收敛若若 发散发散,称称 条件收敛条件收敛Leibniz判别法判别法:若若且且则交错级数则交错级数收敛收敛概念概念:39习题习题 11-2:P158 A：1(2),(3),(5),(6);2 (2),(3),(4),(6),(7);3 (2),(3),(4);B:340