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1、第五节第五节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则夹逼准则夹逼准则；单调有界准则；单调有界准则11.夹逼准则夹逼准则准则准则：准则准则：单调有界数列必有极限：单调有界数列必有极限.2.单调有界准则单调有界准则一、极限存在准则一、极限存在准则2例例1 1解解由由两边夹法则两边夹法则得得3证明略证明略准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.2、单调有界准则4证(舍去舍去).)的极限存在的极限存在式式n例2(重根重根证明数列证明数列5二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限设单位圆设单位
2、圆O，圆心角圆心角作单位圆的切线作单位圆的切线6注意：注意：注意：注意：（令（令 ）2)作用：作用：7解：解：解：解：1.1.=1=1例例1.求求例例2.例例3.解：解：8例例4.解：解：思考思考：9我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：2)2)第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数.极限形式是极限形式是极限形式是极限形式是3)3)不管自变量如何变，满不管自变量如何变，满不管自变量如何变，满不管自变量如何变，满足前两个条件，极限值足前两个条件，极限值足前两个条件，极限值足前两个条
3、件，极限值=e e(e=e=括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是1 1，中间是中间是中间是中间是“+”+”号，号，号，号，证明略证明略如如如如:1)1)10例例5.解解:11补例补例.解解:解解:经验经验：含幂指函数含幂指函数 型型 极限极限 常用第二个重要极限常用第二个重要极限12解解例例8 8计算计算13解解例例1014思考与练习思考与练习15两个重要极限两个重要极限:16 第一章 都是无穷小都是无穷小,第六节引例引例.但但 无穷小的比较可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同
4、，两个无程度不同，两个无穷小商的极限用来比较两个穷小无趋向于零的速度穷小商的极限用来比较两个穷小无趋向于零的速度“快慢快慢”171.定义定义:注：注：注：注：判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶,实际上就是求两个无穷小商的极限实际上就是求两个无穷小商的极限实际上就是求两个无穷小商的极限实际上就是求两个无穷小商的极限.18注意：注意：1.无穷小的比较是无穷小的比较是无穷小无穷小与与无穷小无穷小比较的；比较的；2.零是阶最高的零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的并依赖于极限过程的;4
5、.无穷小的比较是无穷小的比较是 型极限的另外一种型极限的另外一种说法；说法；5.有两个重要的符号有两个重要的符号例如例如19证证:例例1.则则20证证:即有等价关系即有等价关系:1)上述证明过程也给出了关系上述证明过程也给出了关系:例例2.证明证明:2)常用等价无穷小常用等价无穷小:说明说明:把所有把所有 换成换成 也成立也成立21证证:必要性必要性充分性充分性意义意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式由等价无穷小可给出函数的近似表达式2.等价无穷小的性质等价无穷小的性质22例如例如,（自反性）（自反性）（对称性）（对称性）（传递性）（传递性）23定理定理2 (等价无穷小代换定理等价无穷小代
6、换定理)证：证：说明：说明：即定理条件满足时即定理条件满足时,可以只代换无穷小的可以只代换无穷小的分子分子或或分母分母.即定理条件满足时即定理条件满足时,可以代换可以代换积积中因式的无穷小中因式的无穷小.243.无穷小的商或乘积的极限可分别用无穷小代替，无穷小的商或乘积的极限可分别用无穷小代替，对于对于对于对于代数和代数和代数和代数和中各无穷小不能分别等价代换中各无穷小不能分别等价代换中各无穷小不能分别等价代换中各无穷小不能分别等价代换.这是求极限的又一种好方法这是求极限的又一种好方法,注意适用条件注意适用条件.例例3.求求解解:25只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积
7、因子乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换,对于对于对于对于代数代数代数代数和和和和中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别等价等价等价等价代换代换代换代换.切记切记切记切记:补例补例4.解解:错错解解:26内容小结内容小结1.两个重要极限：两个重要极限：代表相同的表达式代表相同的表达式2.无穷小的比较：无穷小的比较：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是
8、是 的的 k 阶阶无穷小无穷小273.等价无穷小代换定理：等价无穷小代换定理：5.常用的等价无穷小：常用的等价无穷小：4.注意事项：注意事项：1)并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比不可比.2)2)只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子或商乘积因子或商乘积因子或商乘积因子或商作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换,对于对于对于对于代代代代数和数和数和数和中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换.28最记得注意的是：当最记得注意的是：当时29新增求极限的方法：新增求极限的方法：8.重要极限法重要极限法9.等价无穷小代换法等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.作业作业:P54 1(1)(3)(5)(6)(7)(8);2;3(2)P661（2,4）;2 ；3；4(2)30有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小31有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小32